高中数学必修五考点及典型例题.docx
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高中数学必修五考点及典型例题
必修五第一章解三角形
一、考点列举
1、正弦定理的理解与应用
2、余弦定理的理解与应用
二、常考题型
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形
★例1、在ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm)
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
(2)已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析:
这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?
求出需要的元素,就可以求出三角形的面积。
解:
(1)应用S=acsinB,得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理,
=
c=
S=bcsinA=b
A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
S=3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论,得
cosB=
=
≈0.7697
sinB=≈≈0.6384
应用S=acsinB,得
S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
★★例2、在ABC中,求证:
(1)
(2)++=2(bccosA+cacosB+abcosC)
分析:
这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到用正弦定理来证明
证明:
(1)根据正弦定理,可设
===k
显然k0,所以
左边=
==右边
(2)根据余弦定理的推论,
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题.
★★例1、如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)
解:
在ABC中,ABC=180-75+32=137,根据余弦定理,
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB=
=
≈0.3255,
所以CAB=19.0,
75-CAB=56.0
答:
此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile
★★例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大小和建筑物AE的高。
解法一:
(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中,
AC=BC=30,
AD=DC=10,
ADC=180-4,
=。
因为sin4=2sin2cos2
cos2=,得2=30
=15,
在RtADE中,AE=ADsin60=15
答:
所求角为15,建筑物高度为15m
解法二:
(设方程来求解)设DE=x,AE=h
在RtACE中,(10+x)+h=30
在RtADE中,x+h=(10)
两式相减,得x=5,h=15
在RtACE中,tan2==
2=30,=15
答:
所求角为15,建筑物高度为15m
第二章数列
一、考点列举
1、数列的概念和简单表示法
2、等差数列的概念及其表示
3、等比数列的概念及其表示
4、简单数列求和
二、常考题型
1、等差数列、等比数列的概念.
★例1已知数列{}的通项公式,其中、是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?
若是,首项与公差分别是什么?
分析:
由等差数列的定义,要判定是不是等差数列,只要看(n≥2)是不是一个与n无关的常数。
解:
当n≥2时,(取数列中的任意相邻两项与(n≥2))
为常数
∴{}是等差数列,首项,公差为p。
★例2在等差数列{}中,若+=9,=7,求,.
分析:
要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手……
解:
∵{an}是等差数列
∴+=+=9=9-=9-7=2
∴d=-=7-2=5
∴=+(9-4)d=7+5*5=32∴ =2,=32
★★例3.已知依次成等差数列,求证:
依次成等差数列.
分析:
要证三个数成等差数列,只需证明等式:
,即证成立.
证明:
成等差数列,
(设其公差为),,
又,
,成等差数列.
★★例4、等差数列中:
(1)如果,求数列的通项公式.
(2)如果求
分析:
(1)求等差数列的通项公式只要求两个量即可.
解:
(法1)由题意
故数列的通项公式为
(法2),故
分析:
(2)显然不能通过已知条件求出数列的通项公式,只有寻找已知条件和所求问题的关系.
解:
而
★★例5、等比数列中,求等比数列的通项公式.
分析:
求等比数列的首项为,两个参数即可.
解:
(法1)设等比数列的道项为,公比为,由题意
以下求解,不易找到思路.
转换思路,利用等和列的性质,不难得以下解法.
(法2)设等比数列的首项为,公比为,由题意
故为方程的两个根.
解得或或
所以数列通项公式为或
★★例6、在等比数列中,已知,,求该数列的第11项.
分析:
首先根据已知条件求出等比数列的通项.
解:
设首项为,公比为,则
得:
,
将代入
(1),得,
所以,
2、等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
★★例1、在等差数列中,已知,求前20项之和.
分析:
本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求,求解;也可以用等差数列的性质求解.
解:
法一由.由
法二由,而,所以,所以
★★例2、等差数列和的前项和分别为和,若对一切正整数都有,求的值.
分析:
由、的通项公式可求得、的通项公式,利用等差数列前n项和公式的特点先假设公式的形式.
解法一:
令,则当时,有,所以
解法二:
★★例3、设为等差数列,为数列的前项和,已知,,为数列的前项和,求.
分析:
由题设条件,不难求出和,从而可得,再进一步探求,看能否与等差或等比数列沟通.
解:
设等差数列的公差为,则
由,,得
即
解得,.
数列是首项为,公差为的等差数列,
故.
3、具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
★★例1、有若干台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的小麦,若同时投入工作至收割完毕需用24小时;但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的,每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕,如果第一台收割时间是最后一台的5倍,求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间.
分析:
这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列,按所规定的方法收割,所需要的时间等于第一台收割机所需的时间,即求数列的首项
解:
设从每台投入工作起,这台收割机工作的时间依次为,,,…,小时.
依题意,是一个等差数列,且每台收割机每小时的工作效率为,则有
由
(2),得,
即,
亦即(3)
由
(1),(3)得
故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小时.
★★例2、从盛满升()纯酒精的容器里倒出1升,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,如此继续下去.问第次操作后溶液的浓度是多少?
若,至少应倒几次后才能使酒精浓度低于?
分析:
这是一道数学应用题.解决应用问题的关键是建立数学模型,使实际问题数学化.注意到开始浓度为1,操作一次后溶液浓度是.操作二次后溶液浓度是,…,操作次后溶液浓度是.则不难发现,每次操作后溶液浓度构成等比数列,由此便建立了数列模型.解决数列问题,便可能达到解决实际问题之目的.
解:
设每次操作后溶液浓度为数列,则问题即为求数列的通项.
依题意,知原浓度为1,,,…,.
构成以首项,公比的等比数列,
所以,,
故第次操作后酒精浓度是
当时,由,得.
因此,至少应操作4次后,才能使酒精浓度低于.
第二章不等式及其解法
一、考点列举
1、不等式的关系及其性质
2、一元二次不等式的解法
3、二元一次不等式组与简单线性规划
4、基本不等式
二、常考题型
1、 了解现实世界和日常生活中的不等关系,会利用不等式的性质证明不等式
★★例1 已知a,b,c∈R+,求证:
a3+b3+c3≥3abc.
【分析】 用求差比较法证明.
证明:
a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]
∵a,b,c∈R+,∴a+b+c>0.
(c-a)]2≥0
即 a3+b3+c3-3abc≥0,∴a3+b3+c3≥3abc.
★★例2 已知a,b∈R+,求证aabb≥abba.
【分析】 采用求商比较法证明.
证明:
∵a,b∈R+,∴abba>0
★★★例3已知a、b、c是不全等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
【分析】 采用综合法证明,利用性质a2+b2≥2ab.
证明:
∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc.
①
同理b(c2+a2)≥2abc
②
c(a2+b2)≥2abc
③
∵a,b,c不全相等,∴①,②,③中至少有一个式子不能取“=”号
∴①+②+③,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
综上所述,当a>0,b>0,必有aabb≥abba.
2、通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系
★★例1不等式的解集为,求实数的取值范围
解:
当时,并不恒成立;
当时,则
得
★★例2、若函数的值域为,
求实数的取值范围
解:
令,则须取遍所有的正实数,即,
而
例3、解不等式:
解:
当时,;
当时,
★★3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决
例1
(1)求的最大值,使式中的、满足约束条件
(2)求的最大值,使式中的、满足约束条件
解:
(1)作出可行域;
(2)令,
则,当直线和圆
相切时,
★★例2、制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元?
才能使可能的盈利最大?
解:
设分别向甲、乙两项目投资万元,y万元,由题意知
目标函数
作出可行域,作直线,并作平行于直线的一组直线,
,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线的距离最大,这里M点是直线和0.3x+0.1y=1.8的交点,解方程组
解得x=4,y=6,此时z=1×4+0.5×6=7(万元)∵7>0∴当x=4、y=6时z取得最大值。
答:
投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大。
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