八下数学第一章学案.docx
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八下数学第一章学案
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形和等腰三角形的性质
1.若等腰三角形的顶角为70°,则它的底角度数为( )
A.45°B.55°C.65°D.70°
2.如图1-1-5,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是________.
3.已知:
如图1-1-6,在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,∠DBC=1,2∠BAC.求证:
AC⊥BD.请你将下面的证明过程补充完整,并在相应的括号内注明理由.
证明:
如图1-1-6,过点A作AE⊥BC于点E,交BD于点F.
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠CAE=1,2∠________( ).
∵∠DBC=1,2∠BAC,
∴∠CAE=∠DBC( ).
又∵∠1=∠2,∠ADF=180°-∠2-________,∠BEF=180°-∠1-________,
∴∠ADF=∠BEF=90°,
∴AC⊥BD( ).
4.如图1-1-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是( )
A.1B.2C.3D.4
5.如图1-1-8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD为∠BAC的平分线,AD=3,BD=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.3B.6C.9D.12
6.如图1-1-9,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.
求证:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形
知识点❶ 等腰三角形的相等线段
1.已知:
如图1-1-12,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则下列结论不一定正确的是( )
图1-1-12
A.BD=CEB.OB=OCC.OC=DCD.∠ABD=∠ACE
2.已知:
如图1-1-13,在△ABC中,AB=AC,给出的下列条件中,不能使BD=CE的是( )
图1-1-13
A.BD和CE分别为AC和AB边上的高
B.BD和CE分别为AC和AB边上的中线
C.∠ABD=1,3∠ABC,∠ACE=1,3∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
3.已知:
如图1-1-14,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:
DM=DN.
图1-1-14
知识点❷ 等边三角形的性质
4.已知AD是等边三角形ABC的高,且BD=1cm,那么BC的长是( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
5.如图1-1-15,在等边三角形ABC中,BD,CE是两条中线,则∠1的度数为( )
图1-1-15A.30°B.90°C.120°D.150°
6.如图1-1-16,已知AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠ADE的度数是( )
A.50°B.60°C.75°D.80°
图1-1-16
7.如图1-1-17,已知△ABC为等边三角形,M是线段BC上任意一点,N是线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交于点D.求证:
△ABM≌△BCN.
图1-1-17
8.如图1-1-18,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.求证:
AC=BE.
图1-1-18
9.如图1-1-19,一个等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是( )
图1-1-19A.180°B.220°C.240°D.300°
10.如图1-1-20,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD交于点M,BD与CE相交于点N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的结论有( )
图1-1-20图1-1-21
A.3个B.2个C.1个D.0个
11.如图1-1-21,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=________度.
12.如图1-1-22,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且BE=AF,CE,BF相交于点P.
(1)求证:
CE=BF;
(2)求∠BPC的度数.
图1-1-22
13.如图1-1-23,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以PB为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
图1-1-23
14.如图1-1-24,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点(点P与点A,C不重合),由A向C运动,Q是CB延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(点Q与点B不重合),过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长.
(2)在运动过程中线段DE的长是否发生变化?
如果不变,求出线段DE的长;如果发生改变,请说明理由.
图1-1-24
1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
知识点❶ 等腰三角形的判定
1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=30°,∠B=60°
B.∠A=50°,∠B=80°
C.AB=AC=2,BC=4
D.AB=3,BC=7,周长为10
2.如图1-1-25所示是一块三角形木板的残余部分,测量出∠A=100°,∠B=40°,AB=3cm,则这块三角形木板另一边AC的长是________cm.
图1-1-25图1-1-26
3.在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图1-1-26所示,则这个三角形是________三角形.
4.如图1-1-27,将长方形ABCD沿对角线BD翻折,点C落在点E的位置,BE交AD于点F.求证:
重叠部分(即△BDF)是等腰三角形.
图1-1-27
5.如图1-1-28,在△ABC中,D为BC上一点,DA平分∠EDC,且∠E=∠B,
ED=DC.试判断△ABC的形状,并说明理由.
图1-1-28
知识点❷ 反证法
6.用反证法证明:
在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,应先假设( )
A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中每一个内角都小于60°
C.三角形中有一个内角大于60°D.三角形中每一个内角都大于60°
7.用反证法证明:
等腰三角形的两底角必为锐角.
证明:
①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角,则__________________,
从而__________________>180°,
这与________________________________矛盾.
②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,
则______________,从而__________________,
这与________________________________矛盾.
综上所述,假设①,②________,
所以∠B,∠C只能为________.
故等腰三角形的两底角必为锐角.
8.求证:
在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等.
9.如图1-1-29,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是( )
A.(2,0)B.(4,0)C.(22,0)D.(3,0)
图1-1-29图1-1-30图1-1-31
10.如图1-1-30所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O.过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是________.
11.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处.他先沿正东方向走了200m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C,如图1-1-31所示,由此可知,B,C两地相距________m.
12.如图1-1-32,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE相交于点O.给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.
上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形?
选择其中一种情况,证明△ABC是等腰三角形.
13.如图1-1-33所示,在四边形ABDC中,AB=AC,∠B=∠C.求证:
BD=CD.
图1-1-33
14.如图1-1-34①所示,在△ABC中,已知∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
(1)你能得出什么结论?
(2)若过点O作直线EF和边BC平行,与AB交于点E,与AC交于点F,如图②,则图中有几个等腰三角形?
线段EF和EB,FC之间有怎样的数量关系?
(3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变,如图③,则图中是否还有等腰三角形?
(2)中的数量关系是否还存在?
请说明理由.
图1-1-34
1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
知识点❶ 等边三角形的判定
1.如图1-1-35所示,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为( )
图1-1-35图1-1-36图1-1-37
A.6B.8C.9D.12
2.下列结论:
(1)有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;
(2)有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;(3)有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;(4)三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图1-1-36,将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,则拼接后的△ABD的形状是____________.
4.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1-1-37①,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是________cm.
5.如图1-1-38,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E.求证:
证明△ACE是等边三角形.
图1-1-38
知识点❷ 含30°角的直角三角形的性质定理
6.如图1-1-39,一棵树在一次强台风中在离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )A.6米B.9米C.12米D.15米
图1-1-39图1-1-40图1-1-41
7.如图1-1-40,AC=BC=10cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为( )
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
8.如图1-1-41所示是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离h=6.5米,自动扶梯的倾斜角为30°,若自动扶梯运行速度v=0.5米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为________秒.
9.如图1-1-42所示,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上,点B在第一象限,已知OB=2,∠BOA=30°.求点A和点B的坐标.
图1-1-42
10.如图1-1-43,折叠直角三角形纸片,使点C落在AB边上的点E处.已知BC=12,∠B=30°,∠C=90°,则DE的长是
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