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学号:
101
指导教师:
骨健康
摘要…………………………………………………………………………1
问题提出……………………………………………………………………2
问题解答……………………………………………………………………3
论文小结……………………………………………………………………6
参考文献……………………………………………………………………7
附录…………………………………………………………………………8
摘要
矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念,它是代数,特别是现性代数的一个主要研究对象.其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念,逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一.本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结,另外参考相关资料列出公式.
关键词:
高等代数矩阵可逆
1
问题提出
在高等代数的学习中,我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算,矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢?
这就是本文所要讨论的问题.
本文所讨论的矩阵,如不特殊说明,都是n×
n矩阵.
我们知道,对于任意的n级方针A都有
AE=EA=A,
这里E是n级单位矩阵.因之,从乘法的角度来看,n级单位矩阵在n级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数A≠0的倒数a-1可以用等式
aa-1=1
来刻画.相仿的,我们引入:
n级方阵A称为可逆的,如果有n级方阵B,使得
AB=BA=E,
(1)
这里E是n级单位矩阵.
首先我们指出,由于矩阵的乘法规则,只有方阵才能满足
(1).其次,对于任意的矩阵A,适合等式
(1)的矩阵B是唯一的(如果有的话).事实上,假设B1,B2是两个适合
(1)的矩阵,就有
B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2.
如果矩阵B适合
(1),那么B称为A的逆矩阵,记为A-1.
下面要解决的问题是:
在什么条件下矩阵A是可逆的?
如果A可逆,怎样求A-1.
2
问题解答
方法一:
设Aij是矩阵
a11a12…a1n
A=a21a22…a2n
……
an1an2…ann
中元素aij的代数余子式,矩阵
A11A12…A1n
A=A21A22…A2n
An1An2…Ann
称为A的伴随矩阵.
由行列式按一行(列)展开的公式立即得出:
d0…0
AA*=A*A=0d…0=dE,
00…d
其中d=∣A∣.
如果d=∣A∣≠0,那么由
(2)得
3
A=
A*=
A=E.
矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化,而
A-1=
A*(d=∣A∣≠0).(4)
公式(4)不仅给出了—矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公式.
方法二:
可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵.
设A是一n级可逆矩阵.有一系列初等矩阵P1,…,Pm使
Pm…P1(AE)=(Pm…P1APm…P1E)=(EA-1).(6)
(6)式提出了一个具体求逆矩阵的方法.作n×
2n的矩阵(AE),用初等行变换把它的左边一半化成E,这时,右边的一半就是A-1.
方法三:
用待定系数法.
令Z-1=Z11Z12
Z21Z22
4
由AX=E可得X-1.
方法四:
利用分块阵的初等变换.
例
T=AO
CD,
A,D可逆,求T-1.
由EmOAO=AO
-CA-1EnCDOD
及AO-1=A-1O
ODOD-1
易知
T-1=A-1OEmO=A-1O
OD-1-CA-1En-D-1CA-1D-1
5
论文小结
本文中给出了判定可逆矩阵的方法.上述中的判定定理求逆矩阵,另外,逆矩阵的求法还有特征多项式法,待定系数法,分块矩阵求逆,分解矩阵求逆,递推法等.限于知识水平,对于可逆矩阵的相关知识文中列出的有限.除线性方程组以外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,而逆矩阵与矩阵关系密切,因而也就使逆矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
6
参考文献
北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,《高等代数》(第三版),高等教育出版社.
7
附录
矩阵的定义
设有n个关于x1,x2,…,xn的n元线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a12x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(1)
……
a1n1x1+an2x2+…+annxn=bn
把式
(1)中关于x1,x2,…,xn的m×
n个系数按着原来的位置排列成m行n列的矩形阵列!
并用符号表示为:
定义由m×
n个元素排列成的m行n列的矩形阵列称为m×
n型矩阵或m×
n矩阵,常用粗体大写字母表示矩阵.如A,L,T,U…等.也可以用[aij]m×
n表示m行n列矩阵.称aij为矩阵A的元素.它有两个下标,第一个下标表示行,第二个下标表示列.这就是说,该元素在矩阵A中的位置是在第i行与第j列相交的地方.
8
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