13年全国各省市高考数学真题分类汇编一OK.docx
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13年全国各省市高考数学真题分类汇编一OK
2013年全国各省(市)高考真题数学分类汇编(理)与解析
(一)三角函数与数列
1、(2013年安徽16题)(本小题满分12分)
已知函数的最小正周期为,(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)讨论在区间上的单调性。
(17)(本小题满分12分)
设函数,其中,区间,(Ⅰ)求I的长度(注:
区间的长度定义为);(Ⅱ)给定常数,当时,求长度的最小值。
2、(2013年北京15题)(本小题共13分)
在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A,()求cosA的值,()求c的值。
3、(2013年福建20题)(本小题满分14分)
已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像
上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.
(1)求函数与的解析式;
(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?
若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系;三角恒等变换;三角函数的图像与性质;函数,函数的导数;函数的零点;不等式等基础知识;考查运算求解能力;抽象概括能力,考查函数与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想.化归与转化思想;
4、(2013年广东16题)(本小题满分12分)
已知函数,,(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求.
5、(2013年广西17题)(本小题满分10分)
等差数列的前项和为的通项式.
6、(2013年广西18题)(本小题满分12分)
设()求
()若
7、(2013年河南山西河北14)
若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.
8、(2013年河南山西河北15)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______
9、(本小题满分12分)
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
10、(2013全国新课标2卷)(17)(本小题满分12分)
△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB。
(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值。
11、(2013湖北17题)在中,角,,对应的边分别是,,。
已知。
()求角的大小;()若的面积,,求的值。
12、(2013湖北18题)已知等比数列满足:
,;()求数列的通项公式;
()是否存在正整数,使得?
若存在,求的最小值;若不存在,说明理由。
13、(2013年湖南卷17题)(本小题满分12分)
已知函数。
()若是第一象限角,且。
求的值;()求使成立的x的取值集合。
14、(2013江苏卷15题)
设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数.
(1)若,且成等比数列,证明:
();
(2)若是等差数列,证明:
.
15、(2013江苏卷15题)(本小题满分14分)
已知,.
(1)若,求证:
;
(2)设,若,求的值.
16、(2013江西卷16题)(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围
17、(2013江西卷17题)(本小题满分12分)
正项数列{an}的前项和{an}满足:
,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,数列{bn}的前项和为。
证明:
对于任意的,都有
18、(2013年辽宁卷17题)(本小题满分12分)
设向量()若
()
本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.
19、(2013山东卷17题).设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(Ⅰ)求a,c的值;(Ⅱ)求sin(A-B)的值.
20、(2013山东卷20题)(本小题满分12分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1 ,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}
的前n项和Tn,且Tn+=λ(λ为常数),令cn=b2n,(n∈N•).求数列{cn}的前n项和Rn.
21、(2013年陕西卷16题)(本小题满分12分)
已知向量,设函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在上的最大值和最小值.
22、(2013年陕西卷17题)(本小题满分12分)
设是公比为q的等比数列,(Ⅰ)求的前n项和公式;(Ⅱ)设q≠1,证明数列不是等比数列.
23、(2013上海卷23题)
已知数列满足,
(1)设证明:
数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
24、(2013年四川卷16题)
(本小题满分12分)在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.
25、(2013四川卷17题)(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且,(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
26、(2013天津卷15题)(本小题满分13分)
已知函数,(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
27、(2013浙江18题)(本题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c。
已知cosA=,sinB=C,
(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC的面积。
【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
28、(2013重庆卷20题)在中,内角的对边分别是,且。
(1)求;
(2)设,求的值。
2013年全国各省(市)高考真题数学分类汇编(理)与解析
(一)三角函数与数列参考答案
1、(2013年安徽16题)(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)
.所以
(Ⅱ)
所以
(17)(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ).所以区间长度为.
(Ⅱ)若
..
2、(2013年北京15题)(本小题共13分)
3、(2013年福建20题)(本小题满分14分).
本小题主要考查同角三角函数的基本关系.三角恒等变换.三角函数的图像与性质.函数.函数的导数.函数的零点.不等式等基础知识,考查运算求解能力.抽象概括能力,考查函数与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想.化归与转化思想。
解:
(Ⅰ)由函数的周期为,,得
又曲线的一个对称中心为,
故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时,,
所以
问题转化为方程在内是否有解
设,
则
因为,所以,在内单调递增
又,
且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,
即存在唯一的满足题意
(Ⅲ)依题意,,令
当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,
现研究时方程解的情况;令,
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
,令,得或
当变化时,和变化情况如下表
当且趋近于时,趋向于;当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于;当且趋近于时,趋向于
故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点
由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以
综上,当,时,函数在内恰有个零点
4、(2013年广东16题)(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ);
(Ⅱ)
因为,,所以,
所以,
所以.
5、(2013年广西17题)(本小题满分10分)
答案略。
6、(2013年广西18题)(本小题满分12分)
7、(2013年河南山西河北14)
若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.
【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系,是容易题.
【解析】当=1时,==,解得=1,
当≥2时,==-()=,即=,
∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.
8、(2013年河南山西河北15)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______
【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题,是难题.
【解析】∵==
令=,,则==,
当=,即=时,取最大值,此时=,∴===.
9、(本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易题.
【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,
由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,
,化简得,,
∴=,∴=.
10、(2013全国新课标2卷)(17)(本小题满分12分)
键。
11、(2013湖北17题)
【解析与答案】()由已知条件得:
,解得,角
(),由余弦定理得:
,
【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理
12、(2013湖北18题)
【解析与答案】()由已知条件得:
,又,,
所以数列的通项或
()若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数。
【相关知识点】等比数列性质及其求和;
13、(2013年湖南卷17题)(本小题满分12分)
已知函数。
()若是第一象限角,且。
求的值;()求使成立的x的取值集合。
14、(2013江苏卷15题)
证:
(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:
,得:
,又,故.
由此:
,,.
故:
().
(2),
.(※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:
,即,而≠0,
故.经检验,当时是等差数列.
15、(2013江苏卷15题)(本小题满分14分)
解:
(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,
所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,所以,.
(2),①2+②2得:
cos(α-β)=-.
所以,α-β=,α=+β,
带入②得:
sin(+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1,
所以,+β=.所以,α=,β=.
16、(2013江西卷16题)(本小题满分12分)
17、(2013江西卷17题)(本小题满分12分)
18、(2013年辽宁卷17题)(本小题满分12分)
本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.
()解法一:
,4分
当,即时,取得最大值.
因此,取得最大值的自变量的集合是8分
解法二:
,4分
当,即时,取得最大值.
因此,取得最大值的自变量的集合是8分
()解:
,
由题意得,即.
因此,的单调增区间是.12分
19、(2013山东
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