典型题高考数学二轮复习知识点总结空间中的平行与垂直文档格式.docx
- 文档编号:22510530
- 上传时间:2023-02-04
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:231.43KB
典型题高考数学二轮复习知识点总结空间中的平行与垂直文档格式.docx
《典型题高考数学二轮复习知识点总结空间中的平行与垂直文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《典型题高考数学二轮复习知识点总结空间中的平行与垂直文档格式.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
答案
(1)D
(2)D
解析
(1)A中,m与n可垂直、可异面、可平行;
B中m与n可平行、可异面;
C中若α∥β,仍然满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故C错误;
故D正确.
(2)若α∩β=
l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D.
考点二 线线、线面的位置关系
例2
如图,在四棱锥P—ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°
,∠BAC=
∠CAD=60°
,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB.
(1)若F为PC的中点,求证:
PC⊥平面AEF;
(2)求证:
EC∥平面PAB.
证明
(1)由题意得PA=CA,∵F为PC的中点,
∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,
∴CD⊥PC.∵E为PD的中点,F为PC的中点,
∴EF∥CD,∴EF⊥PC.
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.
(2)方法一
如图,取AD的中点M,
连接EM,CM.
则EM∥PA.
∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,
∴EM∥平面PAB.
在Rt△A
CD中,∠CAD=60°
,MC=AM,
∴∠ACM=60°
.而∠BAC=60°
,∴MC∥AB.
∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC⊂平面EMC,
∴EC∥平面PAB.
方法二
如图,延长DC、AB,设它们交于点N,连接PN.
∵∠NAC=∠DAC=60°
,
AC⊥CD,∴C为ND的中点.
∵E为PD的中点,∴EC∥PN.
∵EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB,
(1)立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得.
(2)证明立体几何问题,要紧密结合图
形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用.
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,D
为AC的中点.
(1)求证:
B1C∥平面A1BD;
(2)若AC1⊥平面A1BD,求证:
B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在
(2)的条件下,设AB=1,求三棱锥B-A1C1D的体积.
(1)证明
如图所示,连接AB1交A1B于E,连接ED.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,且AB=BB1,
∴侧面ABB1A1是正方形,
∴E是AB1的中点,又已知D为AC的中点,
∴在△AB1C中,ED是中位线,
∴B1C∥ED,∴B1C∥平面A1BD.
(2)证明 ∵AC1⊥平面A1BD,∴AC1⊥A1B.
∵侧面ABB1A1是正方形,∴A1B⊥AB1.
又AC1∩AB1=A,
∴A1B⊥平面AB1C1,∴A1B⊥B1C1.
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴BB1⊥B1C1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(3)解 ∵AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC,∴BD⊥平面DC1A1.
∴BD是三棱锥B-A1C1D的高.
由
(2)知B1C1⊥平面ABB1A1,
∴BC⊥平面ABB1A1.
∴BC⊥AB,∴△ABC是等腰直角三角形.
又∵AB=BC=1,∴BD=
∴AC=A1C1=
.
∴三棱锥B-A1C1D的体积V=
·
BD·
S△A1C1D=
×
A1C1·
AA1=
1=
考点三 面面的位置关系
例3 如图,
在几何体ABCDE中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥
平面ABD.M为线段BD的中点,MC∥AE,AE=MC=
平面BCD⊥平面CDE;
(2)若N为线段DE的中点,求证:
平面AMN∥平面BEC.
证明
(1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M为线段BD的中点,
∴AM=
BD=
,AM⊥BD.
∵AE=MC=
∴AE=MC=
,∴BC⊥CD.
∵AE⊥平面ABD,MC∥AE,
∴MC⊥平面ABD.
∴平面ABD⊥平面CBD,
∴AM⊥平面CBD.
又MC綊AE,
∴四边形AMCE为平行四边形,
∴EC∥AM,
∴EC⊥平面CBD,∴BC⊥EC,
∵EC∩CD=C,∴BC⊥平面CDE,
∴平面BCD⊥平面CDE.
(2)∵M为BD中点,N为ED中点,
∴MN∥BE且BE∩EC=E,
由
(1)知EC∥AM且AM∩MN=M,
∴平面AMN∥平面BEC.
(1)证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.
(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中线、高线或添加辅助线解决.
如图所示,
已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:
(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明
(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.
∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF=
DE.
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB.
又AB=
DE,∴GF=AB.
∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.
∵AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
考点四 图形的折叠问题
例4 (2012·
北京)如图
(1),在Rt△ABC中,∠C=90
°
,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图
(2).
DE∥平面A1CB;
A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
说明理由.
折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化.第
(1)问证明线面平行,可以证明DE∥BC;
第
(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直,即证明A1F⊥平面BCDE;
第(3)问取A1B的中点Q,再证明A1C⊥平面DEQ.
(1)证明 因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D,DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC,
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,
所以A1F⊥平面BCDE,
所以A1F⊥BE.
(3)解 线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:
如图,
分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由
(2)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.
(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.
(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.
(2013·
广东)如图
(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图
(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC=
(1)证明:
DE∥平面BCF;
(2)证明:
CF⊥平面ABF;
(3)当AD=
时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.
(1)证明 在等边△ABC中,AD=AE,∴
=
在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立.∴DE∥BC,
又DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF.
(2)证明 在等边△ABC中,F是BC的中点,∴AF⊥CF.
∵在三棱锥A-BCF中,BC=
∴BC2=BF2+CF2=
+
,∴CF⊥BF.
又BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)解 VF-DEG=VE-DFG=
DG×
FG×
GE=
1.证明线线平行的常用方法
(1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行;
(2)利用平行四边形进行转换;
(3)利用三角形中位线定理证明;
(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.
2.证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行;
(2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行.
3.证明面面平行的方法
证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行.
4.证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直;
(2)利用勾股定理逆定理;
(3)利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.
5.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直;
(2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直;
(3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等.
6.证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.
1.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点
E,F,且EF=
,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的距离与△BEF的面积相等
答案 D
解析 ∵AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D,
∴AC⊥BE,故A正确.
∵B1D1∥平面ABCD,又E、F在线段B1D1上运动,
故EF∥平面ABCD.故B正确.
C中由于点B到直线EF的距离是定值,故△BEF的面积为定值,
又点A到平面BEF的距离为定值,故VA-BEF不变.故C正确.
由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等,因此△AEF与△BEF的面积不相等,故D错误.
2.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中
点.
平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?
证明你
的结论.
(1)证明 如图,因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以B1C1⊥面ABB1A1.
因为A1B⊂面ABB1A1,
所以B1C1⊥A1B.
又因为A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,
所以A1B⊥面ADC1B1.
因为A1B⊂面A1BE,所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.
(2)解 当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.
证明如下:
易知:
EF∥C1D,且EF=
C1D.
设AB1∩A1B=O,则B1O∥C1D且B1O=
C1D,
所以EF∥B1O且EF=B1O,
所以四边形B1OEF为平行四边形.
所以B1F∥OE.
又因为B1F⊄面A1BE,OE⊂面A1BE.
所以B1F∥面
A1BE.
(推荐时间:
60分钟)
一、选择题
1.已知α,β,γ是三个互不重合的平面,l是一条直线,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,l⊥β,则l∥α
B.若l上有两个点到α的距离相等,则l∥α
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.若α⊥β,α⊥γ,则γ⊥β
答案 C
解析 当α⊥β,l⊥β时,l可以在α内,∴选项A不正确;
如果α过l上两点A,B的中点,则A,B到α的距离相等,
∴选项B不正确;
当α⊥β,α⊥γ时,可以有β∥γ,∴选项D不正确,∴正确选项为C.
2.已知直线m,n和平面α,则m∥n的必要不充分条件是( )
A.m∥α且n∥αB.m⊥α且n⊥α
C.m∥α且n⊂αD.m,n与α成等角
解析 m∥n不能推出m∥α且n∥α,m∥α,n∥α时,m,n可能相交或异面,为即不充分也不必要条件,A不正确;
m⊥α,n⊥α时,m∥n,为充分条件,但m∥n不能推出m⊥α,n⊥α,故B不正确;
m∥n不能推出m∥α且n⊂α,m∥α,且n⊂α时,m和n可能异面,为即不充分也不必要条件,故C不正确;
m∥n时,m,n与α成等角,必要性成立,但充分性不成立,故选D.
3.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°
,∠BAD=90°
,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面A
DC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
解析 ∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°
,∴BD⊥CD,
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,
所以CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD
=D,所以AB⊥平面ADC,
又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC,故选D
4.下列命题中,m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;
④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
解析 ②平面α与β可能相交,③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错,选C.
5.
一正四面体木块如图所示,点P是棱VA的中点,过点P将木块锯开,
使截面平行于棱VB和AC,若木块的棱长为a,则截面面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析
如图,在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D,在
面VAB内作VB的平行线交AB于点F,过点D作VB的平行线交BC于
点E.连接EF,易知PF∥DE,故P,D,E,F共面,且面PDEF与VB
和AC都平行,易知四边形PDEF是边长为
的正方形,故其面积为
,故选C.
6.
在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC的中点,且MN⊥AM,
若侧棱SA=2
,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )
A.12πB.32π
C.36πD.48π
解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM,
又由正三棱锥的性质得BS⊥AC,所
以BS⊥面ASC.
即正三棱锥S-ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直,外接球直径为
SA=6.
∴球的表面积S=4πR2=4π×
32=36π.选C.
二、填空题
7.设x,y,z是空间中
的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号).
①x为直线,y,z为平面;
②x,y,z为平面;
③x,y为直线,z为平面;
④x,y为平面,z为直线;
⑤x,y,z为直线.
答案 ③④
解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行,所以③正确;
因为垂直于同一条直线的两个平面平行,所以④正确;
若直线x⊥平面z,平面y⊥平面z,则可能有直线x在平面y内的情况,所以①不正确;
若平面x⊥平面z,平面y⊥平面z,则平面x与平面y可能相交,所以②不正确;
若直线x⊥直线z,直线y⊥直线z,则直线x与直线y可能相交、异面、平行,所以⑤不正确.
8.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC
为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F
在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
答案 a或2a
解析 由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.
易知Rt△CAF∽Rt△FA1D,
得
,即
整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
9.
如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂
直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:
①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC;
③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).
答案 ②④
解析 ①错误,PA⊂平面MOB;
②正确;
③错误,否则,有OC⊥AC,这与BC⊥AC矛盾;
④正确,因为BC⊥平面PAC.
三、解答题
10.(2013·
重庆)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2
BC=CD=2
,∠ACB=∠ACD=
BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.
(1)证明 因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,
又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,
所以BD⊥平面PAC.
(2)解 三棱锥P-BCD的底面BCD的面积
S△BCD=
BC·
CD·
sin∠BCD=
2×
sin
由PA⊥底面ABCD,得
VP-BCD=
S△BCD·
PA=
2
=2.
由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为
PA,
故VF-BCD=
所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-
11.(2012·
广东)如图所示,
在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,
AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=
AB,
PH为△PAD中AD边上的高.
PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=
,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;
(3)证明:
EF⊥平面P
AB.
(1)证明 因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD.
因为PH⊄平面ABCD,AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2)解
如图,连接BH,取BH的中点G,连接EG.
因为E是PB的中点,
所以EG∥PH,
且EG=
PH=
因为PH⊥平面ABCD,
所以EG⊥平面ABCD.
因为AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥AD,所以底面ABCD为直角梯形,
所以VE-BCF=
S△BCF·
EG
FC·
AD·
EG=
(3)证明 取PA中点M,连接MD,ME.
因为E是PB的中点,所以ME綊
又因为DF綊
AB,所以ME綊DF,
所以四边形MEFD是平行四边形,所以EF∥MD.
因为PD=AD
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 典型 高考 数学 二轮 复习 知识点 总结 空间 中的 平行 垂直
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)