复变函数与积分变换精彩试题及问题详解.docx
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复变函数与积分变换精彩试题及问题详解.docx
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复变函数与积分变换精彩试题及问题详解
第一套
第一套
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一、选择题(每小题3分,共21分)
1.若(),则复函数是区域内的连续函数。
A.、在区域内连续;B.在区域内连续;
C.、至少有一个在区域内连续;D.以上都不对。
2.解析函数的实部为,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为()。
A.;B;C;D
3.()。
A.;B.0;C.;D.以上都不对.
4.函数以为中心的洛朗展开系数公式为()。
A.B.
C.D.
5.z=0是函数的()。
A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点
6.将点,0,1分别映射成点0,1,的分式线性映射是()。
A.B.C.D.
7.(),()。
A.;B.;C.;D.
.
二、填空题(每小题3分,共18分)
1.[1];
2.幂级数收敛于[2];
3.设为复函数的可去奇点,则在该点处的留数为[3].;
4.通过分式线性映射(k为待定复常数)可将[4]映射成单位圆内部;
5.一个一般形式的分式线性映射可由、、三种特殊形式的映射复合而成,分别将平面看成z平面的平移映射、旋转与伸缩映射、[5];
6.求积分[6];
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.平面点集D称为一个区域,如果D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来,这样的集合称为连通集。
()
2.在区域D内解析的充要条件是:
与在D内可微,且满足C-R方程。
()
3.将平面上一个点集映射到平面上一个点集,的参数方程是:
,的参数方程是:
,则函数与导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。
()
4.拉氏变换的微分性质为:
若,则。
()
5.傅里叶级数表示一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频的倍数。
()
四、计算题(前四题,每小题9分,第五题,15分,共51分)
1.当分别等于多少时,函数在复平面上处处解析?
2.计算。
3.将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数:
,.
4.利用留数定理计算积分
5.求微分方程组的解
一、选择题(每小题3分,共21分)
1.A2.B3.B4.A5.A6.D7.A
.
二、填空题(每小题3分,共18分)
1.;或
2.;3.0;4.上半平面;5.反演映射6.1
.
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.×2.√3.√4.√5.√
四、计算题(前四题,每小题9分,第五题,15分,共51分)
1.解:
(3分)
(3分)
(3分)
2.解:
(5分)
(或判断出-i在圆内,不在圆内,得2分)
(4分)
3.将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数:
(5分)
(或:
写出洛朗级数公式2分)
(4分)
4.解:
由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1(4分)
(3分)
由留数定理,原积分(2分)
5.解:
(4分)
整理得
(4分)
解得(4分)
再取拉氏变换得到其解为:
(3分)
第二套
一、选择题(每小题3分,共21分)
1.的指数式为()。
A、B、C、D、
2.复函数()。
A在复平面上处处解析;B在复平面上处处不解析;
C除去原点外处处解析;D除去原点及负半实轴外处处解析.
3.由柯西积分公式得,积分的值为()。
A.0B.1C.2D.无解
4.洛朗级数的正幂部分叫()。
A、主要部分B、解析部分C、无限部分D、都不对
5.在点z=0处的留数为()。
A.-1B.0C.1D.2
6.保角映射具有的性质有()。
A.反演性、保圆性、保对称性B.共形性、保角性、保对称性
C.共形性、保圆性、保对称性D.反演性、保角性、保对称性
7.(),()。
A.;B.;C.;D..
二、填空题(每小题3分,共18分)
1.=[1]。
2.幂级数收敛半径为:
[2]。
3.孤立奇点可分为可去奇点、极点和[3]三种。
4.通过分式线性映射,(,为实数)可将[4]映射成单位圆内部。
5.在扩充复平面上两点与是关于圆周C的对称点的充要条件是通过与的任何圆周与[5]。
6.按定义,函数的傅里叶变换式为[6]。
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.如果平面点集G中的每一点都是它的内点,则称G为开集。
()
2.的所有分支可表示为。
()
3.设函数在的邻域内有定义,且在具有保角性和伸缩率不变性,则称在时共形的。
()
4.傅里叶级数中的物理意义:
表示周期信号在一个周期内的平均值,也叫做交流分量。
()
5.拉氏变换的微分性质为:
若,则。
()
四、计算题(前四题,每小题9分,第五题,15分,共51分)
1.设为解析函数,试确定l,m,n的值
2.计算积分,;
3.将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数,;
4.利用留数定理求积分(圆周均取正向)
5.求微分方程式的解
(c为常数)
第二套
一、选择题(每小题3分,共21分)
1.C2.D3.A4.B5.C6.C7.C.
二、填空题(每小题3分,共18分)
1.2.03.本性奇点4.单位圆内部5.正交6.
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.√2.×3.√4.×5.√
四、计算题(前四题,每小题9分,第五题,15分,共51分)
1.解:
由题意知:
实部、虚部
,,,(2分)
由于为解析函数,故有(2分)即(3分)解得m=1,n=-3,l=-3(2分)
2.解:
由z-3=0,得奇点为z=3(3分)此时不在C的环域内,由柯西基本定理(3分)知(3分)
3.解:
(3分)
(3分)
(3分)
4.解:
函数在的外部,除点外没有其他奇点,因此根据定理二与规则四有:
(3分)
(3分)(3分)
5.解:
方程两边取拉氏变换,得(2分)
解出(3分)
(3分)
(2分)
因此,原方程的解
(5分)
第三套
一、填空题(每空2分,共20分)
1.复数的实部为[1],虚部为[2]及其共轭复数为[3].
2.已知是解析函数,其中,则[4].
3.设C为正向圆周,则=[5].
4.幂级数的收敛半径为[6].
5.是的奇点,其类型为[7].
6.设,则
[8].
7.函数的傅里叶变换为[9].
8.函数的拉普拉斯逆变换为[10].
二、选择题(每小题2分,共20分)
1.复数的辐角为()
A.B.-
C.D.
2.方程所表示的平面曲线为()
A.圆B.直线
C.椭圆D.双曲线
3.在复平面上,下列关于正弦函数的命题中,错误的是()
A.是周期函数B.是解析函数
C.D.
4.设C为正向圆周,则=()
A.B.
C.D.1
5.在拉氏变换中,函数与的卷积,为()
A.B.
C.D.
6.幂级数的收敛区域为()
A.B.
C.D.
7.设的罗朗级数展开式为,则它的收敛圆环域为()
A.或B.或
C.D.
8.是函数的()
A.一阶极点B.可去奇点
C.一阶零点D.本性奇点
9.()
A.B.-1
C.D.1
10.的傅里叶变换为()
A.1B.C.D.
三、计算题(每小题8分,共24分)
1.已知,求,,。
2.计算积分,取正向。
3.求函数在孤立奇点处的留数。
四、综合题(共36分)
1.设,问在何处可导?
何处解析?
并在可导处求出导数值。
(8分)
2.将函数分别在与圆环域内展开为罗伦级数。
(10分)
3.求余弦函数的傅里叶变换。
(8分)
4.用Laplace变换求解常微分方程。
(10分)
第三套
1、填空题
1.,,;2.;3.0;4.1;5.可去奇点;6.-1;7.1;
8.
二、选择题
BDCBD,BABCC
3、计算题(每题5分,共20分)
1、解:
(1)因为不在曲线C:
内
所以根据柯西定理得:
(2分)
(2)已知在曲线C:
内,由柯西积分公式得:
(3分)
(3)由高阶导数公式得:
(3分)
2、解:
设在曲线C内除之外处处解析,(2分)
又因为是的一阶极点,根据留数定理得:
,,(4分)
(2分)
3、解:
由得:
和都是的孤立奇点,并且是一阶极点,(2分)
(3分)(3分)
四、综合题
1.解:
(4分)
均连续,要满足条件,必须要
成立
即仅当和时才成立,所以函数处处不解析;(2分)
(2分)2解:
(5分)
(5分)3.解:
(8分)
4.解:
在方程两边取拉氏变换,并用初始条件得
即故
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黄山学院学年度第学期
《工程数学》(本科)期末试卷(时间120分钟)
试卷编号:
院(系)班姓名学号得分
一、填空题(每空1分,共20分)
1.复数的实部为[1],虚部为[2]及其共轭复数为
[3].
2.已知是解析函数,其中,则[4].
3.设C为正向圆周,则[5].
4.设,则幂级数的收敛半径为__[6]__.
5.是的奇点,其类型为[7].
6.设,则
[8].
7.函数的傅里叶变换为[9].
8.函数的拉普拉斯逆变换为[10].
二、选择题(每小题2分,共20分)
1.复数的三角表示式为()
A.B.
C.D.
2.在下列复数中,使得成立的是()
A.B.
C.D.
3.设,解析函数的虚部为,则的实部可取为( )
A.B.
C.D.
4.设为从到的直线段,则( )
A.B.C.D.
5.复数列的极限为( )
A.-1B.0
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