第21课时 矩形与菱形导学案Word文档格式.docx

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又点E是AD的中点,AE=1,AD=BC,

故EC=2.

利用勾股定理可得

【全解】C

举一反三

1.（2014·

湖南衡阳）如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°

AB=5,则BD的长为　　　　. 

（第1题）

2.（2014·

浙江金华）如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连接EF交CD于点G.若G是CD的中点,则BC的长是　　　　　　. 

（第2题）

【小结】考查勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质,关键是利用勾股定理列方程,用方程的思想解决几何问题.

例2　（2014·

四川巴中）如图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.

（1）请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是　　　　　,并证明. 

（2）在问题

（1）中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定方法,可得出当EH=FH,BE∥CF,∠EBH=∠FCH时,都可以证明△BEH≌△CFH.

（2）由

（1）可得出四边形BFCE是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时,四边形BFCE是矩形.

【全解】

（1）添加EH=FH（答案不唯一）,证明如下:

∵点H是BC的中点,

∴BH=CH.

在△BEH和△CFH中,

∴△BEH≌△CFH（SAS）.

（2）∵BH=CH,EH=FH,

∴四边形BFCE是平行四边形.（对角线互相平分的四边形为平行四边形）

∵当BH=EH时,则BC=EF,

∴平行四边形BFCE为矩形.（对角线相等的平行四边形为矩形）

3.（2014·

黑龙江大庆）如图,矩形ABCD中,AD=

F是DA延长线上一点,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F=20°

则AB=　　　　. 

（第3题）

【小结】矩形的判定可从两个角度理解:

①已知图形为平行四边形,判定该图形为矩形.条件一:

有一个角是直角;

条件二:

对角线相等.

②已知图形为一般四边形,判定该图形为矩形.条件一:

有三个角是直角;

可先证是平行四边形,再证是矩形.

例3　（2014·

浙江舟山）已知:

如图,在▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF.

（1）求证:

△DOE≌△BOF.

（2）当∠DOE等于多少度时,四边形BFED为菱形?

请说明理由.

【解析】平行四边形的性质;

全等三角形的判定与性质;

菱形的判定.

（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）;

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED,即可得出答案.

【全解】

（1）∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,

∴BO=DO,∠EDB=∠FBO.

在△EOD和△FOB中,

∴△DOE≌△BOF（ASA）.

（2）当∠DOE=90°

时,四边形BFED为菱形,

理由如下:

∵△DOE≌△BOF,

∴BF=DE.

又BF∥DE,

∴四边形EBFD是平行四边形.

∵BO=DO,∠EOD=90°

∴EB=DE.

∴四边形BFED为菱形.

4.（2014·

江苏徐州）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（　　）.

A.矩形

B.等腰梯形

C.对角线相等的四边形

D.对角线互相垂直的四边形

5.（2014·

四川成都）如图,矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD边上一点,

（n为大于2的整数）,连接BE,作BE的垂直平分线分别交AD,BC于点F,G,FG与BE的交点为O,连接BF和EG.

（1）试判断四边形BFEG的形状,并说明理由;

（2）当AB=a（a为常数）,n=3时,求FG的长;

（3）记四边形BFEG的面积为S1,矩形ABCD的面积为S2,当

时,求n的值.（直接写出结果,不必写出解答过程）

（第5题）

【小结】此类问题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识,得出BE=DE是解题关键.

例4　（2014·

湖北咸宁）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°

∠B=30°

将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.

（1）求n的值;

（2）若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.

【解析】

（1）利用旋转的性质得出AC=CD,进而得出△ADC是等边三角形,即可得出∠ACD的度数;

（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF,进而得出AD=AC=FC=DF,即可得出答案.

【全解】

（1）∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°

将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,

∴AC=DC,∠A=60°

.

∴△ADC是等边三角形.

∴∠ACD=60°

∴n的值是60.

（2）四边形ACFD是菱形.

∵∠DCE=∠ACB=90°

F是DE的中点,

∴FC=DF=FE.

∵∠CDF=∠A=60°

∴△DFC是等边三角形.

∴DF=DC=FC.

∵△ADC是等边三角形,

∴AD=AC=DC.

∴AD=AC=FC=DF.

∴四边形ACFD是菱形.

6.（2014·

河北）如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°

.得到△ADE,连接BD,CE交于点F.

△ABD≌△ACE;

（2）求∠ACE的度数;

（3）求证:

四边形ABEF是菱形.

（第6题）

【小结】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识.

参考答案

【自主梳理】

知识网络

直角　都是直角　相等　互相平分　三　相等

平行四边形　都相等　互相垂直　四条边　互相垂直

重点积累

平行四边形　角　边　轴　中心　对角线

【真题精讲】

1.10　解析:

在矩形ABCD中,OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA.

∵∠BOC=120°

∴∠DOC=60°

又∠BAD=90°

∴BD=2AB=2×

5=10.

2.7　解析:

（1）在矩形ABCD中,∠D=∠BCD=90°

AD=BC,

∴∠D=∠DCF=90°

∵G是CD的中点,

∴DG=CG.

∵∠DGE=∠CGF,

∴△DGE≌△CGF（ASA）.

∴EG=GF,ED=CF.

∴HF是BE的垂直平分线.

∴BF=EF.

∴x=7.

3.

　解析:

由三角形的外角性质得,∠AGC=∠GAF+∠F=20°

+20°

=40°

∵∠ACG=∠AGC,

∴∠CAG=180°

-∠ACG-∠AGC=180°

-2×

40°

=100°

∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°

=120°

∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°

在Rt△ABC中,AC=2BC=2AD=2

由勾股定理,得

4.C　解析:

如图,根据题意得,四边形EFGH是菱形,点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD的中点,

∴EF=FG=CH=EH,BD=2EF,AC=2FG.

∴BD=AC.

∴原四边形一定是对角线相等的四边形.

（第4题）

5.

（1）∵AD∥BC,

∴∠EFO=∠BGO.

∵FG为BE的垂直平分线,

∴BO=OE.

∵在△EFO和△BGO中,

∴△EFO≌△BGO.

∴EF=BG.

∵AD∥BC,

∴四边形BGEF为平行四边形.

∵在△BOF和△EOF中,

∴△BOF≌△EOF.

∴EF=BF.

邻边相等的平行四边形为菱形,故四边形BGEF为菱形.

6.

（1）∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°

∴∠BAC=∠DAE=40°

∴∠BAD=∠CAE=100°

又AB=AC,

∴AB=AC=AD=AE.

在△ABD与△ACE中,

∴△ABD≌△ACE（SAS）.

（3）∵∠BAD=∠CAE=140°

AB=AC=AD=AE,

∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°

∴∠BFE=360°

-∠DAE-∠ABD-∠AEC=140°

∴∠BAE=∠BFE.

∴四边形ABEF是平行四边形.

∵AB=AE,

∴平行四边形ABEF是菱形.