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2018-2019学年高2016级高三10学月统一检测
数学试题(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,将试题卷带走,仅将答题卡交回。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则(▲)
2.若复数满足,其中为虚数单位,则等于(▲)
3.设,则是的(▲)
必要不充分条件充分不必要条件
充要条件既不充分也不必要条件
4.命题的否定是(▲)
5.已知为偶函数,则在区间上为(▲)
增函数增函数
先增后减先减后增
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(▲)
7.我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明,戍边的
官兵通过在烽火台上举火向国内报告,烽火台上点火表示数字,不点火表示数字,这蕴含了进位制的思想,如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图,若输入则输出的值为( ▲ )
8.函数,则(▲ )
大小关系不能确定
9.函数的图象大致是( ▲ )
10.从分别标有的张卡片中不放回地随机抽取次,每次抽取张,则抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ▲)
11.等差数列的公差是,且前项和为,当首项和变化时,是一个定值,则下列各数也为定值的是(▲)
12.定长为的线段的两端点在抛物线上移动,设点为线段的中点,则点到轴的距离的最小值为(▲)
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数,则过的切线方程为▲.
14.实数x,y满足不等式组,则的最小值为▲.
15.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值为____▲____.
16.对任意实数,定义运算“⊗”:
⊗,设⊗,若函数的图象与轴恰有三个不同交点,则的取值范围是▲
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(本小题满分12分)
已知,,设函数,.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若的内角,,所对的边分别为,,,且,,,求的面积.
▲
18.(本小题满分12分)
某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率.
(3)抽奖活动的规则是:
代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.
▲
▲
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为、,
已知左顶点的坐标为,点M在椭圆上,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于、,且满足,求的面积.
▲
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=x2(ex-1+ax),aR.
(1)设g(x)=f(x)+x2-ax3,求曲线y=g(x)在点P(1,g
(1))处的切线方程;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
▲
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.
22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程是为参数)
(1)将C的参数方程化为普通方程;
(2)在直角坐标系中,,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为为C上的动点,求线段PQ的中点M到直线的距离的最小值.
▲
23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
设函数,,其中.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若对任意,都存在,使得,求实数的取值范围.
▲
2018-2019学年高2016级高三10学月统一检测
数学试题(文科)参考答案
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1~6ABAACC7~12DCBCCD
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.14.15.16.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.已知,,设函数,.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若的内角,,所对的边分别为,,,且,,,求的面积.
17.解:
(I)
,……………2分
令,……………3分
则,……………5分
所以函数的单调增区间为:
.……………6分
(II)由(I)知,即,
而,知,所以,即.…………8分
由,有
解得.……………10分
.
故所求面积为.……………12分
18.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率.
(3)抽奖活动的规则是:
代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.
18.解:
(1)由题意可得,∴n=160;
……………4分
(2)高二代表队6人,从中抽取2人上台抽奖的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b.f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种,其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种,……………6分
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=;……………8分
(3)由已知0≤x≤1,0≤y≤1,点(x,y)在如图所示的正方形OABC内,
……………9分
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0,令y=0可得x=,令y=1可得x=1……………10分
∴在x,y∈[0,1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=.……………12分
20.在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为、,已知左顶点的坐标为,点M在椭圆上,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于、,且满足,求的面积.
20.解:
(1)∵椭圆左顶点的坐标为∴…………1分
又的周长为,∴∴………2分
又∵∴……3分
∴所求椭圆的方程为.……………4分
(2)由可得,两边平方整理得.
…………5分
①直线斜率不存在时,,,不满足.…………6分
②直线斜率存在时,设直线的方程为,,,
联立,消去,得,
∴,,(*)…………8分
由得.
将,代入整理得,
展开得,
将(*)式代入整理得,解得,…………10分
∴,,
的面积为,
代入计算得,即的面积为.……………12分
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=x2(ex-1+ax),aR.
(1)设g(x)=f(x)+x2-ax3,求曲线y=g(x)在点P(1,g
(1))处的切线方程;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
21.解:
(1)g(x)=f(x)+x2-ax3=x2ex,g′(x)=(2x+x2)ex,………1分
曲线y=g(x)在点P(1,e)处切线的斜率为:
k=g′
(1)=3e,…………2分
所以切线方程为:
y-e=3e(x-1),即:
3ex-y-2e=0.……………4分
(2)因为f(x)=x2(ex-1+ax)对x≥0恒成立,设g(x)=ex+ax-1(x≥0).
∴f(x)≥0恒成立⇔g(x)≥0恒成立,……………6分
∵g′(x)=ex+a,
当a≥-1时,g′(x)≥0对x≥0恒成立,
∴g(x)≥g(0)=0符合题意.…………………8分
当a<-1时,由g′(x)>0得x>ln(-a),
由g′(x)<0得0≤x<ln(-a).………………10分
∴g(x)在(0,ln(-a))是减函数,在(ln(-a),+∞)是增函数.而又g(0)=0,
∴g(ln(-a))<0,故不符合题意.……………11分
综上所述a的取值范围是[-1,+∞).……………12分
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.
22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程是为参数)
(1)将C的参数方程化为普通方程;
(2)在直角坐标系中,,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为为C上的动点,求线段PQ的中点M到直线的距离的最小值.
22.解:
(Ⅰ)消去参数得.…………………………………4分
(Ⅱ)将直线l的方程化为普通方程为.……………6分
设Q(),则M(),
∴,……………8分
∴最小值是.……………………………………10分
23.(本小题满分12分)选修4-5:
不等式选讲
设函数,,其中.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若对任意,都存在,使得,求实数的取值范围.
23.解:
(I)不等式,
……………2分
则
解得:
或,即……………4分
所以不等式的解集为.……………5分
(II)设的值域为,的值域为.
对任意的,都存在,使得等价于:
,
而.……………7分
①当时,不满足题意;
②当时,,由得,得,不满足题意;
③当时,,由得,得,
满足题意;……………9分
综上所述,实数的取值范围是:
.……………10
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