多面体与旋转体例题精选Word格式.docx
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多面体与旋转体例题精选Word格式.docx
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正棱锥的性质:
(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
(2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。
正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3、各个面都是全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体。
1
4、V棱柱3S底h
三、圆柱、圆锥与球
将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆柱,
AB所在直线叫做圆柱的轴,线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,CD叫做圆柱侧面的一条母线,圆柱的两个底面间的距离(即AB得长度)叫做圆柱的高。
S侧2rh,S全2rh2r2,Vr2h
将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆锥,AB所在直线叫做圆锥的轴,点A叫做圆锥的顶点,直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线,圆锥的顶点到底面间的距离(即AB的长度)叫做圆锥的高。
212
S侧rl,S全rlr,Vr2h
3
将圆心为O的半圆(及其内部)绕起直径AB所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球,半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面,易知,点O到球面上任意点的距离都相等,把点O称为球心,把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。
平面上的两点之间线段最短,该线段的长度就是两点之间的距离,类似地,要定义球面上两点之间的距离,也应该在球面上找到联结两点的最短路径,该路径的长度就是球面上亮点之间的距离。
可以证明,在联结球面上亮点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的长度就是这两点的球面距离。
243
S表4r2,Vr
表3
一、选择题
1、正四棱锥的侧棱长为23,侧棱与底面所成的角为
锥的体积为(
A.3
B.6
C.9
D.18
解:
如图,POPCsin602
3;
OCPCcos602313,
2
SACBDOC2OC26,
VPABCDSACPO6.
故选B
2、已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,高积.
⑴连BD,AB1,B1D1,AD1,∵BD//B1D1,A1B
AA12,求四面体AB1D1C的体
A,1D
∴异面直线BD与AB1所成角为AB1D1,记AB1D1,
AB12B1D12AD1210
cos
2AB1B1D1
10
10异面直线BD与AB1所成角为arccos10。
110
连AC,CB1,CD1,则所求四面体的体积
VABCDA1B1C1D1
4VCB1C1D1
2412。
33
3、
已知正四棱柱的对角线的长为
6,且对角线与底面所成角的余弦值为
3,则该正四棱柱
的体积等于(
A)3
B)2
C)4
D)6
答案选(
B):
由题意,
22
2h26
cos2a3,
63
a2a
a1,V
h2
a2h2
4、设M
、N是球O的半径OP上的两点,且
NPMNOM,分别过N、M、O作垂
直于OP的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:
A)3:
5:
6
B)3:
6:
8
C)
7:
9(D)5:
8:
9
由题知,M、N是OP的三等分点,三个圆的面积之比即为半径的平方之比.在球的轴载面图中易求得:
R(R3)89R,R2(23R)259R,故三个圆的半径的平方之比为:
R:
9R:
9R,故本题选D.
5、长方体ABCDA1B1C1D1的各顶点都在半径为
1的球面上,其中AB:
AD:
AA12:
1:
3,
则两A,B点的球面距离为(
A.
4
B.
C.
D.
设AB
2a,ADa,AA13a,则有
2RAC2AB2AD2AA128a2,
R2a
AOBO2a,而AB2a,AOB
又因为R=1,故AB的球面距离为
7、两相同的正四棱锥组成如图
A)1个
C)3个
B)2个
D)无穷多个
由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中
心,由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积,问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,所以选D.
8、设地球半径为R,北纬300圈上有A,B两地,它们的经度相差1200,则这两地间的纬度线的长为()
提示:
这里要求掌握经度和纬度这两个概念。
、填空题9、下面是关于三棱锥的四个命题:
底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
2底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
3底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
4侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中,真命题的编号是.(写出所有真命
题的编号)
正确的命题为①④,
②的反例:
△ABC为正三角形,侧面中AB=AP=AC,PB=PC≠AP,满足侧面都是等腰三角形,但不是正三棱锥。
③的反例:
△ABC为正三角形,三个侧面的高相等,所以满足侧面积都相等,但顶点P在底面
的射影O落在△ABC外,是△ABC的旁心,而不是中心,所以P-ABC是斜三棱锥。
10、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件①两组相对侧面分别平行;
一组相对侧面平行且全等;
充要条件②对角线交于一点;
底面是平行四边形;
(写出你认为正确的两个充要条件)
11、(09上海高考题)已知三个球的半径R1,R2,R3满足R12R23R3,则它们的表面积
S1,S2,S3满足的等量关系是
因为R12R23R3,即:
R122R223R32,两边同乘上4
有4R1224R2234R32,所以有S12S23S3.
12、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为
则cos=
不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时
交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等
所成角.故cos26
13、圆柱的侧面展开图是边长为2和
3的矩形,
则圆
(1)若底面周长为2,则圆柱高为3,
圆柱的体积为
2)若底面周长为3,则圆柱高为2,圆柱的体积为92
14、若圆锥的全面积是底面积的三倍,则它的侧面展开图的圆心
角是
如图,设底面半径为r,侧面母线为a,则底面积为r2,
侧面积为ra,所以表面积Sr2rar(ra),又
r(ra)
r2
3,则a2r,所以侧面展开图的圆心角为
。
a2r
,则此正六棱锥的侧面积是
15、已知半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF
显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底面边长为2,又正六棱锥PABCDEF的高依题意可得为2,依此可求得67
16、(2010春考题)在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径
为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积
S=cm。
2600;
17、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有
一个内角为60°
的菱形,则该棱柱的体积为
如图,依题意可知,A1ABC为棱长为2的正四面体,过点A1作
AB的高,与AB交于D,A1D3A1A3,
2232226AOA1D,A1OA1AAO,
333
VSABCA1O1ABA1DA1O1232622
223
18、有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为
a
表面积最小的是
3a,4a,5a(a0)。
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,
个四棱柱,则a的取值范围是。
两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱,有三种情况:
四棱柱有一种,就是边长为5a的边重合在一起,表面积为24a2+28,
三棱柱有两种,边长为4a的边重合在一起,表
面积为24a2+32,边长为3a的边重合在一起,
表面积为24a2+36,两个相同的直三棱柱竖直
2放在一起,有一种情况表面积为12a2+48。
最小
在所有可能的情形中,
的是一个四棱柱,这说明24a22812a24812a2200a153
三、解答题:
19、在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
解
(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=6°
0.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°
=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°
=3,而底面菱形的面积为23.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=1×
23×
3=2.
(2)取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角),在Rt△AOB中AO=ABcos3°
0=3=OP,于是,在等腰Rt
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=3,
cos∠FED=
12EF
DE
∴异面直线DE与PA所成角的大小是
20、地球上北纬30圈上有两地,它们的经度相差120,设地球的半径为R,求A、B两地间的球面距离.
即AOBarccos,
21、分别以直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴。
旋转这个直角三角形所得的三个旋转
体的体积为V,V1,V2求证:
证明:
如图,A90,ahbc.
bc
h
h2BD
V2
h2CD
h2a
2b4c4
9a2
V1
1b2c
242
224
12
cb
11
V1V22
b4c4
22、如图所示,一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点
A沿圆锥体的表面匀速爬行一周,又绕回到点
A.已知该圆锥体的底面半径为r,
母线长为3r,试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行,才
能最快到达点A?
并求出该路径的长.
2r
设AVA1,即
223r
3,
∴AA12VA2VA122VAVA1cos
1113
(3r)2(3r)223r3rcos227r2,即AA133r,
则小蚂蚁沿线段AA1爬行(如图),能最快到达点A,且该路径的长为33r.
23、将一个半径为18cm的圆形铁板剪成两个扇形,使两扇形面积比为1:
2,再将这两个扇形
分别卷成圆锥,求这两个圆锥的体积比.
23
设较小的扇形面积为S1cm2,卷成圆锥后底面半径为r1cm、高为h1cm、体积为V1cm3;
较大的扇形面积为S2cm2,卷成圆锥后底面半径为
r2cm、高为h2cm、体积为V2cm3,
又2r118,即r16cm;
同理r212cm,
∴h118r1125cm,同理h218r265cm,
1r2h
V13r1h13612210
V21r2h1446510
322
24、用2平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器(如图).
(1)试建立圆锥的高h关于圆锥的底面半径r的函数hf(r)的解析式;
2)当r为何值时,容器的容积最大?
并求出圆锥形容器的最大值(设在制作过程中,材
料无损耗,且材料的厚度忽略不计)
(1)由题意,r21h2r22r2,
∴r2rh2r22,即h21r
r
自测练习题
由球的体积公式可得
V34r3332,所以r2,又因为正方体的对角线即为球的直
径则有3a2r4,可得a43。
故选D。
2.已知二面角l的大小为600,m,n为异面直线,且m,n,则m,n所成的角
为(B)。
(A)300(B)600(C)900(D)1200
异面直线所成角的范围是0,,要注意,本题选B。
OAOBOC,M是AB边
3.在三棱锥0ABC中,三条棱OA,OB,OC两两互相垂直,且的中点,则OM与平面ABC所成角的大小是(A)。
(A)arctan2(B)arctan2
(C)(D)
24
根据题意,这样的三棱锥可以放到一个正方体中来研究,如图所示,OM与平面ABC所成角的大小即是∠OMC,又因为OCOM,且OC2OM,所以OMCarctan2。
故选A。
4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C)
A.16B.20C.24D.32
由VSh,得S4,得正四棱柱底面边长为2。
该正四棱柱的主对角线即为球的直径,
所以:
球的表面积S球=4r24DD222224224。
选C。
球2
5.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于
(B)。
(A)(B)
6解:
底面正方形面积S
二面角的正切值tan
又必为锐角,所以
(C)
32
D)3
123V
122612,底面边长aS,高h3SV,
h。
代入数据,得:
a/2
故选B。
3VS6V612
S2SS1212
1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面
ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点...均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有
2442
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