七年级下册数学讲义之等腰三角形学生Word文档格式.docx
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三边都相等的三角形叫等边三角形
如图所示.
2、注意:
①由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.
②等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
知识点五:
等边三角形的性质
1、等边三角形的性质:
等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°
2、理由如下:
如上图所示,由AB=AC可得∠B=∠C,同样可得∠A=∠C,所以∠A=∠B=∠C.
而∠A+∠B+∠C=180°
.则有∠A=∠B=∠C=60°
.
注意:
这条性质只有等边三角形具有.
知识点六:
等边三角形的判定
1、等边三角形的判定:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
2、证明如下:
(1)如下图所示,若∠A=∠B=∠C,可由∠A=∠B得,AC=BC;
由∠A=∠C得,AB=BC.所以AB=AC=BC.
于是判定
(1)成立.
(2)如上图所示,在△ABC中,AB=AC,若∠A=60°
,则有∠B=∠C=60°
,于是∠A=∠B=∠C.
由判定
(1)得△ABC是等边三角形;
若∠B=60°
,则∠B=∠C=60°
,于是∠A=60°
,∠A=∠B=∠C.
由判定
(1)得△ABC是等边三角形。
所以判定
(2)成立.
规律方法指导
1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有:
(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
(2)在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
精解名题
类型一:
探究型题目
1.如图1,在直角△ABC中,∠ACB=90°
,∠CAB=30°
,请你设计三种不同的分法,把△ABC分割成两个三角形,且要求其中有一个是等腰三角形。
(在等腰三角形的两个底角处标明度数)
举一反三:
【变式1】如图3,D是△ABC中BC边上的一点,E是AD上的一点,EB=EC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
在△AEB和△AEC中,
所以△ABE≌△AEC(第一步),
所以AB=AC,∠3=∠4(第二步),
所以AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)。
上面的证明过程是否正确?
如果正确,请写出每一步的推理依据;
如果不正确,请指出关键错在哪一步,写出你认为正确的证明过程。
【答案】第一步错误。
因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等,不能判定它们全等。
正确的证明过程是:
因为EB=EC,
所以∠EBD=∠ECD,
所以∠EBD+∠1=∠ECD+∠2,
即:
∠ABC=∠ACB,
所以AB=AC。
在△AEB和△AEC中,
所以△ABE≌△AEC,
所以∠3=∠4,
所以AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)。
【变式2】已知△ABC为等边三角形,在图4中,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点。
(1)请猜一猜:
图4中∠BQM等于多少度?
(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上,其它条件下不变,如图5所示,
(1)中的结论是否仍
然成立?
如果成立,请加以证明;
如果不成立,请说明理由。
【答案】
(1)题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°
,而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。
(2)题的证明过程如下:
因为△ABC为等边三角形,
所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°
,
所以∠ACM=∠BAN。
在△ACM和△BAN中,
所以ΔACM≌ΔBAN,
所以∠M=∠N,
所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°
。
类型二:
与度数有关的计算
2.如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°
,求∠2的度数。
思路点拨:
解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系,显然∠2=∠1+∠C,只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了,而∠C=∠B,所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系,变成△ABD的角之间的关系,问题就容易的多了。
解析:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AB=BD
∴∠2=∠3
∵∠2=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°
∴∠B=180°
-2∠2
∴∠2=∠1+180°
∴3∠2=∠1+180°
∵∠1=30°
∴∠2=70°
总结升华:
关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
【变式1】如图,D、E在△ABC的边BC上,且BE=BA,CD=CA,若∠BAC=122°
,求∠DAE的度数。
【答案】∵BE=BA
∴∠2=∠BAE
∵CD=CA
∴∠1=∠CAD
∵∠1+∠CAD+∠C=180°
∴∠1=
∵∠2+∠BAE+∠B=180°
∴∠2=
∴∠1+∠2=
∵∠B+∠C=180°
-∠BAC
∵∠DAE=180°
-(∠1+∠2)
∴∠DAE=90°
-
=90°
-61°
=29°
【变式2】在△ABC中,AB=AC,D在BC上,E在AC上,且AD=AE,∠BAD=30°
,求∠EDC的度数。
【答案】∵AB=AC,AD=AE
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD
∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD
∵∠AED=∠C+∠EDC
∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD
∴∠EDC=
∠BAD=15°
类型三:
等腰三角形中的分类讨论
3.当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论
(1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。
(2)等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。
由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是“腰”,哪条边是“底”不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论。
解析:
(1)因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形;
当腰长为8时,周长为8+8+10=26;
当腰长为10时,周长为10+10+8=28;
故这个三角形的周长为26cm或28cm。
(2)当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形;
当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为:
7+7+3=17;
故这个三角形的周长为17cm。
对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
举一反三:
【变式1】当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数
(1)当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x,
∴4x+4x+x=180°
,∴x=20°
,∴4x=80°
于是三角形的各个内角的度数为:
20°
,80°
(2)当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为
4x,
∴x+x+4x=180°
,∴x=30°
,∴4x=120°
30°
,30°
,120°
故三角形各个内角的度数为20°
或30°
【变式2】当高的位置关系不确定时,必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°
,求这个三角形的各个内角的度数。
【答案】设AB=AC,BD⊥AC;
(1)高与底边的夹角为25°
时,高一定在△ABC的内部,
如右图,∵∠DBC=25°
,∴∠C=90°
-∠DBC=90°
-25°
=65°
∴∠ABC=∠C=65°
,∠A=180°
-2×
65°
=50°
图1
(2)当高与另一腰的夹角为250时,
①如图2,高在△ABC内部时,
当∠ABD=25°
时,∠A=90°
-∠ABD=65°
∴∠C=∠ABC=(180°
-∠A)÷
2=57.5°
;
②如图3,高在△ABC外部时,∠ABD=25°
, 图2
∴∠BAD=90°
-∠ABD=90°
,∴∠BAC=180°
-65°
=115°
,
∴∠ABC=∠C=(180°
-115°
)÷
2=32.5°
故三角形各内角为:
,65°
,50°
或
65°
,57.5°
或115°
,32.5°
图3
【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°
,求底角B的度数。
分析:
题目中AB边上的垂直平分线与直线AC
相交有两种情形;
解:
(1)如图,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,
∠ADE=40°
则∠A=900-∠ADE=50°
∵AB=AC,∴∠B=(180°
-50°
2=65°
(2)如图,AB边的垂直平分线与直线AC的反向
延长线交于点D,∠ADE=40°
,则∠DAE=50°
∴∠BAC=130°
,∵AB=AC,∴∠B=(180°
-130°
2=25°
故∠B的大小为65°
或25°
【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,求腰长。
【答案】如图,∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD,
(1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3时,则AB-BC=3,
∵BC=5∴AB=BC+3=8;
(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3时,则BC-AB=3,
∵BC=5∴AB=BC-3=2;
但是当AB=2时,三边长为2,2,5;
而2+2<5,不合题意,舍去;
故腰长为8。
类型四:
证明题
4.已知:
如图,∠ABC,∠ACB的平分线交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E。
求证:
BD+EC=DE。
因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一三角形中,等角对等边”易证结论成立。
∵DE∥BC,
∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等)
又∵BF平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DB=DF(等角对等边)
同理:
EF=CE,
∴BD+EC=DF+EF
即BD+EC=DE。
在三角形中,利用“等角对等边”证明线段相等,是一种常用的方法。
【变式1】如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O。
(1)∠AOB=120°
(2)CM=CN;
(3)MN∥AB。
(1)∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∠BCD=∠BCE+∠DCE
且∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴∠3=∠2
∵∠1+∠3=60°
,∴∠1+∠2=60°
∴∠AOB=∠1+∠ADC+∠2=60°
+60°
=120°
(2)∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠MCN=60°
在△CMA和△CND中
∴△CMA≌△CND(ASA)
∴CM=CN
(3)∵CM=CN且∠MCN=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=60°
又∵∠DCA=60°
∴∠NMC=∠DCA
∴MN∥AB
【变式2】已知,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB(如图所示)。
(1)AB=2BC;
(2)CE=AE=EB。
(1)∵CE、CD三等分∠ACB
∴∠1=∠2=∠3=30°
又∵CD⊥AB,∴∠B=60°
,∠A=30°
在Rt△ABC中,∠A=30°
,∴AB=2BC
(2)∵∠A=∠1=30°
∴CE=EA
又∵∠B=∠BCE=60°
∴△BCE是等边三角形,∴EC=EB
∴CE=EA=EB
学习成果测评
基础达标:
一、填空:
1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm,则该等腰三角形的周长为______cm。
2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm,则该等腰三角形的周长为______cm。
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°
,则顶角为_____。
4、在△ABC中,AC=BC,且∠B=∠C,则△ABC是____________三角形。
5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边,则它的两个锐角的度数是____________。
6、等腰三角形的一个角是80°
,则其他两个角的度数是____________。
二、选择题
1.若一个三角形的三个外角度数比为2:
3:
3,则这个三角形是()
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.将两个全等的有一个角为30°
的直角三角形拼成如图1所示形状,两条长直角边在同一条直线上,则
图中等腰三角形的个数是()
图1
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.在以①30°
②25°
,75°
③38°
,52°
④55°
,70°
⑤42°
,96°
⑥28°
62°
⑦56°
,68°
⑧45°
,45°
⑨60°
,60°
为两内角可以构成的三角形中,有等腰三角
形()
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是()
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等
D.一底角、底边对应相等
三、解答题
1、等腰三角形的周长为12,且其各边长均为整数,求各边长。
2、
(1)等腰三角形的一个角为50°
,求另外两个角的度数。
(2)等腰三角形的一个外角为100°
,求该等腰三角形的顶角。
3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分,求该等腰三角形的各边长。
4、如图2所示,△ABC和△BDE都是等边三角形。
图2
AE=CD。
5、如图3所示,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E、F,且BF=CE。
判断△ABC的形状并证明。
图3
6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否,甲、乙、丙三位同学给出了如下论断:
甲:
正确。
因为若两边都是直角边,则用(SAS)全等识别法就可以证它们全等。
乙:
因为若其中一边是直角边,另一边是斜边,则可用(HL)定理证全等。
丙:
不正确。
若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等,较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等,则显而易见两个三角形不全等。
请你就这三个同学的见解发表自己的意见。
7、如图所示,是城市部分街道示意图,AB=BC=AC,CD=CE=DE,A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点,“甲公共汽车”从A站出发,按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站,“乙公共汽车”从B站出发,沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。
如果甲、乙分别同时从A、B站出发,在各站耽误的时间相同,两车速度也一样,试问哪一辆公共汽车先到达指定站?
为什么?
答案与解析:
一、填空题
1。
12(2cm不能为腰长,只能为底边长(2+2<5),所以周长为2+5+5=12(cm)。
)
2。
13或11(3cm既能为腰长,又能为底边长(5+5>3、3+3>5),
∴周长为3+5+5=13(cm)或3+3+5=11(cm)。
)
3。
50°
或130°
(等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内,也可能在三角形外,因此要分类讨论。
4。
等边
5。
45°
点拨:
等腰三角形三线合一。
6。
80°
,20°
或50°
是锐角,即可以是顶角,也可以是底角。
1.D
三个外角度数分别为
360°
×
=90°
,360°
=135°
,135°
∴三角形为等腰直角三角形。
2.B
3.D
根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理,排除②③⑥。
4.C
本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。
A(SAS),B(SSS),D(ASA)。
1、设其腰长为x,则底边长为(12-2x),由题意得:
解得3<x<6
∵x为整数
∴x=4或5
∴该等腰三角形的三边长分别为:
4、4、4或5、5、2。
2、
(1)分两种情况:
①若已知的角为顶角,则另外两个角均为底角,设其度数为x,则2x+50=180,
解得:
x=65;
②若已知的角为底角,可设顶角为y,则50×
2+y=180,解得:
y=80
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