最新北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形docxWord格式文档下载.docx

最新北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形docxWord格式文档下载.docx

《最新北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形docxWord格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形docxWord格式文档下载.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是（）．

（3）直的表示方法

直有两种表示方法：

①可以用表示条直上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直上任意

两个点的字母没有序性．如甲中的直可作“直AB”或“直BA”；

②可用一个小写字母来表示，

如乙中的直可作“直l”．

甲

乙

辨区段、射、直的系

①表示段、射、直，都要在字母前面注明“段、射或直”；

②用两个大写字母表示段

和直，两个字母没有序性，可以交位置，如“段BA”和“段AB”表示同一条段，“直AB”和

“直BA”表示同一条直；

③表示射的两个大写字母有一定的序，表示端点的字母必写在前面．

【例2－2】如所示，下列法（）．

A．都B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确

3．直的性

（1）两点有且只有一条直．

①它包含两含：

一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条⋯⋯；

②它可地成“两点确定一条直”．

（2）直的其他性：

①一点的直有无数条；

②不同的两条直最多有一个交点．

【例3】工人傅要将一条板固定在机器上，至少要用__________个螺．

4．射、段的数方法

射和段可以看做直的一部分，因此在一条直上，取一些点，会出射和段．

（1）点数与射的条数

射向一方无限延伸，因此射的条数是由端点的个数决定的．在直上，以一个点端点的射有

2条，若直上有n个点，共有2n条射．

（2）点数与段的条数

段有两个端点，直上每两个点之的部分就是一条段．因此，数段，只要判断些点共有

多少种合即可．

析律数段条数的方法

确定段的条数，可以先固定第一个点一个端点，再以其余的点另一个端点成段，然后固

定第二个点一个端点，与其余的点（第一个点除外）成段⋯⋯，依此推，直到找出最后的段止．

【例4】画出段AB：

（1）如

（1），在段AB上画出1个点，中共有几条段？

（2）如

（2），在段AB上画出2个点，中共有几条段？

（3）如（3），在段AB上画出3个点，中共有几条段？

（4）如（4），在段AB上画出n个点，猜一猜：

中共有几条段？

5．直性的用

生活中的很多要用到直的性，如木工傅在木料之前，先在木板上画出两个点，然后

两个点条墨，就是利用了直的“两点确定一条直”的性，沿着条能成直的，而不会歪斜．

【例5】建房屋，建筑工人都要在的两端固定子，利用所学的知，明其中道理．

6.与直有关的律探究

（1）两点确定一条直，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直．当任意三点均不在同一直上，点数与直条数的关系下表：

点的个数

最多直条数

2

1

3

4

6

⋯

n（n>

1）

n（n－1）

（2）平面上若有n（n>

1）条直两两相交，交点个数最多有

2n（n－1）个．

【例6】平面上有五个点，其中任意两点画一条直，最多能得到多少条直？

画出另外三种不同情况的形．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

◆4.2比较线段的长短

1．段的性

（1）两点之的距离：

两点之段的度，叫做两点之的距离。

（2）段的性

两点之的所有中，段最短。

述：

两点之，段最短。

◇延伸拓展

①距离是指两点之段的度，是一个

非数，而不是段本身。

比如

M,N

两点之的距离不能

成是段

MN

，而成段

的度。

②接两点的有无数条，段的度最短。

是指以两个点端点的任意，包括段，折和曲

。

接

AB是指画段AB。

【例1-1

】已知段AB5cm，在段AB上截取BC

2cm，AC

【例1-2

】如是A,B两地之的公路，在公路工程改造，使

A,B两地行程最短，在中画出改造

后的公路，并明你的理由。

AB

2.段的画法精品文档

（1）尺作法

用直尺和作一条段等于已知段a。

a

A

B

M

如，其作法是：

①画射

AM；

②在射AM上用截取段

AB

a，段AB就是所求

作的段。

上面作法中的“截取”是指以点

A心，以a的度半径画弧，角射

AM于点B；

尺作

要保留作痕迹，最后要指出所求作的形；

注意画段，不要向任何一方延伸。

（2）度量法

用刻度尺画一条段等于已知段

a。

画法是：

先用刻度尺量出已知段

a的度，再画一条段，

使其度等于段a的度。

段和差的画法

已知两条段a,b（ab）。

两条段和的画法是：

①先画段

a；

②在段AB的延上截

取BCb，段AC就是段a,b的和，即AC

b，如1.

两条段差的画法：

②再在段

AB上截取AC

b，段BC就是段a,b的

差，即BC

ab，如2.

b

C

CB

图1

图2

【例2】已知段a,b（2ab），用直尺和作一条段，使条段等于

2ab。

3.段的中点

段的中点：

把段分成相等的两条段的点叫做段的中点。

如，M段AB的中点，AMBM

1AB或AB2AM2BM。

似的，有段的三等分点、四等分点等。

三等分点，把段分成相等的三条段叫做段的三等分点；

四等分点，把段分成相等的四条段叫做段的四等分点；

⋯⋯⋯

n四等分点，把段分成相等的n四条段叫做段的n四等分点；

【例3】若P是段CD的中点，（）

A.CPCDB.CPDPC.CDPDD.CPPD

4.段短的比

借助不同的方法比两条段的短。

【例4-1

】如，若AB

CD，AC与BD的大小关系是（

）

D

【例4-2

】已知三角形

ABC，比AC

BC与AB的大小关系。

5.段的有关算

段的有关算是以后学几何知的前提。

【例5-1】如所示，已知AB:

BC:

CD3:

2:

4，E,F分是AB,CD的中点，且EF22cm，求

AB,BC,CD的。

E

F

【例5-2】如，已知点C在段AB上，段AC

6cm,BC4cm，点M,N分是AC,BC的中点。

（1）求段MN的度；

ABa，其他条件不，你能猜出

MN的度？

表述你

（2）根据第

（1）的算程和果，

的律。

N

6.段性的用

段的性在生活和生中用非常广泛，可以根据“两点之，段最短”确定位置。

【例6-1】某地区有A,B,C,D四个村庄如所示，了解决当地的缺水，政府准投修建一个蓄

水池，不考其他因素，你帮忙画出蓄水池O的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

AD

BC

【例

6-2】如所示，有一个正方体盒ABCD

A'

B'

C'

D'

，在点C'

有一只小虫，它要爬到

A点

吃食物，沿着怎的路，才能使行程最短？

你能出条路？

CD

B'

A'

C'

D'

7.易辨析

【例7-1】若AC

AB，点C是段AB的中点，种法正确？

什么？

【例7-2】已知段

8cm，点C在直

AB上，且BC

3cm，点

段

AC的中点，求段

MC

◆4.3角

1．角的定

（1）静态定义：

由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：

顶点：

两条射线的公共端点．

边：

组成角的两条射线．

（2）动态定义：

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．

谈重点角的理解

（1）角有两个特征：

①角是由两条射线组成的；

②这两条射线有公共的端点．

（2）角的大小与角的两边的长短无关：

由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大

小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．

【例1】下列说法错误的有（）．

①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角

③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．角的表示方法及画法

角的表示方法有四种．

（1）三个大写英文字母表示法：

用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图

（1）中的角，可

记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．

（2）顶点字母表示法：

当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图

（1）中的∠AOB也可记为∠O.

（3）阿拉伯数字表示法：

在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图

（2）中的

∠AOB可记为∠1.

（4）希腊字母表示法：

在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母（α，β，γ等），就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图

（2）中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．

释疑点表示角时的注意事项

①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．

②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<

”．

③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图

（2）中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．

3．平角、周角

（1）平角：

一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°

，、如图1.

（2）周角：

如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等

于360°

.

（3）平角与周角的关系：

一周角等于两平角．

平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．

【例3】下列说法是否正确，为什么？

①平角是一条直；

②表上的分1小形成一个周角．

4．度、分、秒的算

（1）角的位及意

角的位是度、分、秒．

意：

①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，作1°

；

②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，作1′；

③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，作1″.

（2）度、分、秒的率及算方法

度、分、秒的率是

60.即1°

＝60′，1′＝60″，1°

＝60′＝3600″.

60

秒

度垐垎

分垐垎

噲垐

（3）度、分、秒有关的算

60才向高位

1，而借1表示低位的

度、分、秒的率是六十制，不同于十制．在运算中

60.

在行度、分、秒的加减法或乘除法的运算，要按行，即分按度、分、秒算，不减、不

除的要借位．从高位借的，位要化低位的位后才能行运算．

在相乘或相加，当低位大于或等于

60，要向高位位

．

【例4－1】

（1）用度、分、秒表示48.13°

__________；

（2）用度表示23°

9′36″

【例4－2】算：

（1）13°

29＋′78°

37；

″

（2）61°

39－22′°

5′；

32″（3）23°

53′×

3；

（4）1074°

3′÷

5.

5.角的数方法

数角的个数与数段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：

①始数法：

先以某条始（固定一），按方向或逆方向找到与之构成的所有的角，

然后再以另一条射，重复上面的程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的个数．

②分数法：

先数清基本的角，再数由两个基本角成的角，由三个基本角成的角⋯⋯【例5】如，中共有多少个角？

用字母分表示出来．

6．角的用

角在生活和生中随可．本的有关角的用主要是表中的角．

面上共有12个大格，把周角平均分，即360°

÷

12＝30°

.表面上有60个小格，360°

60＝6°

.因此，每小30°

，分每分6°

与分的角的求法：

先确定与分之有几个大格，即有多少个30°

.用30°

乘大格数．

特注意：

①从开始数，所形成的角有需要按数，如3：

40；

有需要按逆数，如2：

50.②从开始，按形成的角，两个度数相减；

按逆形成的角度数相加．

③每分30°

60＝0.5°

【例6】如是部分目的播出，分确定出表上与分所成的最小的角的度数．

◆4.4角的比较

1．角的大小比

（1）度量法：

先用量角器量出各角的度数，再按照角的度数比大小，从而确定两个角的大小关系．

（2）叠合法：

两个角比大小，把两个角的点和一条分重合，另一条放在重合的同，根据另一条的位置确定角的大小．

如比∠ABC和∠DEF的大小，可把∠DEF移到∠ABC上，使它的点E和∠ABC的点B重合，

一ED和BA重合，另一EF和BC落在BA的同一．

①如果EF和BC重合（如1），那么∠DEF等于∠ABC，作∠DEF＝∠ABC；

②如果EF落在∠ABC的外部（如2），那么∠DEF大于∠ABC，作∠DEF＞∠ABC；

③如果EF落在∠ABC的内部（如3），那么∠DEF小于∠ABC，作∠DEF＜∠ABC.

【例1】如，求解下列：

（1）比∠COD和∠COE的大小；

（2）借助三角尺，比∠EOD和∠COD的大小；

（3）用量角器度量，比∠BOC和∠COD的大小．

2．角的平分

（1）定：

从一个角的点引出的一条射，把个角分成两个相等的角，条射叫做个

角的平分．

①角平分是以角的点端点的特殊射，它在角的内部；

②角平分把角分成两个相等的角．

（2）角平分的表示：

①OC是∠AOB的平分；

②∠AOC＝∠COB＝1∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.2

（3）作角平分的方法：

①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射；

②折叠：

把已知角的两重合后再折叠，可得已知角的平分．

【例2】如，已知∠AOC＝80°

，∠BOC＝50°

，OD平分∠BOC，求∠AOD.

3．角平分线及角的和、差计算

（1）角的和、差的意义

如图，①和：

∠AOB＝∠1＋∠2；

②差：

∠1＝∠AOB－∠2，∠2＝∠AOB－∠1.

（2）角平分线及角的和、差计算

与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．

解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或

把未知量转化为已知量．

求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，

（3）三角板中角的和与差

一副三角板有两块，一块含30°

角，60°

角，90°

角；

一块含45°

角，45°

角．

借助于三角板，即可以画出上面的角．

利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：

15°

，75°

，105°

，120°

，135°

，150°

，165°

【例3－1】已知∠AOB＝30°

，∠BOC＝20°

，则∠AOC的角度是__________．

【例3－2】如图，AOC为一直线，OD是∠AOB的平分线，∠BOE＝1∠EOC，∠DOE＝72°

，求∠EOC2

的度数．

4．角的分类

（1）角的分类：

根据角的度数，常常把大于0°

而小于180°

的角分为锐角、直角、钝角三类．

（2）各种角的规定：

锐角：

大于0°

且小于90°

的角．

直角：

等于90°

的角．

钝角：

大于90°

且小于180°

平角：

等于180°

周角：

等于360°

（3）角之间的关系：

锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．

1平角＝2直角＝180°

1周角＝2平角＝4直角＝360°

若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．

【例4】如图，解答下列问题：

（1）比中∠AOB，∠AOC，∠AOD的大小；

（2）找出中的直角、角和角．

◆4.5多边形和圆的初步认识

1．多形和多形的角

多形的定：

由若干条不在同一直上的段首位次相成的封平面形叫做多形。

多形的重要特征：

①多形是封形；

②多形是平面形。

如，三角形、四形、五形、六形等都足多形的定，是多形。

三角形四边形五边形六边形

多形的角：

接多形不相两个点的段叫做多形的角。

如AD,BD,CE都是多形ABCDE的角。

EAB,ABC,BCD,CDE,DEA是多形的