二次函数专题训练三角形周长最值问题含答案.docx

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二次函数专题训练三角形周长最值问题含答案

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？

若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ′，PQ′．当△PMQ′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

（3）在

（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？

如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．如图

（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标

（3）如图

（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？

若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．

5．已知：

如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．

7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．

（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；

（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；

（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．

（1）求直线AC的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；

（3）当

（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．

（1）求直线AC与直线BC的解析式；

（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；

①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；

②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；

（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．

参考答案与试题解析

　1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？

若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，

得到，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°，

∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°，

∵PE⊥BC，

∴∠PEF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，

则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，

∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，

此时P（，﹣），

∵直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴F（﹣，﹣），

∴PF=，

∵△PEF是等腰直角三角形，

∴EF=EP=，

∴C△PEF最大值=+．

（3）①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，

②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．

易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵M（1，﹣4），

∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），

∴m=或（舍弃），

∴P点横坐标为

所以满足条件的点P的横坐标为2或．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ′，PQ′．当△PMQ′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．

【解答】解：

（1）令﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），C（0，3），

∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（2，3），

∴直线AD的解析式为：

y=x+1；

（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），

∵FH∥x轴，

∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），

∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，

∴FH的最大值为，

由直线AD的解析式为：

y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH=×=

故△FGH周长的最大值为×2+=；

（3）①当P点在AM下方时，如图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PMQ′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过AM中点N（0，2），

∴可知Q′在y轴上，

易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，

故T（1，4），从而T、M重合，

∴▱APQM是矩形，

∵易得直线AM解析式为：

y=2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直线QQ′：

y=﹣x+，

∴4+p=﹣×2+，

解得：

p=﹣，

∴PN=，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；

②当P点在AM上方时，如图2，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PMQ′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：

y=﹣x+p+5，

联立，解得：

x=，y=，

∴H（，），∵H为QQ′中点，

故易得Q′（，），

由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：

y=（﹣）x+p，

将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：

=（﹣）×+p，

整理得：

p2﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|xM﹣xA|=2××5×2=10．

综上所述，▱APQM面积为5或10．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

（3）在

（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？

如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO=，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，