题型五c特殊四边形的动态探究题文档格式.docx
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(1)当点C在
上运动时,在CD、CG、DG中,长度不变的线段是________,该线段的长度是________;
(2)求证:
四边形OGCH是平行四边形;
(3)当OD=________时,四边形OGCH是菱形.
4.如图,CD是△ABC的中线,点E是AF的中点,CF∥AB.
CF=AD;
(2)若已知AB=10,AC=6,填空:
①当BC长为________时,四边形BFCD是矩形;
②当BC长为________时,四边形BFCD是菱形.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=13cm,AD=4cm,点E、F同时分别从D、B两点出发,以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动,点G、H分别为AE、CF的中点,设运动时间为t(s).
四边形EGFH是平行四边形.
①当t为________s时,四边形EGFH是菱形;
②当t为________s时,四边形EGFH是矩形.
6.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=8cm,BC=6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,P,Q运动速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t
(单位:
s)(0≤t≤4)解答下列问题:
(1)在点P,Q运动过程中,平行四边形AQPD的面积是否具有最大值,若有,请求出它的最大值;
否则,请说明理由.
①当t的值为________s时,平行四边形AQPD为矩形;
②当t的值为________s时,平行四边形AQPD为菱形.
7.(’15模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.
BE=DG;
①若∠B=60°
,当BC=________AB时,四边形ABFG是菱形;
②若∠B=60°
,当BC=________AB时,四边形AECG是正方形.
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD=8cm,AC=4cm,点E从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度向点D运动,同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动,设点E、F运动的时间为t(s),其中0<t<8.
△BEC≌△DFA;
①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形;
②当t的值为________时,以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形.
【答案】
1.解:
(1)∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°
,
∵AD=2BD,
∴在Rt△ABD中,cos∠D=
=
∴∠D=60°
∴∠ACB=∠D=60°
;
(2)①
②
.
【解法提示】①当BC⊥OD时,∵OB=OD=BD,∴OE=DE,∵OD是半径,BC是弦,∴BE=CE,∴四边形OBDC是菱形,则OD=CD=OC,∴∠COD=60°
,∴l
②当BC经过圆心O时,易得四边形ABDC是矩形,△AOC为等边三角形,∴∠COD=180°
-60°
=120°
,∵lCD=
2.【思路分析】
(1)首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS证得两三角形全等即可;
(2)①当∠CAB=45°
时,四边形ACBF为正方形.∠FAB=∠CAB=45°
,进而∠FAC=∠AFB=∠ACB=90°
,四边形ACBF为矩形,再由邻边AC=AF得其为正方形;
②当∠CAB=60°
时,四边形ADFE为菱形.根据∠CAB=60°
,得到∠FAB=∠AFE=∠CAB=∠AEF=60°
,从而得到EF=AD=AE,利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断.
解:
(1)证明:
∵EF∥AB,
∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB,
∵∠E=∠EFA,
∴∠FAB=∠CAB,
又∵AF=AC,AB=AB,
∴△ABC≌△ABF(SAS);
(2)①45°
②60°
【解法提示】①当∠CAB=45°
时,由
(1)知,∠FAB=∠CAB=45°
,∠FAC=∠AFB=∠ACB=90°
,故四边形ACBF为矩形,又∵AC=AF,∴四边形ACBF为正方形.
时,易得∠FAB=∠AFE=∠CAB=∠AEF=60°
,从而得到△AEF和△ADF均为等边三角形,∴EF=AD=AE=DF,∴四边形ADFE为菱形.
3.【思路分析】
(1)由于四边形ODCE是矩形,而矩形的对角线相等,所以DE=OC,而CO是圆O的半径,这样DE的长度不变,也就DG的长度不变;
(2)连接OC,容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形,然后利用其对角线互相平分和DG=GH=HE,可以知道四边形CHOG的对角线互相平分,从而判定其是平行四边形;
(3)若四边形OGCH是菱形,必有OC与GH垂直,即可推得DE、OC垂直、平分且相等,故得到四边形CDOE是正方形,在Rt△OCD中,利用OC=OA=3,OD=CD运用勾股定理即可求出OD的长.
(1)DG,1.
【解法提示】在矩形ODCE中,DE=OC=3,∵DG=GH=HE,∴DG=
DE=1.
(2)连接OC交DE于M.由矩形得OM=CM,EM=DM.
∵DG=HE,∴EM-EH=DM-DG,∴HM=MG.∴四边形OGCH是平行四边形.
(3)
【解法提示】∵四边形OGCH是菱形,∴OC⊥GH,∴OC⊥DE,又∵OC=DE,CM=OM=EM=DM,∴四边形CDOE是正方形.∴CD=OD,∠CDO=90°
,∵OA=OC=3,∴OD2+CD2=9,2OD2=9,OD=
4.【思路分析】
(1)易得DE是△ABF的中位线,进而DE//BF,结合CF∥AB,证得四边形BFCD是平行四边形,从而得到CF=BD=AD;
(2)①当CD⊥AB,即CD是AB的中垂线时,平行四边形BFCD有一个角为直角是矩形,此时AC=BC=6;
②当∠ACB=90°
,CD是直角三角形斜边上的中线,可得CD=AD=BD,从而平行四边形BFCD的邻边相等是菱形,此时由勾股定理易得BC的长.
∵CD是△ABC的中线,点E是AF的中点,
∴AD=BD,AE=FE,
∴DE∥BF,
∵CF∥AB,
∴四边形BFCD是平行四边形,
∴CF=BD,
∴CF=DA.
(2)①6 ②8
【解法提示】①当CD⊥AB,即CD是AB的中垂线时,∠CDB=90°
,平行四边形BFCD有一个角为直角是矩形,此时AC=BC=6;
时,CD是直角△ABC斜边上的中线,∴CD=AD=BD,从而平行四边形BFCD的邻边相等是菱形,此时由勾股定理易得BC=8.
5.【思路分析】
(1)易证△ADE≌△CBF,进而易得GE∥HF,且GE=HF,所以四边形EGFH是平行四边形.
(2)①四边形EGFH是菱形,G是AE的中点,则GF=GE=GA=
AE,得到∠AFE=90°
,根据DE=AF,列方程求解;
②四边形EGFH是矩形,易得△ADE∽△EHC,则根据
列方程求解即可.
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°
,AD=CB,
∵点E、F同时分别从D、B两点出发,以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动,
∴DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴AE=CF,∠DEA=∠EAF=∠CFB,
∵点G、H分别为AE、CF的中点,
∴GE∥HF,且GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
②8或
【解法提示】连接EF,
∵四边形EGFH是菱形,G是AE的中点.∴GF=GE=GA=
AE,∴EF⊥AB,
∴DE=AF,∴t=13-t,∴t=
②∵四边形EGFH是矩形,∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°
∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°
,∴∠AED=∠ECH,∴△ADE∽△EHC,
∴
,∴
,解得:
t1=8,t2=
6.【思路分析】
(1)首先利用勾股定理求得AB=10,然后表示出AP,过P作PH⊥AC于H,利用△APH∽△ABC,利用相似三角形对应边的比相等,表示出AH的长,然后由平行四边形面积公式,得到平行四边形AQPD的面积的二次函数表达式,用配方法求最值;
(2)①利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值;
②利用菱形的性质得到△AEQ∽△ACB,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值.
(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
∵BP=2tcm,
∴AP=AB-BP=10-2t,
过P作PH⊥AC于H,则PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
,即
∴PH=
(10-2t).
∵S▱AQPD=AQ·
PH=2t·
·
(10-2t)
=-
t2+12t=-
(t-
)2+15,
∴当t=
s时,平行四边形AQPD的面积具有最大值,为15.
【解法提示】①当▱AQPD是矩形时,PQ⊥AC,∴PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴
,解得t=
.∴当t=
时,▱AQPD是矩形;
②当▱AQPD是菱形时,DQ⊥AP,则△AEQ∽△ACB,∴
时,▱AQPD是菱形.
7.【思路分析】
(1)根据平行四边形和平移的性质得到AB=CD,AE=CG,再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得到BE=DG;
(2)①要使四边形ABFG是菱形,须使AB=BF;
根据条件找到满足AB=BF时,BC与AB的数量关系即可;
②当四边形AECG是正方形时,AE=EC,由AE=
AB,可得EC=
AB,再有BE=
AB可得BC=
AB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.
∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,
∴CG⊥AD,AE=CG,
∴∠AEB=∠CGD=90°
∵在Rt△ABE与Rt△CDG中,AE=CG,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL),
∴BE=DG.
【解法提示】①当BC=
AB时,四边形ABFG是菱形.
证明:
∵AB∥GF,AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.
∵Rt△ABE中,∠B=60°
,∴∠BAE=30°
,∴BE=
AB,
∵BE=CF,BC=
AB,∴EF=
AB.∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形.
②BC=
AB时,四边形AECG是正方形.
∵AE⊥BC,GC⊥CB,∴AE∥GC,∠AEC=90°
∵AG∥CE,∴四边形AECG是矩形,当AE=EC时,矩形AECG是正方形,∵∠B=60°
,∴EC=AE=AB·
sin60°
AB,BE=
AB,∴BC=
8.解:
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EBC=∠FDA.
在△BEC和△DFA中,
∴△BEC≌△DFA.
(2)①平行四边形;
②2或6.
【解法提示】①平行四边形,理由如下:
连接CF,AE,
由
(1)得:
∠BEC=∠DFA,EC=AF,∴∠FEC=∠AFE,即EC∥AF,∴以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是平行四边形.
②2或6,理由如下:
∵四边形AECF为矩形,∴AC=EF,
∵BD=8cm,AC=4cm,∴EF=4,BE=2cm或6cm.
∵速度为1cm/s,∴t=2或6.
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- 题型 特殊 四边形 动态 探究