精选题库高一习题 数学检测3.docx
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精选题库高一习题数学检测3
单元质量检测(三)
一、选择题
1.已知sinαcosα=,且α∈(0,),则sinα-cosα等于
( )
A. B.-
C.D.-
解析:
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,
又∵α∈(0,),
∴sinα-cosα<0,∴sinα-cosα=-.
答案:
D
2.化简+的结果是
( )
A.-2sin5B.-2cos5
C.2cos5D.2sin5
解析:
+
=+
=|sin5+cos5|+|sin5-cos5|
=-(sin5+cos5)-(sin5-cos5)
=-2sin5.
答案:
A
3.设点P是函数f(x)=29sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是
( )
A.2πB.π
C.D.
解析:
设函数f(x)的最小正周期为T,
由题意得=,∴T=.
答案:
C
4.y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值为
( )
A.π,0B.2π,0
C.π,2-D.2π,2-
解析:
f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin
最小正周期为π,当sin=-1,取得最小值为2-.
答案:
C
5.cos(α+β)=,sin=,α,β∈,那么cos的值为
( )
A.B.
C.D.
解析:
∵α,β∈,cos(α+β)=>0,
sin=>0,
∴sin(α+β)=,cos=,
∴cos=cos
=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin
=×+×=.
答案:
C
6.将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向右平移θ(θ>0)个单位,所得函数是奇函数,则实数θ的最小值为
( )
A.B.
C.D.
解析:
化简f(x)=2sin,右移θ(θ>0)个单位得f(x)=2sin为奇函数时,至少有2θ+=π,θ=.
答案:
D
7.已知钝角α的终边经过点P(sin2θ,sin4θ),且cosθ=,则α的正切值为
( )
A.-B.-1
C.D.1
解析:
tanα==2cos2θ=2(2cos2θ-1)
=4cos2θ-2=4×()2-2=-1.
答案:
B
8.图是函数y=sinx(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是
( )
解析:
根据题意,可得f(x)=|π-x-x|=|π-2x|,图象即为选项A.
答案:
A
9.如下图所示,函数y=2sin(ωx+θ)(|θ|<)的图象,那么
( )
A.ω=,θ=B.ω=,θ=-
C.ω=2,θ=D.ω=2,θ=-
解析:
由图知周期T=π-(-)=π,
∴ω==2,∴y=2sin(2x+θ),
把x=0,y=1代入上式得2sinθ=1,即sinθ=,
又|θ|<,∴θ=.
答案:
C
10.将y=f(x)的图象上各点横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变.然后再将图象向右平移个单位,所得图象恰与y=3sin(x+)重合,则f(x)等于
( )
A.3sin(+)B.3sin(2x+)
C.3sin(-)D.3sin(2x-)
解析:
把y=3sin(x+)的图象向左平移个单位,得到的图象解析式为y=3sin(x++)=3sin(x+),然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象解析式为y=3sin(2x+π).
答案:
B
11.已知函数f(x)=2sinωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是
( )
A.(-∞,-]∪[6,+∞)
B.(-∞,-]∪[,+∞)
C.(-∞,-2]∪[6,+∞)
D.(-∞,-]∪[,+∞)
解析:
当ω>0时,-ω≤ωx≤ω,
由题意知-ω≤-,即ω≥,
当ω<0时,ω≤ωx≤-ω,
由题意知-ω≥,即ω≤-,
综上知,ω的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).
答案:
D
12.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积:
a⊗b=(a1,a2)⊗(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为
( )
A.2,πB.2,4π
C.,4πD.,π
解析:
设P(x0,y0),Q(x,f(x)),
则由已知得(x,f(x))=,
即x=2x0+,∴x0=x-.
f(x)=y0,∴y0=2f(x).
又y0=sinx0,∴2f(x)=sin,
f(x)=sin.
∴f(x)max=,T==4π.
答案:
C
二、填空题
13.=________.
解析:
=
===.
答案:
14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a,b,c成等差数列,sinA,sinB,sinC成等比数列,则三角形的形状是________.
解析:
由a,b,c成等差数列得2b=a+c,
由sinA,sinB,sinC成等比数列得sin2B=sinAsinC,
所以由正弦定理得b2=ac,⇒a=c.
所以a=b=c,所以三角形ABC是等边三角形.
答案:
等边三角形
15.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________.
如下图所示,则k的取值范围是1 答案: 1 16.下面有五个命题: ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π; ②终边在y轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z}; ③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点; ④把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到y=3sin2x的图象; ⑤函数y=sin(x-)在[0,π]上是减函数. 其中真命题的序号是________. 解析: ①y=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,①正确. ②k=0时α=0,则角α终边在x轴上,故②错. ③由y=sinx在(0,0)处切线为y=x,所以y=sinx与y=x图象只有一个交点,故③错. ④y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到y=3sin[2(x-)+]=3sin2x,故④正确. ⑤y=sin(x-)=-cosx在[0,π]上为增函数,故⑤错. 综上知①④为真命题. 答案: ①④ 三、解答题 17.已知tan(π+α)=-, tan(α+β)=. (1)求tan(α+β)的值; (2)求tanβ的值. 解: (1)∵tan(π+α)=-, ∴tanα=-. ∵tan(α+β)= = == ==, ∴tan(α+β)==. (2)∵tanβ=tan[(α+β)-α] =, ∴tanβ==. 18.已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f(x)的图象,试写出变换过程; (3)当x∈[0,]时,求函数f(x)的最大值及最小值. 解: (1)∵f(x)=a·b =(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x =sin(2x+), ∴f(x)的最小正周期T=π. (2)把y=sinx的图象上所有点向左平移个单位得到y=sin(x+)的图象;再把y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变得到y=sin(2x+)的图象;再把y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变得到y=sin(2x+). (3)∵0≤x≤,∴≤2x+≤π. ∴当2x+=,即x=时,f(x)有最大值, 当2x+=π,即x=时,f(x)有最小值-1. 19.设0≤θ≤π,P=sin2θ+sinθ-cosθ. (1)若t=sinθ-cosθ,用含t的式子表示P; (2)确定t的取值范围,并求出P的最大值和最小值. 解: (1)由t=sinθ-cosθ, 有t2=1-2sinθcosθ=1-sin2θ. ∴sin2θ=1-t2,∴P=1-t2+t=-t2+t+1. (2)t=sinθ-cosθ=sin(θ-). ∵0≤θ≤π,∴-≤θ-≤. ∴-≤sin(θ-)≤1. 即t的取值范围是-1≤t≤. P(t)=-t2+t+1=-(t-)2+, 从而P(t)在[-1,]内是增函数, 在[,]内是减函数. 又P(-1)=-1,P()=,P()=-1, ∴P(-1) ∴P的最大值是,最小值是-1. 20.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=. (1)若b=4,求sinA的值; (2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值. 解: (1)∵cosB=>0,且0 ∴sinB==, 由正弦定理得=, ∴sinA===. (2)∵S△ABC=acsinB=4, ∴×2×c×=4, ∴c=5. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB, ∴b= ==. 21.把曲线C: y=sin·cos向右平移a(a>0)个单位,得到的曲线C′关于直线x=对称. (1)求a的最小值; (2)就a的最小值证明: 当x∈时,曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于零. (1)解: ∵y=sin·cos =sincos =sin, ∴曲线C′方程为y=sin, 它关于直线x=对称, ∴sin=±, 即2+=kπ+(k∈Z), 解得a=-(k∈Z), ∵a>0,∴a的最小值是. (2)证明: 当a=时,曲线C′的方程为y=sin2x. 由函数y=sin2x的图象可知: 当x∈时,函数y=sin2x是增函数, 所以当x1 所以>0,即斜率恒大于零. 22.如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道AB的长为4.5km,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60°(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC=4km,D为海湾一侧海岸线CT上的一点,设CD=x(km),点D对跑道AB的视角为θ. (1)将tanθ表示为x的函数; (2)求使θ取得最大值时点D的位置. 解: (1)过A分别作直线CD,BC的垂线,垂足分别为E,F. 由题知,AB=4.5,BC=4,∠ABF=90°-60°=30°, 所以CE=AF=4.5×sin30°=,BF=4.5×cos30°=,AE=CF=BC+BF=. 因为CD=x(x>0),所以tan∠BDC==. 当x>时,ED=x-, tan∠ADC===(如图甲). 当0 tan∠ADC=-=(如图乙). 所以tanθ=tan∠ADB=tan(∠ADC-∠BDC) == =, 其中x>0且x≠. 当x=时,tanθ==,符合上式. 所以tanθ=,x>0. (2)tanθ==, x>0. 因为4(x+4)+
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