苏科版数学八年级下册平行四边形 专项培优训练含答案Word文档格式.docx
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(2)连接BD,当0°
时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明.
5.如图,已知一四边形菜地ABCD为菱形,点E,F分别位于边AB,BC上,AD=6,AE=5BE,BF=5CF,若△DEF为等边三角形.
(1)求∠A的度数;
(2)求菱形ABCD的面积.
6.如图,边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、AD上,连接BE、BF、EF,且有AF+CE=EF.
(1)求(AF+1)(CE+1)的值;
(2)探究∠EBF的度数是否为定值,并说明理由.
7.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AF的长.
8.如图,AC是正方形ABCD的对角线,E、F分别为BC、CD边上的点,CE=CF,连接AE、AF.
AE=AF;
(2)连接EF,试证明:
EF⊥AC.
9.已知,如图甲:
△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
,△ACD是等边三角形.
(1)填空:
当△ACD绕点C顺时针旋转 时,旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形(旋转的角度小于360°
);
(2)把图甲中△ACD绕点C顺时针旋转60°
后得到如图乙,并连接EB,设线段CE与AB相交于点F.
①求证:
BE=BF;
②若AC=2,求四边形ACBE的面积.
10.如图,△ABC是等边三角形,D为△ABC外的一点.将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置,连接DE.求证:
DE=AE.
参考答案
1.
(1)证明:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AM∥CN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形;
(2)解:
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADE=∠CBF,
∴∠AED=∠CFB=90°
,
在△ADE与△CBF中,∠ADE=∠CBF,∠AED=∠CFB,AD=BC,
∴△ADE≌△CBF(AAS);
∴DE=BF=8,
∵FN=6,
∴
.
2.
(1)证明:
∵AB=CD,AB∥CD.
∵BE=AB,
∴BE=CD.
∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF,
在△BEF与△CDF中,
∴△BEF≌△CDF(ASA);
∠BFD=2∠A时,四边形BECD成为矩形.
证明:
∵四边形ABCD
是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠A=∠DCB,
∵AB=BE,
∴CD=EB,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BF=CF,EF=DF,
∵∠BFD=2∠A,
∴∠BFD=2∠DCF,
∴∠DCF=∠FDC,
∴DF=CF,
∴DE=BC,
∴四边形BECD是矩形.
3.解:
(1)由旋转的性质得,CD=CO,∠ACD=∠BCO,
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°
∴△OCD为等边三角形.
∴∠ODC=60°
答:
∠ODC的度数为60°
(2)由旋转的性质得,AD=OB=4.∠ADC=∠BOC=150°
∵△OCD为等边三角形,
∴OD=OC=5.
∵∠BOC=150°
,∠ODC=60°
∴∠ADO=90°
在Rt△AOD中,由勾股定理得:
AO=
=
AO的长为
4.解:
(1)由题意∠CAC′=α,
要使AB∥DC,须∠BAC=∠ACD,
∴∠BAC=30°
,α=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=45°
﹣30°
=15°
即α=15°
时,能使得AB∥DC.
(2)连接BD,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化,总是105°
当0°
时,总有△EFC′存在.
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′,∠CAC′=α,∠FEC′=∠C+α,
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°
又∵∠C′=45°
,∠C=30°
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°
5.解:
(1)如图,过E作AD,BC的垂线交AD和CB的延长线于H,G.
∵AD∥CB,
∴△BGE∽△AHE,
∵AB=AD=6,
∴AE=BF=5,CF﹣BE=1,
令BG=x,GE=y,
则EH=5y,AH=5x,
在△FGE中,
在△DEH中,
根据EF=ED,BE=1,易得EF2=ED2,
即有
解得
∴tan∠A=
∴∠A=60°
;
(2)由以上求得知,EH=AEsin60°
故
6.解:
(1)设CE=x,AF=y,则DE=1﹣x,DF=1﹣y,
∵AF+CE=EF,
∴EF=x+y.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=90°
∴EF2=DE2+DF2,即(x+y)2=(1﹣x)2+(1﹣y)2,
∴xy+x+y=1,
∴(AF+1)(CE+1)=(y+1)(x+1)=xy+x+y+1=1+1=2;
(2)∠EBF的度数为定值,理由如下:
如图,将△ABF绕点B顺时针旋转90°
得到△BCM,此时AB与CB重合.
由旋转,可得:
AB=CB,BF=BM,AF=CM,∠ABF=∠CBM,∠BCM=∠A=90°
∴∠BCM+∠BCD=90°
+90°
=180°
∴点M、C、E在同一条直线上.
∵AF+CE=EF,CM+CE=EM,
∴EF=EM.
在△BEF和△BEM中,
∴△BEF≌△BEM(SSS),
∴∠EBF=∠EBM=∠CBM+∠CBE=∠ABF+∠CBE,
又∵∠ABC=90°
,∠ABC=∠EBF+∠ABF+∠CBE,
∴∠EBF=
∠ABC=45°
7.解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=∠ADF=90°
,AB=AD=CD,
∵DE=CF,
∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF;
∵AB=4,四边形ABCD是正方形,
∴AD=4,
∵DE=1,
∴AE=3,
∴BE=
=5,
∵△BAE≌△ADF,
∴BE=AF=5.
8.证明:
(1)在正方形ABCD中,则∠ACE=∠ACF=45°
在△AEC和△AFC中
∴△AEC≌△AFC(SAS),
∴AE=AF;
(2)∵CE=CF,∠ACE=∠ACF,
∴EF⊥AC.
9.
解:
(1)如图甲,当△ACD绕点C顺时针旋转75°
或255°
时,旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形;
(2)①证明:
∵BC=CE,∠BCE=90°
﹣∠ACE=30°
∴∠CEB=∠CBE=(180°
)÷
2=75°
∠EBF=∠CBE﹣∠CBF=75°
﹣45°
=30°
∴∠EFB=180°
﹣∠EBF﹣∠CEB=180°
﹣75°
=75°
即∠EFB=∠FEB,故BE=BF;
②如图乙,作△BCE边BC上的高EH,则EH=
CE=1,
所以,S四边形ACBE=S△ACE+S△BCE=
×
2×
+
1=
故答案为:
75°
10.证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°
∵将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置,
∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°
∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AE.
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