常系数线性微分方程的解的结构分析Word格式文档下载.docx
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y
(2.3)
这里C是常数。
IP<
x)dx
y=ceJ,
(2.4)
若Q(x)H0,那么上式就变成了一阶非齐次线性微分方程。
我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况,那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解
(2.5)
中的常数c变易成为待定的函数c(X),令
(2.6)
(2.7)
y=心)』"
皿,
微分之,就可以得到
dxdx
以(2.7),(2.6)代入2.1,得到
水⑴J*"
,+c(x)P(x)J"
E”=p{x)c(x)^Mdx+Q(X),(2.8)dx〜
即
警=*)汁恥,
积分后得到
c(x)=jg(x)e^M(lxdx+c,(2.9)
这里c是任意常数,将上式代入(2.6)得到方程(2.1)的通解
y=Q{x)eP(x)dxdx+c)
(2.91)
在上面的一阶线性微分方程中,是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数C变成c(x),常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解,感觉这个方法之所以用X的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C是任意的,C与X形成函数关系,要确定C,需要由初始条件确定,一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射,也就是函数关系,而这里的C是任意的,也就可以用一个未知的,也就是任意的函数u(x)来代替,进而求得非齐次线性微分方程的解。
这种将常数变异为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法。
常数变易法实质也是一种变量变换的方法,通过变换(2.6可将方程(2.1)化为变量分离方程。
二阶常系数线性微分方程
(1)二阶常系数线性齐次方程
真+/4+小0(3.1)
其中P、q是常数,我们知道,要求方程(3.1)的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解九兒就可以了,下面讨论这样两个特解的求法。
我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解,从方程的形式上来看,它的特点是空,
dx-驾,y各乘以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y,其瞑,叟,y之间只
dxax~dx
相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程(3.1)的特解,在初等函数中,指数函数「,符合上述要求,于是我们令
y=ers(其中r为待定常数)来试解
dvd~y
将y=e==rer\長代入方程(3.1)
dxdx~
得r"
er3t+prerx+qe"
1=0
或ers(F+pr+q)=0
因为e^HO,故得
r'
+pr+q=O
由此可见,若i•是二次方程
r~+pr+q=O(3.2)
的根,那么扌就是方程(3.1)的特解,于是方程(3.1)的求解问题,就转化为求代数方程(3.2)的根问题。
称(3.2)式为微分方程(3.1)的特征方程。
特征方程(3.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。
特征方程的两个根门,r:
称为特征根,由代数知识,特征根口,口有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。
⑴若特证方程(3.2)有两个不相等的实根“,r2,此时严,*是方程(3.1)的两个特解。
因为気
所以为线性无关函数,由解的结构定理知,方程(3.1)的通解为
y=q/x+c2erzX
⑵若特征方程(3.2)有两个相等的实根rx=r=,此时p:
-4q=0,即
有q=,这样只能得到方程(3.1)的一个特解%=小"
,因此,我们还要设法找出另
一个满足比北常数,的特解兀,故上应是x的某个函数,设^-=11,其中u=u(x)为待
X儿Ji
定函数,即
对兀求一阶,二阶导数得
也1=也严+孕“2
J2y,/■>
-dud2uxrx
将它们代入方程(7.1)得
.•>
-dlldllrxdli、rrrrc
(r~u+2q—+—^-)er+p(-~f?
;
w)el'
+que1=0dxdx~dx
+(2“+p)学+("
〃+诃刃"
因为刃工0,且因门是特征方程的根,故有k+pG+q=0,又因.=_与故有2rx+p=0,于是上式成为
业=0
显然满足dF的函数很多,我们取其中最简单的一个
则y^xe^是方程(3.1)的另一个特解,且门,兀是两个线性无关的函数,所以方程(3.1)
的通解是
y=<
?
严+c2xeriX=(q+c2x)eriX
(3)若特征方程(3.2)有一对共轨复根r:
=a+ip,r2=a-ip
此时方程(3.1)有两个特解
yi=e(a+xP)xy2=e
y=Cie-+^>
^+c:
e<
-^^
其中Cl,a为任意常数,但是这种复数形式的解,在应用上不方便。
在实际问题中,常常需要实数形式的通解,为此利用欧拉公式
els=cosx+isinx>
eIX=cosx—isinx
有丄(eix+e_ix)=coSX
2
-(yi4-y2)=-e"
(严+严)=eaxcosBx
22
1/\一1ax✓i—iPx\a*・n
—(yi—y"
e\e—e)—esmpx
2/2i
由上节定理一知,—(yi+yj,—(yi—y:
)是方程(3.1)的两个特解,也即euxcosx,e,xsin3x
是方程(3.1)的两个特解:
且它们线性无关,我们已知,方程(3.1)的通解为
y=cie*xcosBx+cce1xsinBx
1
—(皆一e^Xsinx
2i
或y=e'
H(C]COSBx+C,sinBx)
其中6,3为任意常数,至此我们已找到了实数形式的通解,其中a,B分别是特征方程(3.2)复数根的实部和虚部。
综上所述,求二阶常系数线性齐次方程(3.1)的通解,只须先求出其特征方程(3.2)的根,再根据他的三种情况确定其通解,现列表如下
特征方程r~+pr+q=0的根
笄+P字+0=0
微分方程dx~dx的通解
有二个不相等的实根口,r2
y=+c2erzX
有二重根rx=r:
y=(ci+c:
x)ehX
有一对共辘复根
r2=a-i/3
y=ex(cicosBx+asinBx)
在解决二阶常系数线性微分方程的解的问题中,我们用到了一个转换,也就是令y=,
那我们为什么会想到它呢?
为什么要用它不用其它的呢?
首先观察微分方程
共+畔+代0
dx~dx,由4个部分构成,
d2ydy
dx,,p与dx相乘,q与y相乘,然后相加等于0,
我们可以观察到他们的特点就是,dx,y都是与常数因子相乘,然后相加等于0,如
果能找到一个函数y,其写,g,y之间只相差一个常数因子,综合我们以前所学过的dx~dx
知识,一个函数的一阶,二阶倒数和该函数只相差一个常数,这样的函数有可能是方程(3.1)
的特解,在初等函数中,我们所学过的指数函数『,就符合上述要求,于是我们令从而进行下去,得到了结果。
求二阶常系数线性非齐次方程
dH+p必+qy=f(x)
(3.3)
的通解,只要先求出其对应的齐次方程的通解,再求出其一个特解,而后相加就得到非齐次方程的通解,而且对应的齐次方程的通解的解法,前面已经解决,因此下面要解决的问题
是求方程(3.3)的一个特解。
方程(3.1)的特解形式,与方程右边的f(x)有关,这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。
一.f(x)=R(x)e"
其中r(x)是n次多项式,我们先讨论当0=0时,即当
f(x)=p„(x)时方程
和"
)
(3.4)
的一个特解。
(1)如果qHO,我们总可以求得一n次多项式满足此方程,事实上,可设特解y=QP.(x)
二-才+宀/一‘+…+几,其中a。
,◎,•••_是待定常数,将歹及其导数代入方程(3.4),得方程左右两边都是n次多项式,比较两边X的同次幕系数,就可确定常数a。
,…。
存
例1.求$Z+g+2y=F—3的一个特解。
ax~ax
解自由项f(x)=F—3是一个二次多项式,又q=2H0,则可设方程的特解为
y=aox2+aYx+a2
求导数
y,=2aox+al
代入方程有2aox24-(2a0+2a1)x4-(2a0+ai+2a2)=x~—3比较同次幕系数
=-
117
所以特解2尹丁肓
(2)如果q=o,而pHO,由于多项式求导一次,其次数要降低一次,此时y=Qn(x)不能满足方程,但它可以被一个(n+l)次多项式所满足,此时我们可设
y=xQn(x)=aoxn+1+aixa+•••+anx
代入方程(7.4),比较两边系数,就可确定常数d。
,di,
=3x2+2的一个特解。
解自由项f(X)=3x:
+2是一个二次多项式,又q=o,P=4HO,故设特解
~3
y=aox+akx+a2x
yr=3aox2+2aLx+a2
》"
=6aoX+2q
代入方程得
12dox'
+(8d】+6do)x4-(2=3x'
+2,比较两边同次幕的系数
1_
4
血=3
i昭+60^=0
Qq、+4a2=2
3
解得
19
32
131Q
所求方程的特解r宀訂+护⑶如果p=0,q=o,贝IJ方程变为兀=S(x),此时特解是一个(n+2)次多项式,可设
y=x2q„(x),代入方程求得,也可直接通过两次积分求得。
下面讨论当OH0时,即当f(x)=6(x)e"
时方程
(3.5)
〜dy
歹2+P忑+0=P”a)e"
的一个特解的求法,方程(3.4)与方程(3.5)相比,只是其自由项中多了一个指数函数因子e,,x,如果能通过变量代换将因子e"
去掉,使得(3.5)化成(3.4)式的形式,问题即可解决,为此设y=ue"
其中u=u(x)是待定函数,对y=ue:
求导得
dy
石=
du
石
+aue(LX
求二阶导数瞬=严瞬+2aeax^-+a2ueldx~dx~dx
代入方程(3.5)得
eax^_JL+2a芈+a2u]+peax[^~+an}+que(LX=pn(x)e"
x
dx~dxdx
-7-v+(2a+p)—+(a2+pa+q)u=pn(x)(3.6)
dx~dx
由于(3.6)式与(3.4)形式一致,于是按(3.4)的结论有:
⑴如果a2+pa+q^Q,即a不是特征方程F+pr+q=0的根,则可设(3.6)的特解u=Q
3从而可设(3.5)的特解为
y=Qa(X)e°
⑵如果,+M+q=°
,而2a+pH0,艮卩a是特征方程F+pr+q=0的单根,则可
设(3.6)的特解u=g(x),从而可设(3.5)的特解为
y=xQo(x)严
⑶如果r2+pa+cj=0,且2a+p=0,此时a是特征方程r'
+pr+q=0的重根,则
可设(3.6)的特解u=x'
Qn(x),从而可设(3.5)的特解为
y=xu(x)严
例3.求卞列方程具有什么样形式的特解
(2)螟+5字+6y=3严dx~dx
(3)+a^-+y=~(3x2+a)e~x
解⑴因d=3不是特征方程r=+5r+6=0的根,故方程具有形如
y=aQeix的特解。
⑵因a=一2是特征方程f+5r+6=0的单根,故方程具有形如
y=X(aox+aL)e~2x的特解。
⑶因a=一1是特征方程r:
+2r+l=0的二重根,所以方程具有形如
y=x2(aQx2+aLx+a2)e~x的特解。
结论
在一阶二阶微分方程中,有一个函数因子y=都是通过它的转换,巧妙的解决了该类
微分方程的求解,其实对于n阶微分方程,首先观察微分方程d"
xdn~lx儿、-dnx.dn~lx__zx.斗工
丽~+"
⑴*=丽"
,Q(l)与dfi相乘,a(f)与x相乘,
dnxd”h
然后相加等于0,我们可以观察到他们的特点就是力”,d/"
T,,x都是与常数因子相
dnxdn-lx
乘,然后相加等于0,如果能找到一个函数y,其力"
,d严,...../之间也只相差一个常数因子,综合我们以前所学过的知识,一个函数的一阶,二阶倒数和该函数只相差一个
常数,在初等函数中,我们所学过的指数函数『,就符合上述要求,于是我们令y=
从而进行下去,也能得出结果。
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