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1、投影法的建立
在一定投影条件下,求得空间形体在投影面上的投影的方法,称为投影法。
投影中心、投影面、投射线、投影
2、投影法的分类
中心投影法(投射线相交于一点,投影随物体与投影中心和投影面的距离变化而改变大小,故不反映空间形体表面的真实大小和形状,但富有真实感)
平行投影法(投射线相互平行,当物体平行移动时,投影的形状和大小不改变)——斜投影和正投影。
本课程研究平行投影且主要是正投影,以后“投影”指正投影。
图2-1中心投影法及平行投影法
二、正投影的基本性质
1、实形性
当线段或平面图形平行于投影面时,其投影反映实长或实形。
2、积聚性
当直线或平面图形垂直于投影面时,其投影积聚成点或直线。
3、类似性
当直线或平面图形既不平行也不垂直于投影面时,直线的投影仍然是直线,平面图形的投影是原图形的类似形,但直线或平面图形的投影小于实长或实形。
此外,正投影还有平行性(即空间平行线段的投影仍然平行);
定比性(即空间平行线段的长度比在投影中保持不变);
从属性(即几何元素的从属关系在投影中不会发生改变,如属于直线的点的投影必属于直线的投影,属于平面的点和线的投影必属于平面的投影)等性质。
图2-2正投影的基本性质
三、工程中常用的两种作图方法
1、多面正投影图:
采用相互垂直的两个或两个以上的投影面,在每个投影面上分别用正投影法获得物体的投影。
它有良好的度量性,作图简便,但直观性差。
由这些投影能确定几何形体的空间位置货物形状。
2、轴测图:
将物体连同其参考直角坐标系,沿不平行于任一坐标面的方向,用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的具有立体感的图形。
它能反映长、宽、高的形状,但作图较繁且度量性差,作辅助图样。
2-2三面投影体系与三视图
只根据物体的一个投影,是不能确定物体形状的。
要反映物体的完整形状,必须增加由不同投影方向得到的几个视图,互相补充,才能把物体表达清楚。
一、三投影面体系
由正立投影面V、水平投影面H和侧立投影面W三个相互垂直的投影面构成的投影面体系称为三投影面体系。
正立投影面简称为正面或V面、水平投影面简称为水平面或H面、侧立投影面简称为侧面或W面。
三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ,称为投影轴,简称X轴、Y轴、Z轴。
图2-3三面投影体系
二、三视图的形成
将物体放在三投影面体系中,用正投影法,分别向三个投影面投影可得到物体的三视图。
国标规定的视图名称是:
主视图——由前向后投影,在正面上所得的视图;
俯视图——由上向下投影,在水平面上所得的视图;
左视图——由左向右投影,在侧面上所得的视图。
三、三视图的投影规律
1、三视图的位置关系
三视图的位置关系为:
主视图在上,俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的正右方。
按照这种位置配置视图时,国家标准规定一律不加任何标注。
2、投影对应关系及其投影规律
每个视图只能反映物体长、宽、高中的两个方向的大小:
主视图反映物体的长(x)和高(z);
俯视图反映物体的长(x)和宽(y);
左视图反映物体的宽(y)和高(z)。
从物体的投影和投影面的展开过程中,还可看到:
主、左视图反映了物体上、下方向的同样高度(等高);
物体上各个面和各条线在主、左视图上的投影,应在高度方向上分别平齐。
简称“高平齐”;
主、俯视图反映了物体左、右方向的同样长度(等长);
物体上各个面和各条线在主、俯视图上的投影,应在长度方向分别对正。
简称“长对正”;
俯、左视图反映了物体前、后方向的同样宽度(等宽);
物体上各个面和各条线在俯、左视图上的投影,应在宽度方向上相等。
简称“宽相等”。
上述三条投影规律,尤其是最后一条,必须在初步理解的基础上,经过画图和看图的反复实践,逐步达到熟练和融会贯通的程度。
3、物体的方位关系
主视图反映了物体上下、左右的方位关系;
俯视图反映了物体左右、前后的方位关系;
左视图反映了物体上下、前后的方位关系。
初学者应特别注意对照直观图和平面图,熟悉展开和还原过程,以便在平面图上准确判断物体不同的方位关系,尤其是前后方位。
图2-4三视图的形成及其投影规律
2-3点的投影
一、点的三面投影及投影规律
点的投影仍为一点,且空间点在一个投影面上有惟一的投影。
但已知点的一个投影,
不能惟一确定点的空间位置。
将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影,得到点A的水平投影a、正面投影a′、侧面投影a″。
(关于空间点及其投影的标记规定为:
空间点用大写字母A、B、C…表示,水平投影相应用a、b、c…表示,正面投影相应用a′、
b′、c′…表示,侧面投影相应用a″、b″、c″…表示。
)
图2-5点的投影及其投影规律
将投影面体系展开,去掉投影面的边框,保留投影轴,便得到点A的三面投影图。
由图2-5可以得出点在三投影面体系的投影规律是:
(1)点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴,即a′a⊥OX;
(长对正)
(2)点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴,即a′a″⊥OZ;
(高平齐)
(3)点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离,即aax=a″az(宽相等),可以用圆弧或45°
线来反映该关系。
二、点的三面投影与其直角坐标的关系
水平投影由X与Y坐标确定;
正面投影由X与Z坐标确定;
侧面投影由Y与Z坐标确定。
点的任何两个投影可反映点的三个坐标,即确定该点的空间位置。
空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。
三、点的轴测投影
点的轴测投影图即根据点的投影图绘制的直观图。
可以把投影面当作坐标面,把投影轴当作坐标轴,这时O点即为坐标原点。
规定X轴从O点向左为正,Y轴从O点向前为正,Z轴从O点向上为正。
X(Y,Z)坐标用A点到W(V,H)面的距离表示。
四、两点的相对位置
在投影图上判断空间两个点的相对位置,就是分析两点之间上下、左右和前后的关系。
由正面投影或侧面投影判断上下关系(Z坐标差);
由正面投影或水平投影判断左右关系(X坐标差);
由水平投影或侧面投影判断前后关系(Y坐标差)。
图2-6两点的相对位置
五、重影点及其投影的可见性
当空间两点位于某一投影面的同上条投射线(即其有两对坐标值分别相等),则此两点在该投影面上的投影重合为一点,此两点称为对该投影面的重影点。
为区分重影点的可见性,规定观察方向与投影面的投射方向一致,即对V面由前向后,对H面由上向下,对W面由左向右。
因此,距观察者近之点的投影为可见,反之为不可见。
当空间两点有两对坐标值分别相等时,则该两点必有重合投影,其可见性由重影点的一对不等的坐标值来确定,坐标值大者为可见,小者为不可见。
图2-7重影点
2-4直线的投影
一、直线的投影图
作直线投影图,只需作出直线上任意两点的投影,并连接该两点在同一投影面上的投影即可。
三面投影面体系中,空间形体距投影面的远近不影响投影的形状大小,所以不画投影图。
空间直线在某一投影面上的投影长度,与直线对该投影面的倾角大小有关。
二、各种位置直线的投影特性
按照直线对三投影面的相对位置,可以将直线分为三种:
一般位置直线——与三投影面都倾斜的直线;
投影面平行线——平行于一个投影面,倾斜于另两投影面的直线;
投影面垂直线——垂直于一个投影面,平行于另两投影面的直线。
投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。
1、一般位置直线
一般位置直线的投影特性如下(图2-15):
(1)三面投影都倾斜于投影轴;
(2)投影长度均比实长短,且不能反映与投影面倾角的真实大小。
2、投影面平行线
投影面平行线又可分为三种:
(1)平行于V面的直线称为正平线;
(2)平行于H面的直线称为水平线;
(3)平行于W面的直线称为侧平线。
投影特性:
在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴,不反映实长;
在它所平行的投影面上的投影反映实长,其与投影轴的夹角,分别反映该直线对另两投影面的真实倾角。
3、投影面垂直线
投影面垂直线同样可以分为三种:
(1)垂直于正面的直线称为正垂线;
(2)垂直于水平面的直线称为铅垂线;
(3)垂直于侧面的直线称为侧垂线。
在所垂直的投影面上的投影积聚为一点;
在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴,反映实长。
三、直线上的点
点在直线上,则点的各个投影必在该直线的同面投影上,且点分直线的两线段长度之比等于其投影长度之比;
反之亦然。
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。
1)两直线平行:
其同面投影必平行,且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。
注意:
当直线为某投影面平行线时,应检查在该投影面上的投影是否平行。
2)两直线相交:
其同面投影必相交,且交点的投影符合点的投影规律。
3)两直线交叉:
异面两直线。
当交叉直线的投影的交点为重影点时,应判别其可见性。
图2-7直线位置关系的判断
举例:
见图2-7,判断所示两直线位置关系,可以有三种方法:
1)定比性;
2)补投影;
3)将AD与BC相连,判断其是否相交,进而判断AB与CD是否平行。
五、直角的投影
直角投影定理
空间垂直的两直线(相交或交叉),若其中的一直线平行于某投影面时,则二直线在该投影面上的投影仍为直角。
反之,若两直线在某投影面上的投影为直角,且其中有一直线平行于该投影面时,则该两直线在空间必互相垂直。
图2-8直角投影定理
应用直角投影定理可以解决空间成直角的情况在投影图上的作图,例如求距离、直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题。
图2-9就是一个求距离的例子。
图2-9求两交叉直线间的距离
2-5平面的投影
一、平面的表示法
由几何学可知,平面可由下列几何元素确定:
不在同一条直线上的三点;
一直线及直线外一点;
两相交直线;
两平行直线;
任意的平面图形。
二、各种位置平面的投影特性
平面对投影面的位置有三种:
一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面;
投影面垂直面——垂直于一个投影面,与另外两个投影面倾斜的平面;
投影面平行面——平行于一个投影面,垂直于另两个投影面的平面。
1、一般位置平面
倾斜于V、H、W面,是一般位置平面。
一般位置的平面的投影特性:
它的三个投影仍是平面图形,而且面积缩小,平面与三个投影面的倾角也不能在投影上反映出来。
图2-10一般位置平面的投影
2、投影面垂直面
投影面垂直面可分为三种:
(1)垂直于V面的平面称为正垂面;
(2)垂直于H面的平面称为铅垂面;
(3)垂直于W面的平面称为侧垂面。
在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线,此投影与相应投影轴的夹角分别反映该平面与另两个投影面的倾角;
该平面在另两个投影面上的投影均为类似性。
判定:
若平面的三个投影中有一个投影是斜直线,则它一定是该投影面的垂直面。
3、投影面平行面
投影面平行面又可分为三种:
(1)平行于V面的平面称为正平面;
(2)平行于H面的平面称为水平面;
(3)平行于W面的平面称为侧平面。
在所平行的投影面上的投影反映实形,其它两个投影都积聚成直线且平行于相应的投影轴。
若平面的三个投影中有一个投影积聚成直线,并与该投影面的投影轴平行或垂直,则它一定是某个投影面的平行面。
小结:
平面垂直于投影面时,它的投影积聚成一条直线——积聚性。
平面平行于投影面时,它的投影反映实形——实形性(真实性)
平面倾斜于投影面时,它的投影为类似图形——类似性
平面图形的三个投影中,至少有一个投影是封闭线框。
反之,投影图上的一个封闭线框一般表示空间的一个面的投影。
三、平面内的点和直线
1)平面内的直线
直线在平面内的几何条件:
若一直线通过平面上的两点或通过平面内的一点,并且平行于平面上的另一直线,则此直线必在该平面内。
2)平面内的点
点在平面内的几何条件;
若点位于平面内任一直线上,则此点在该平面内。
即平面内取点,必先在平面内作辅助线,然后在该直线上取点。
图2-11平面上的点和直线
四、直线与平面、平面与平面平行
直线与平面平行的几何条件是:
直线平行于平面内的任一直线。
平面与平面平行的几何条件是:
一平面内的两相交直线平行于另一平面内的两相交直线。
图2-12直线与平面平面与平面平行
五、直线与平面、平面与平面相交
直线与平面、平面与平面的相对位置,凡不符合平行几何条件的,则必然相交。
在此只讨论平面处于与投影面垂直的特殊位置,即平面的投影具有积聚性的情况。
1、直线与平面相交
直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点,当需判断直线投影的可见性时,交点又是直线各投影可见与不可见的分界点。
图2-13一般位置直线与特殊位置平面相交
(2)平面与平面相交
两平面相交的交线是两平面的共有线,当需要判断平面投影的可见性时,交线又是平面
图2-14投影面垂直面与一般位置平面相交
各投影可见与不可见的分界线。
两平面的交线是直线,只要求出两个共有点,交线就可以确定了。
可以利用求投影面垂直面与一般位置直线的交点的方法来求交线。
图2-15两铅垂面相交
当两铅垂面相交时,交线MN是铅垂线。
两铅垂面的H面积聚投影的交点就是交线MN的水平投影。
由此可求出交线MN的正面投影,并由水平投影直接判断出可见性。
六、直线与平面、平面与平面垂直
1、直线与平面垂直
由几何学可知:
一直线若垂直于一平面上任意两相交直线,则直线垂直于该平面,且直线垂直于该平面上的所有直线。
在此只讨论平面是投影面垂直面的特殊情况。
当直线垂直于投影面垂直面时,该直线必平行于平面所垂直的投影面。
图中直线AB垂直于铅垂面CDEF,AB必定是水平线,且ab⊥cdef。
同理,与正垂面垂直的直线是正平线,它们的正面投影相互垂直;
与侧垂面垂直的直线是侧平线,而且它们的侧面投影互相垂直。
图2-16直线与铅垂面垂直
2、平面与平面垂直
两平面相互垂直的几何条件是:
若一直线垂直于平面,则包含这条直线所作的任何平面均与已知平面垂直。
直线AB⊥P,则包含AB所作的平面Q、R均与P面垂直。
反之,若两平面垂直,则由一个平面内任一点作另一平面的垂线,该垂线必然属于前一平面。
特殊情况,当两个互相垂直的平面垂直于同一投影面时,两平面有积聚性的同面投影必定垂直,交线是该投影面的垂直线。
如图2-17所示,两铅垂面ABCD、CDEF互相垂直,它们的H面具有积聚性的投影互相垂直相交,交点是两平面的交线——铅垂线的积聚投影。
图2-17两铅垂面相互垂直
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