普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ 文科数学校对版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ文科数学校对版
2013年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷Ⅰ
文科数学
(时间:
120分钟 分值:
150分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B= ( )
A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}
2.= ( )
A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
( )
A.B.C.D.
4.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为 ( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
5.已知命题p:
∀x∈R,2x<3x;命题q:
∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是
( )
A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q
6.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 ( )
A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an
7.执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于 ( )
A.[-3,4]B.[-5,2]
C.[-4,3]D.[-2,5]
8.O为坐标原点,F为抛物线C:
y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,
则△POF的面积为 ( )
A.2B.2C.2D.4
9.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )
10.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= ( )
A.10B.9C.8D.5
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8πB.8+8π
C.16+16πD.8+16π
12.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
第Ⅱ卷(非选择题)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t= .
14.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 .
15.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .
16.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
18.(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:
h)实验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好.
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好.
19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明AB⊥A1C.
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值.
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
21.(本小题满分12分)已知圆M:
(x+1)2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程.
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明:
DB=DC.
(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程.
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x) (2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 答案解析 1.【解题提示】先确定集合B中的元素,然后求A∩B. A 因为A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},所以B={1,4,9,16},则A∩B={1,4}. 2.B 3.B从1,2,3,4中任取2个不同的数有6种,取出的2个数之差的绝对值为2有2种,则概率 4.【解题提示】根据题目中给出的离心率确定a与c之间的关系,再利用c2=a2+b2确定a与b之间的关系,即可求出渐近线方程. C因为所以,又因为c2=a2+b2,所以,得,所以渐近线方程为y= 5.【解题提示】对命题p: 采用特值法判断为假命题,令f(x)=x3+x2-1,命题q利用零点存在的条件f(0)f (1)<0判断为真命题,然后根据四种命题的关系求解. B对于命题p: 取x=-1,可知为假命题,命题q: 令f(x)=x3+x2-1,且f(0)f (1)<0,故f(x)有零点,即方程x3+x2-1=0有解,q: x∈R,x3=1-x2为真命题. 6.【解题提示】利用等比数列的前n项和公式Sn=求解. D方法一: 因为等比数列的首项为1,公比为,所以Sn=3-2an. 方法二: ,观察四个选项可知选D. 7.【解题提示】观察程序框图,知t<1对应的函数为s=3t,t≥1对应的函数为s=4t-t2,再结合函数的定义域求输出的s的范围. A由程序框图可知,s与t可用分段函数表示为s=则s∈ [-3,4]. 8.【解题提示】由抛物线的定义: 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解. C设P(x1,y1),则|PF|=x1+=x1+=4,解得x1=3,因为P为C上一点,则=24,得|y1|=2,所以S△POF= 9.【解题提示】首先判断函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除. C因为f(-x)=-(1-cosx)sinx,即f(-x)=-f(x),而定义域x∈[-π,π]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,排除B.又当x=时>0,排除A.当x=时 >1,排除D. 10.【解题提示】由23cos2A+cos2A=0,利用倍角公式求出cosA的值,然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值. D因为23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A= 方法一: 因为△ABC为锐角三角形, 所以 由正弦定理得, 又B=π-(A+C), 所以sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC, 由正弦定理得, 解得b=5. 方法二: 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,cosA=,则b2+36-12b×=49,解得b=5,负值舍去. 11.【解题提示】观察三视图,根据三视图确定几何体的构成,利用圆柱及长方体的体积公式求解. A由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π. 12.【解题提示】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象,利用|f(x)|在(0,0)处的切线为制定参数的标准. D画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示, 当x≤0时,g(x)=|f(x)|=x2-2x, g′(x)=2x-2,g′(0)=-2,故a≥-2. 当x>0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1), g′(x)= 由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于a, 所以a≤0,综上-2≤a≤0. 13.【解题提示】由于条件中给出了b·c=0,所以可以将c=ta+(1-t)b的两边同时乘以b进行求解. 【解析】由c=ta+(1-t)b得,b·c=ta·b+(1-t)b2=0, 整理得t|a||b|cos60°+(1-t)|b|2=0, 化简得t+1-t=0, 所以t=2. 答案: 2 14.【解题提示】画出x,y满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标函数取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中. 【解析】画出可行域如图所示,当目标函数z=2x-y过点A(3,3)时,取得最大值,zmax=2×3-3=3. 答案: 3 15.【解析】因为α截球O所得截面的面积为π, 所以截面α的半径为1. 设球的半径为R,则AH= BH=,由勾股定理得12+=R2, 解得R2= 所以球O的表面积为4πR2= 答案: 16.【解题提示】利用辅助角公式f(x)=asinx+bcosx=sin(x+)(其中tan=)构造求解cosθ的值. 【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+),其中tan=-2,当x+=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-.所以cosθ=cos(-)=sin,又因为tan=-2,在第四象限,所以sin=,即cosθ=. 答案: 17.【解题提示】 (1)利用S3=0,S5=-5求出等差数列的首项及公差,利用an=a1+(n-1)d求出{an}的通项公式. (2)将 (1)中的通项公式代入到中,利用裂项相消法求前n项和. 【解析】 (1)设数列{an}的公差为d,则Sn=na1 由已知可得解得 故{an}的通项公式为an=2-n. (2)由 (1)知 从而数列的前n项和为 18.【解析】 (1)设A药观测数据的
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