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初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典方法
息县六中陈岳
因式分解是初中一个重点,它牵涉到分式方程,一元二次方程,所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。
下面列举了九种方法,希望对大家的学习能有所帮助。
【1】提取公因式
这种方法比较常规、简单,必须掌握。
常用的公式有:
完全平方公式、平方差公式等
例一:
-3x=0
解:
x(2x-3)=0
=0,=3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结:
要发现一个规律就是:
当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。
【2】公式法
将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。
常用的公式有:
完全平方公式、平方差公式等
注意:
使用公式法前,建议先提取公因式。
例二:
-4分解因式
分析:
此题较为简单,可以看出4=22,适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2
解:
原式=(x+2)(x-2)
【3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意:
它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积,把常数项c分解成两个因数的积,并使正好是一次项b,那么可以直接写成结果
例三:
把-7x+3分解因式.
分析:
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
11
╳
23
1×3+2×1=5
13
╳
21
1×1+2×3=7
1-1
╳
2-3
1×(-3)+2×(-1)=-5
1-3
╳
2-1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解原式=(x-3)(2x-1).
总结:
对于二次三项式+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=,把,排列如下:
╳
按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式+bx+c的一次项系数b,即=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式x+c1与之积,即
+bx+c=(x+)(x+).
这种方法要多实验,多做,多练。
它可以包括前两者方法。
【4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来
需要可持续性!
例四:
可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式
解:
原式=
=(x+2+y)(x+2-y)
总结:
分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。
【5】换元法
整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上
例五:
分解因式
考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y
那么原式=-2a+1
=
回代
原式=
【6】主元法
这种方法要难一些,多练即可
即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数
例六:
分析:
本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。
原式=---------------------【主元法】
=---------------------【十字相乘法】
可见,十字相乘十分重要。
【7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。
是用来分解形如的二次六项式
在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)
要诀:
把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
例七:
分解因式
解:
原式=0×1×+ab++a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
【8】待定系数法
将式子看成方程,将方程的解代入
这时就要用到【1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式
例八:
+x-2
该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做,+x-2=0
一眼看出,该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2(因为乘-1要为-2)
一次项系数必为1(因为与1相乘要为1)
所以另一因式为(x+2)
分解为(x-1)(x+2)
【9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。
原理和小学的除法差不多。
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候,一定要让第一项抵消
例九:
分解因式
提示:
x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)
那么该式分解为(x+1)(+2x-2)
因式分解还有许多方法,只是不太常见,就不在此列举了。
考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。
xy+6-2x-3y
(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)
12x^2-29x+15
x(y+2)-x-y-1
5ax+5bx+3ay+3by
12a2b(x-y)-4ab(y-x)
(x-1)2(3x-2)+(2-3x)
x2-11x+24
y2-12y-28
x2+4x-5
y4-3y3-28y2
蚊子与牛一样重
从前有一只骄傲的蚊子,总认为自己的体重和牛是一样重。
有一天,它找到了牛,并说出了体重一样的理由。
它认为,可以设自己的体重为a,牛的体重为b,则有:
a2-2ab+b2=b2-2ab+a2
左右两边分别因式分解为:
(a-b)2=(b-a)2
从而就有:
a-b=b-a
移项,得:
2a=2b,
即a=b
蚊子骄傲地把自己的理由说完,牛睁大了眼睛,听傻了!
①请同学们想一想,牛和蚊子的体重真的会一样吗?
若不一样,那么蚊子的证明究竟错在哪里呢?
②讲这个例子的目的何在?
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