二次函数压轴题Word格式文档下载.docx
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小明开了一家网店,计划经销甲、乙两种商品,若甲商品每件利润10元,乙商品每件利润20元,则每周能卖出甲商品40件,乙商品20件.经调查,甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元,这两种商品每周可各多销售10件,为了提高销售量,小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元.
(1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式:
y甲=________,y乙=________.
(2)求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系式.如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的
,那么当x定为多少时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大?
如图,已知经过点D(2,
)的抛物线
(m为常数,且m>0)与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)填空:
m的值为________,点A的坐标为________.
(2)根据下列描述,用尺规完成作图(保留作图痕迹,不写作法):
连接AD,在x轴上方作射线AE,使∠BAE=∠BAD,过点D作x轴的垂线交射线AE于点E.
(3)动点M,N分别在射线AB,AE上,求ME+MN的最小值.
(4)l是过点A平行于y轴的直线,P是抛物线上一点,过点P作l的垂线,垂足为点G.请你探究:
是否存在点P,使以P,G,A为顶点的三角形与△ABD相似?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与x轴、y轴分别交于A,B,C三点.已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),动点E从抛物线的顶点D出发沿线段DB向终点B运动.
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标.
(2)过点E作EF⊥y轴于点F,交抛物线对称轴左侧的部分子点G,交直线BC于点H,过点H作HP⊥x轴于点P,连接PF,求当线段PF最短时点G的坐标.
(3)在点E运动的同时,另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动,且速度均为每秒1个单位长度,当点E到达终点B时点Q也随之停止运动,设点E的运动时间为ts,试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形?
并直接写出相应t值.
如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是()
A.
B.
C.
D.
如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,请解决下列问题.
点C的坐标为(________,________),点D的坐标为(________,________);
(2)设点P的坐标为(a,0),当|PD-PC|最大时,求a的值并在图中标出点P的位置;
(3)在
(2)的条件下,将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′,设点C对应点C′的横坐标为t(其中0<t<6),在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t之间的关系式,并直接写出当t为何值是S最大,最大值为多少?
抛物线
上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等.你可以利用这一性质解决问题.问题解决如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数
的图象交于A、B两点,分别过A、B两点作直线y=-1的垂线,交于E、F两点.
(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°
;
(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.
①求证:
PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.
如图,已知点D在双曲线
(x>0)的图象上,以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C(0,4),与x轴交于A,B两点;
抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,点P是抛物线上的动点,且线段AP与BC所在直线有交点Q.
(1)写出点D的坐标并求出抛物线的解析式;
(2)证明∠ACO=∠OBC;
(3)探究是否存在点P,使点Q为线段AP的四等分点?
如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是_____,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是____;
(2)若两个三角形的面积满足
,求m的值;
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:
①PD+DQ的最大值;
②PD·
DQ的最大值.
如图,已知二次函数L1:
y=ax2-2ax+a+3(a>0)和二次函数L2:
y=-a(x+1)2+1(a>0)图象的顶点分别为M,N,与y轴分别交于点E,F.
(1)函数y=ax2-2ax+a+3(a>0)的最小值为________;
当二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而减小时,x的取值范围是________;
(2)当EF=MN时,求a的值,并判断四边形ENFM的形状;
(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m,0),当△AMN为等腰三角形时,求方程-a(x+1)2+1=0的解.
已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E.是否存在x轴上的点M、y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?
若存在,请画出图形(保留作图痕迹),并求出周长的最小值;
若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;
②abc>
0;
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;
④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);
⑤当1<
x<
4时,有y2<
y1.其中正确的是____.
如图,抛物
与直线
交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:
(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:
是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;
(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒
个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②若点P的横坐标为t(-1<t<1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大,并说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、B两点的坐标分别为(-1,0),(0,-2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧
上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5.
(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式;
(2)若点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QCM是等腰三角形?
如果存在,清直接写出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-8mx+4m+2(m>
2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2-x1=4,直线AD∥x轴,在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当0<
t≤8时,求△APC面积的最大值;
(3)当t>
2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?
若存在,求出此时t的值;
已知:
抛物线l1:
y=-x2+bx+3交x轴于点A,B,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D(0,
).
(1)求抛物线l2的函数表达式;
(2)P为直线x=1上一动点,连接PA,PC,当PA=PC时,求点P的坐标;
(3)M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MN∥y轴,交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.
如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.
(1)请直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:
当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:
对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
已知抛物线C1:
(a≠0)经过点A(-1,0)和B(3,0).
(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;
(2)如图1,把抛物线C1沿直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴下方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;
(3)如图2,在
(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点.当点M从点B向点C运动时:
①tan∠ENM的值如何变化?
请说明理由;
②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.
如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?
最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:
s)之间具有函数关系x=10t.已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
如图,已知抛物线
与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于点D,M为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)设动点N(-2,n),求使MN+BN的值最小时n的值;
(3)P是抛物线上一点,请你探究:
是否存在点P,使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)?
如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出四个结论:
①b2>4ac ②2a+b=0 ③a+b+c>0
④若点B(
,y1)、C(
,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2.
其中正确结论是________.
已知抛物线
与x轴交于A(-1,0),B两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式
(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG,求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究)
(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点(O、B),P,PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.
边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点D是边OA的中点,连接CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.
(2)点P从点C出发,沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒,过点P作PF⊥CD于点F,当t为何值时,以点P,F,D为顶点的三角形与△COD相似?
(3)点M为直线AB上一动点,点N为抛物线上一动点,是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC.则下列结论:
①abc<
②
③ac-b+1=0;
④
.其中正确结论的个数是__________.
在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图
(1),当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图
(2),过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE︰OE=3︰8,求k的值.
如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;
②4a+2b+c<0;
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1;
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.
其中正确的个数是_________.
如图,已知抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6).
(1)求抛物线的表达式;
(2)证明:
四边形AOBC的两条对角线互相垂直;
(3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的□DEFG?
(顶点D,E,F,G分别在线段AO,OB,BC,CA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出□DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;
若不能,请说明理由.
如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连接AM,BM.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将
(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点.
若关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0,c>0,a,b,c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),(0<x1<x2),与y轴交于点P,其图象顶点为点M,点O为坐标原点.
(1)当x1=c=2,
时,求x2与b的值;
(2)当x1=2c时,试问△ABM能否为等边三角形?
判断并证明你的结论;
(3)当x1=mc(m>0)时,记△MAB,△PAB的面积分别为S1,S2,若△BPO∽△PAO,且S1=S2,求m的值.
已知抛物线的表达式为y=-x2+6x+c.
(1)若抛物线与x轴有交点,求c的取值范围;
(2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2,若
,求c的值;
(3)若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点,PA、QB都垂直于x轴,垂足分别为A、B,且△OPA与△OQB全等,求证:
.
已知抛物线E1:
y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A,B关于y轴的对称点分别为点A′,B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式.
(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q,B,B′为顶点的三角形为直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;
(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
如图1,关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.
(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?
若存在,求出点P,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?
若存在,求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:
________.
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;
当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;
如图,反比例函数
的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点(
,0)(m>0),则有( )
A.a=b+2kB.a=b-2kC.k<b<0D.a<k<0
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- 二次 函数 压轴