届浙江省嘉兴市高三上学期期末数学试题Word文件下载.docx
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0,则z=2x+y的最大值是()
3x+y<
5
A.0B・3C.4D.5
7.
某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:
cm?
)是()
A.兀+4
C.兀+2
俯视图
B.-+4
2
7T
D.—+2
&
3男3女六位同学站成一排,则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是()
A.576B.432C.388D.216
22
9.已知双曲线二-二=1("
>
0小>
0)的左、右焦点分別为f0为坐标原点,点P是英右支上第一crlr
象限内的一点,直线PO,PF2分别交该双曲线左、右支于另两点AB,若\PF{\=2\PF2\t且厶耳8=60。
,
则该双曲线的离心率是()
10.对任意x>
0,若不等式—+«
lnx+e2>
ar恒成立(e为自然对数底数),则正实数。
的取值范围是
x
()
22
A.(0©
B.(Og]C.[-,e]D.[-,e2]
ee
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11・已知复数乙=——(其中i虚数单位),则:
|z|=・
1+i11
12.已知抛物线y2=mx(m^0)的焦点为准线方程为x=-2,点P(x(p4)是抛物线上的一点,则实
数川=,\PF\=.
13.已知△ABC中,角A,B.C所对的边分别为ab,c,c=4,A=扌,且△ABC的而积为JJ,则
b=;
cosC=.
14.已知(1+加力(1+*)5=5+。
$+6(2兀2+・・・+。
6%6・若。
2=5,贝;
山++《=・
15.已知平面向疑方与乙夹角为120°
b^a上的投影是一1,且满足(2^+5)丄(方一3厉,贝9
\a+2b1=・
3
16.甲乙两人进行5局球赛,甲每局获胜的概率为丁,且各局的比赛相互独立,已知甲胜一局的奖金为8元,
4
设甲所获的奖金总额为X元,则甲所获奖金总额的方差£
(%)=•
17.如图,在多而体ABC-DEF中,已知棱AE、BD,CF两两平行,AE丄底而DEF,DE丄DF,四
边形ACFE为矩形,AE=DE=DF=2BD=3,底面△内(包括边界)动点P满足AP、BP与底
IfilDEF所成的角相等•记直线CP与底而DEF的所成角为0,则lan0的取值范用是
1/P、、
DF
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在厶ABC中,角所对的边分别为she,已知函数f(x)=2cosxsin(x-—)(xeR).
(1)求/(話)的值;
1厶
(2)求函数y=/(x)的单调递增区间.
19.
PC=3・
如图,四棱锥P-ABCD中,△PAD为正三角形,AB//CD,AD=DC=-AB=2.BC=2贰2
(1)求证:
AD丄PC;
(2)求AB与平面PAD所成角的正弦值.
31
20.已知数列{£
}满足〜=2,n>
2,//eTV4
2"
—I
(1)证明:
数列{亠}为等差数列,并求数列{①}的通项公式;
毎T
(2)若q=—务,记数列{—}的前〃项和为人,求证:
-<
7;
<
1.
77-24
21.已知中心在坐标原点的椭圆C,其焦点分别为斤(—1,0),耳(1,°
),点P(-彳,孕)为椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)过点Q(6,-4)的直线A与尤轴交于点ra,O),由点T(t.0)引另一直线厶交椭圆c于A,B两点•是否存
在实数使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列,若存在,求出/的值:
若不存在,说明理由.
22.已知函数/(x)=(/?
?
+1)Inx,g(x)=inx2+x9meR.
⑴当心时,曲线心1(小希"
刈在“2处的切线与直线*『亠。
平行,求
函数y=0(切在[©
/]上的最大值(“为自然对数的底数):
(2)当加=1时,已知Ovdv/?
证明:
a_bg(a)+g(b)_a-b
1.已知集合A={xly=lg(x-1)),B={x\-\<
3],则AC\B=()
A.{xl-l<
C.{x\2<
3}D.{x\\<
3}
【答案】D
2.已知数列{"
”}满足«
n+1=3an(neN*),且a}=2,则绚+召+他+…+绻=()
A.丁一1B.3"
C.3心一1D.3心
【答案】A
3.已知x,yeR,贝rW+|y|>
0,»
是“兀>
0“()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
5・设人川是两条不同的直线,Q是一个平而,则下列说法正确的是()
A.若Illa,加ua,贝
B.若Illa,mlla»
贝)11//m
C.若/丄加,〃7UQ,贝ij/丄Q
D.若/丄a,Illm,则加丄a
‘2x-)J0
6.
已知实数忑y满足条件b+2y>
0,则z=2x+y的最大值是()
B.-+4
n八
D.-+2
【答案】A9已知双曲线孑一召WOQ。
)的左、右焦点分别鮎入。
为坐标原点,点P是貝右支上第一
象限内的一点,直线PO、PF’分别交该双曲线左、右支于另两点人3•若|丹订=20坨|,且ZA&
B=60。
10•对任意x>
ar恒成立(e为自然对数的底数),则正实数。
的取值范用是
()
A.(0,e]B.(0,e2]C・[二,e]D.[-,e2]
11.已知复数乙=——(其中i为虚数单位),则I:
1+i|I
【答案】
(1).1+/
(2).迈12・已知抛物线y2=mx(m^0)的焦点为F,准线方程为x=-2,点PCv0,4)是抛物线上的一点,则实
数m=,IPF1=.
【答案】
(1).8
(2).4
13.已知△ABC中,角所对的边分别为ab,c,c=4,A=扌,且△ABC的而积为JJ,则b=;
【答案】
(1).1
(2)._並
13
15.已知平面向量Z与乙的夹角为120。
乙在方上的投影是-1,且满足(2a+b)丄(d-3b),则
\a+2b1=・
【答案】-
16.甲乙两人进行5局球赛,甲每局获胜的概率为二,且各局的比赛相互独立,已知甲胜一局的奖金为8元,
>(%)=・
【答案】60
17.如图,在多而体ABC-DEF中,已知棱AE.B0CF两两平行,AE丄底而DE丄DF,四
边形ACFE为矩形,AE=DE=DF=2BD=3,底而△DEF内(包括边界)的动点P满足AP、BP与底面DEF所成的角相等•记直线CP与底而DEF的所成角为0,则lan0的取值范用是
三■解答题:
本大题共5小题,共74分•解答应写出文字说明■证明过程或演算步骤.
18.在厶ABC中,角A,3,C所对的边分别为已知函数f(x)=2cosxsinGv-^)(A-eR).
(1)求/(菩)的值:
(2)求函数y=fM的单调递增区间.
【答案】
(1)-——:
(2)[k/r(A:
gZ).
21212
19・如图,四棱锥P-ABCD中,△PAD为正三角形,AB//CD,AD=DC=-AB=2.BC=2®
2
PC=3.
(1)求证:
(2)求AB与平^PAD所成角的正弦值.
(1)证明见解析:
(2)二.
(1)取4D中点0,连结OPOCAC•因为==BC=2氐
由平几及解三角形知识得cosZBAC匚一卩。
)亠cosZACD=AL+2、2,,解得
2x4xAC2x2xAC
AC=2,所以ZADC=60。
因此△ADC为正三角形,故AD丄OC,又因为△PAD也是正三角形,因此AD丄OP,又OC^\OP=O.
所以AD丄平而POC,而PCu平而POC,所以AD丄PC.
因为AB//CD,所以AB与平而PAD所成角即CD与平而PAD所成角,记作0・
由
(1)得AD丄平而POC,又ADu平而PAD‘所以平而PAD丄平而POC,
平面PADC\平面POC=P0、故过点C作CH丄平而PAD,则垂足H必在直线PO匕此时0=ZCDH,在正△PAD中,PO=^AD=^・而OC=QPC=3,
所以在△POC中,由余弦泄理可得ZPOC=120°
,所以CH=(7Csin60o=-,又CD=2,
所以sin0=sinZCDH=雲=二所以AB与平而PAD所成角的正弦值为-・
CD44
方法二:
由
(1)知AD丄平而POC,又ADu平而ABCD,所以平面POC丄平而ABCD,
平面POCA平面ABCD=0C•故过点0作直线Oz丄OC,则Oz丄平面ABCD,
又AD丄CO,故可如图建立空间直角坐标系•又OD=XOC=EOP=®
ZPOC=120°
可求
得各点坐标:
0(0,0,0),D(l,0,0),C(O,V3,O),P(0.-^,-)
又耐abhcd,故仙与平而咖所成角的正弦值警•
31
20.已知数列{©
}满足4=二,5=2,77>
2,ne/V.
2Un^\
数列{丄”为等差数列,并求数列{"
”}的通项公式;
n
(2)若5=上一,记数列{q}的前〃项和为7;
求证:
(1)iiE明见解析,=—:
(2)证明见解析.
n-i
/?
+1
所以人=Cl+C2+・・・+S-l+q
(1111I,】
2・,2-23-2”・2心⑺+1)・2“(舁+1)・2〃'
即人=1一(“+;
)•尹,显然人V—另一方而,
丁丁(1“1、11n+2八
”z(〃+1)・2"
〃・2心〃・2心(〃+1)・2“料・(〃+1)・2"
33
故数列{人}是递增数列,所以Tn>
T}=-9因此,-<
(2)分直线厶的斜率为零、直线厶的斜率不为零两种情况讨论,当直线厶斜率不为零时,可设直线厶的方
程为x=ny+t.A(nyx+t.y{)9B(ny2+t,y2)9由kQA+kQR=2kQT可得
(2川一12〃—加2)”儿+(/—6)(f—6—4〃)(”+儿)=0,联立直线厶的方程与椭圆的方程消元可得
代入即可求解.
22c^7
【详解】
(1)设椭圆c的方程为4+4=k«
/^>
o),由题意可求得|pf;
|=-,|p/s|=-crb~33
由椭圆定义可知2心眄+1昭1=4,所以a=2,而c=l,故b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程7吟+专"
(2)假设存在实数/•使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列,即满足!
^%=2咕
1当直线厶的斜率为零时,此时直线厶与椭圆C的交点是椭圆C长轴的端点
14
不妨设A(-2,0),5(2,0),此时乞=一一,kQB=7,kQT=——
2/—6
142
由于*qa+A"
=2kqt,故1=2,解得f=—
2r-63
2当直线厶斜率不为零时,可设直线【2的方程为工=◎'
+1
Z+£
=i
A(〃X+f,yi),B(ny2+t,y2),联立方程组]43
X=77V+t
*
整理得(3n2+4)y2+6nty+3r-12=0
3n2+4
故X+4+力+4亠
◎+f-6ny2+r-6r-6
整理得(2nt一12川一Sn2)y}y2+(t-6)(r—6—4n)(y{+y2)=0
将(町代入上式可得,整理得八(/一6-4仍(&
-4)=0,对于任意〃该等式恒成立
故6/-4=0,解得/=§
2综合①②,可知存在实数/=-,使得直线QA.QT.QB的斜率成等差数列
22.已知函数/(x)=(n?
+l)lnx,g(x)=mx2+x9rneR・
⑴当…时,曲线血)5小希"
网在“2处的切线与直线亠。
平行,求函数y=0(x)在[©
'
]上的最大值(£
为自然对数的底数):
(2)当加=1时,已知Ovcvb,证明:
斗
a_bg(a)+g(b)-a-b
(1)—+1:
(2)证明见解析.
(1)当〃2=0时,^(x)=lnx+—-1,因此^(%)=--—
XXX
而曲线y=0(x)在x=2处的切线与直线x+2y—l=0平行,
故0
(2)冷号冷,解得“4.
4.兀一4
所以0(x)=lnx+_-l,0(x)=_
故当时,0(x)vO,即函数y=0⑴在[匕4)上递减,当xe(4,?
]时,0&
)>
0,即函数y=0(x)在(4”]上递增,
所以[0(尤)]皿=mdx{0(e),°
(f)},而0(e)=£
0(,)=£
+1,故0(02)_0(£
)=竺工>
0,即0(/)>
飒砂,所以函数在[匕专上的最大值为£
+1.
(2)当〃2=1时,f(x)=2\nx,g(x)=x2+x,由于OvovZ?
O证明Inin仁b-a
成立O址明叹一认>
>
+/成立'
b2(?
-1)匕
O证明ln—>
—成立.令x=-,
"
佝+1°
a
即只需证明Inx>
2D(x>
1)成立
+1
O证明(x2+l)lnx-2x+2>
0(x>
l)即可,下而证明该不等式成立.
设F(x)=(x2+1)Inx-2x+2(x>
1),求得F(x)=2xlnx+x+—-2,x
所以当x>
1时,F(x)>
2xInx+2-2=2xInx>
0,
因此函数〉=F(x)是(h+s)上的增函数,故F(x)>
F(l)=0,
这就证明了当兀>
1时,(x2+l)lnx—2x+2>
0恒成立,故原命题成立.
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- 浙江省 嘉兴市 高三上 学期 期末 数学试题
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