数学九年级教材下册变式题.docx
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数学九年级教材下册变式题
九年级下册·课本亮题拾贝
26.1二次函数
题目如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=
10,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?
(人教课本
P1810题)
分析阅读理解题意,抓住AC与BD的位置关系(AC⊥BD)和
数量关系(AC+BD=10)去表达四边形ABCD的面积.
解设AC与BD相交于O,AC=x,则BD=10-x(0<x<10),
因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,所以四边形
ABCD的面积
=
==.
因此,当AC=x=5,BD=5时,四边形ABCD的面积最大,为.戊
点评由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的,所以当题目文字和图形中有了垂直关系时,自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半(底与高垂直),借助于主元思想,设AC=x,则BD=10-x,则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量.
演变
变式1(图形变式)已知平面上两条线段AC、BD互相垂直,AC+BD=10,问当AC、BD的长是多少时,多边形ABCD的面积最大?
并画出此时多边形可能具有的形状.
分析由于四边形具有对角线垂直且相等的特征,所以作出其图形形状(含特殊情况)如下:
甲乙丙丁
解如图甲、乙、丙、丁,问题显然.如上图戊,设AC的延长线与BD相交于O,AC=x,则BD=10-x,(0<x<10),因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,所以四边形ABCD的面积
S=S△ABD-S△CBD==
==.
因此,当AC=x=5,BD=5时,四边形ABCD的面积最大,为.
说明:
如图所示,构成的多边形ABDC,就没有最大值.
根据解答,将题目中的关系特征抽象出来,即得:
变式2(关系变式)
已知x、y都是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.
这是一个有着十分广泛应用的结论(均值定理).
由x+y=S,得y=S-x,代入xy中有,xy=x(S-x)=-x2+Sx=-,结论正确.
变式3(问题推广)如图,四边形的两条对角线AC、BD所成的角为,AC+BD=m,问当AC、BD的长等于多少时,四边形ABCD的面积最大?
解过A、C作AE⊥BD,CF⊥BD,E、F是垂足,则
四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD
=BD·AE+BD·CF=BD(AE+CF)=BD(AO·sin+CO·sin)
=BD(AO+CO)sin=BD·AC·sin,
∴当BD=AC=m时,S最大,为.
26.2用函数观点看一元二次方程
题目抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),求这条抛物线的对称轴.(人教课本P234题)
解∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),
∴解得
∴抛物线的方程为y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),
因此,所求抛物线的对称轴为x=1.
另法∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),
∴抛物线的方程可设为y=a(x+1)(x-3),a≠0,
即y=-a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),
所以,抛物线的对称轴为x=1.
法三由于抛物线是关于对称轴对称的,且其对称轴x=h与x轴垂直,
∴对称轴必过点A(-1,0)、B(3,0)的中点,为h-(-1)=3-h,得.
点评本题已知简洁,结论明了,似乎没有什么可挖掘或拓广的.其实题目乃平中见奇,内涵丰富,不但解法多样,而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中,若要画图,还需分a>0和a<0讨论.适当改变条件,可得出许多新颖的题目来(如变式4这种开放题).
演变
变式1已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),与y轴的公共点是C,顶点是D.
(1)若△ABC是直角三角形,则a=;
(2)若△ABD是直角三角形,则a=.
解在草稿纸上画出大致图象,可知
(1)若△ABC是直角三角形,则直角顶点只能是C,∴C(0,c),即C(0,-3a),于是(-3a)2=1×3,解得a=±1.
(2)若△ABD是直角三角形,则直角顶点只能是D,∴D(0,-4a),
于是由2︱(-4a)︱=4,解得a=±.
变式2已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),与y轴的公共点是C,顶点是D.问是否存在非零常数a,使A、B、C、D在一个圆上?
解假设存在非零常数a,使A、B、C、D在一个圆上,则圆心E必在抛物线的对称轴x=1上,于是令E(1,m),则︱DE︱=︱m+4a︱,︱AE︱=︱BE︱=,︱CE︱=.由E到A、B、C、D的距离相等,得
︱m+4a︱==,
经求解知,不存在非零常数a,使上式成立,因此表明,不存在非零常数a,使A、B、C、D在一个圆上.
变式3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A(-1,0)、B(3,0),与y轴的公共点是C,顶点是D.若四边形ABDC的面积为2,求抛物线的解析式.
解作出示意图,设对称轴与x轴的交点为E.
则△BDE的面积为EB·DE=×2×︱4a︱=4︱a︱;
△AOC的面积为AO·CO=×1×︱3a︱=︱a︱;
直角梯形OCDE的面积为(CO+DE)·OE=(︱3a︱+︱4a︱)·1=︱a︱;
从而四边形ABDC的面积等于4︱a︱+︱a︱+︱a︱=9︱a︱=18,∴a=±2.
因此,抛物线的解析式为y=2x2-4x-6或y=-2x2+4x+6.
变式4已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,
你能根据图象所提供的信息得出哪些结论呢?
试一试.
(1)(2009丽水)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示,给出以下结论:
①a>0②该函数的图象关于直线x=1对称
③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0
其中正确结论的个数是().B
A.3B.2C.1D.0
(2)(2009南充)抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线().A
A.x=1B.x=-1C.x=-3D.x=3
(3)(2009南宁)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示,有下列四个结论:
①b<0②c>0③b2-4ac>0
④a-b+c<0其中正确的个数有().C
A.1个B.2个C.3个D.4个
(4)(2009宁夏)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是().D
A.c>0B.2a+b=0C.b2-4ac>0D.a-b+c>0
(5)(2009庆阳)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象,给出下列说法:
①ab<0②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3
③a+b+c>0④当x>1时,y随x值的增大而增大
⑤当y>0时,-1<x<3
其中,正确的说法有.①②④
(请写出所有正确说法的序号)
(6)(2009内江)如图所示,已知点A(-1,0),B(3,0),
C(0,t),且t>0,tan∠BAC=3,抛物线经过A、B、C三点,点P(2,m)是抛物线与直线l:
y=k(x+1)的一个交点.
①求抛物线的解析式;②对于动点Q(1,n),求PQ+QB的最小值;③若动点M在直线l上方的抛物线上运动,求△AMP的边AP上的高h的最大值.
(限于篇幅,解答略去,下同)
(7)(2009武汉)如图,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、
C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
①求抛物线的解析式;
②已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,
求点D关于直线BC对称的点的坐标;
③在②的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,
且∠DBP=45,求点P的坐标.
(8)(2009安顺)如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
①求抛物线的解析式;②设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;③△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.
(9)(2009威海)如图,在直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0).(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点.
①求抛物线的解析式;
②求当AD+CD最小时点D的坐标;
③以点A为圆心,以AD为半径作⊙A.
ⅰ)证明:
当AD+CD最小时,直线BD与⊙A相切.
ⅱ)写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标:
___________.
(10)(2009牡丹江)如图二次函数y=x2+bx+c的图象
经过A(-1,0)和B(3,0)两点,且交y轴于点C.
①试确定b、c的值;
②过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M为此抛
物线的顶点,试确定△MCD的形状.
(11)(2009十堰)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)
与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
①求抛物线的解析式;
②设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
③如图,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
26.3实际问题与二次函数
题目某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
(人教课本P25探究1)
分析调整价格包括涨价和降价两种情况.看看涨价的情况:
设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化.涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)件,销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需要付40(300-10x)元,因此所得利润y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x).
解
(1)设每件涨价x元,每星期售出商品的利润y随x的变化为:
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),自变量x的取值范围是0≤x≤30.
∴y=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250,
因此当x=5时,y的最大值为6250.
(2)设每件降价x元,每星期售出商品的利润y随x的变化为:
y=(60-x-40)(300+20x),自变量x的取值范围是0≤x≤20.
∴y=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125,
因此当x=2.5时,y的最大值为6125.
(3)每件60元销售(即
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