一元二次不等式的应用含答案doc.docx

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课时作业17一元二次不等式的应用

时间：

45分钟满分：

100分

课堂训练

1．不等式（1－|x|）（1＋x）>0的解集为（）

A．{x|x<1}

B．{x|x<－1}

C．{x|－1

D．{x|x<－1或－1

【答案】D

【解析】原不等式可化为

x≥0且x≠1

1－x1＋x>0

，

或

x<0且x≠－1

1＋x1＋x>0

.

即0≤x<1或x<0且x≠－1.∴x<1且x≠－1，故选D.

2．如果方程x2＋（m－1）x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，

另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）

A．（－2，2）B．（－2,0）

C．（－2,1）D．（0,1）

【答案】D

【解析】令f（x）＝x2＋（m－1）x＋m2－2，

则

f1<0

f－1<0

，∴

m2＋m－2<0

2＋m－2<0

m2－m<0

2－m<0

，∴0

2

3．已知关于x的不等式x－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a

的取值范围是________．

【答案】（0,8）

2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝（－a）

2

【解析】不等式x

－8a<0，∴0

4．解不等式：

（1）（x＋2）（x＋1）（x－1）（x－2）≤0.

（2）

3x－5

≤2.

x2＋2x－3

2＋2x－3

【分析】

（1）本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方

法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．

（2）考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标

准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．

【解析】

（1）设y＝（x＋2）（x＋1）（x－1）（x－2），则y＝0的根

分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：

∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．

（2）原不等式等价变形为

3x－5

－2≤0，

2＋2x－3

x

即

－2x2－x＋1

2－x＋1

≤0，即

x2＋2x－3

2x2＋x－1

2＋x－1

≥0，

x2＋2x－3

即

2x2＋x－1x2＋2x－3≥0，

2＋x－1x2＋2x－3≥0，

x2＋2x－3≠0，

2＋2x－3≠0，

即等价变形为

2x－1x＋1x＋3x－1≥0，

x≠－3且x≠1.

画出示意图如下：

可得原不等式的解集为

{x|x<－3或－1≤x≤

1

或x>1}．

2

课后作业

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．不等式

x－3

x＋2

<0的解集为（）

A．{x|－2

C．{x|x<－2或x>3}D．{x|x>3}

【答案】A

【解析】不等式

x－3

x＋2<0可转化为（x＋2）（x－3）<0，解得－

2

2．不等式（x2－4x－5）（x2＋4）<0的解集为（）

A．{x|0

C．{x|－15}

【答案】B

【解析】原不等式等价于x2－4x－5<0.

3．不等式

x＋a

≥0的解集为{x|－3

2＋4x＋3

x

的值为（）

A．2B．－2

D．－

1

2

【答案】B

【解析】原不等式可化为

x＋a

x＋1x＋3

≥0，等价于

x＋ax＋1x＋3≥0

x＋1x＋3≠0，

由题意得对应方程的根为－3，－

1，2，∴a＝－2.

4．不等式x

2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围

是（）

A．－4≤a≤4B．－4

C．a≥4或a≤－4D．a<－4或a>4

【答案】D

【解析】不等式x

2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－

16>0，∴a<－4或a>4，故选D.

5．不等式

x＋5

x－1

2≥2的解集是（）

11

A．[－3，]B．[－，3]

22

C．[

11

，1）∪（1,3]D．[－，1）∪（1,3]

22

【答案】D

【解析】∵（x－1）

2>0，

由

x＋5

x－1

2≥2可得：

x＋5≥2（x－1）

2，且x≠1.

∴2x2－5x－3≤0且x≠1，∴－

2－5x－3≤0且x≠1，∴－

1

2

≤x≤3且x≠1.

1

∴不等式的解集是[－，1）∪（1,3]．

2

6．不等式x＋

2

>－2的解集是（）

x－1

A．（－1,1）B．（－1,0）∪（1，＋∞）

C．（0,1）D．（－1,1）∪（1，＋∞）

【答案】B

【解析】不等式移项通分，得

xx－1＋2－－2x－1

x－1

>0，整理得

xx＋1

x－1

>0，

不等式等价于

x－1>0，

xx＋1>0

（1），或

x－1<0，

xx＋1<0

（2），

解

（1）得，x>1；解

（2）得，－1

所以不等式的解集为（－1,0）∪（1，＋∞）．

7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，

2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，

1

2

]恒成立，则a的最

小值为（）

A．0B．－2

C．－

5

2

D．－3

【答案】C

1

【解析】x]恒成立，等价于a≥

2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，

2

1

－x－时对一切x∈（0，

x

1

2

]恒成立．

设f（x）＝－x－

1

.

x

1

∵f（x）在（0，]上单调递增，

2

∴f（x）max＝f（

1

2

）＝－

5

2

.

∴a≥－

5

.

2

∴a的最小值为－

5

2

，故选C.

8．定义运算：

a*b＝a·（2－b），若不等式（x－m）*（x＋m）<1对

任意实数x都成立，则（）

A．－1

C．－

31

22

D．－

13

22

【答案】B

【解析】因为a*b＝a·（2－b），所以（x－m）*（x＋m）＝（x－

m）·（2－x－m）＝－（x－m）[x－（2－m）]，所以（x－m）*（x＋m）<1可化

2－2x－m2＋2m＋1>0，令x2－2x－m2＋2m＋1＝0，所以Δ＝4＋4（m

2

为x

－2m－1）＝4（m

2－2m）<0，即0

二、填空题（每小题10分，共20分）

9．不等式

x－2

2－1<0的解集为________．

x

【答案】{x|x<－1或1

【解析】因为不等式

x－2

x2－1<0等价于（x＋1）（x－1）·（x－2）<0，

2－1<0等价于（x＋1）（x－1）·（x－2）<0，

所以该不等式的解集是{x|x<－1或1

10．函数f（x）＝kx2－6kx＋k＋8的定义域为R，则实数k

的取值范围为________．

【答案】[0,1]

【解析】kx2－6kx＋（k＋8）≥0恒成立，

当k＝0时，满足．

当k≠0时，

k>0，

Δ＝－6k

2－4kk＋8≤0

?

0

∴0≤k≤1.

三、解答题（每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤）

11．若不等式

x2－8x＋20

2－8x＋20

mx2＋2m＋1x＋9m＋4>0对任意实数x恒成立，

求m的取值范围．

【解析】∵x2－8x＋20＝（x－4）

2－8x＋20＝（x－4）

2＋4＞0

∴要使不等式

x2－8x＋20

2－8x＋20

＞0对任意实数x恒成立，

mx2＋2m＋1x＋9m＋4

只要mx2＋2（m＋1）x＋9m＋4＞0对于任意实数x恒成立．

①当m＝0时，2x＋4＞0，x＞－2，此时原不等式对于x＞－2的

实数x成立，∴m＝0不符合题意．

②当m≠0时，要使不等式对任意实数x恒成立，须

m＞0

Δ＜0

解

1

得：

m＞.

4

∴m的取值范围是{m|m＞

1

4

}．

12．实数m取何范围的值时，方程x

2＋（m－3）x＋m＝0的两根满

足：

（1）都是正数；

（2）都在（0,2）内．

【解析】

（1）设方程的两根为x1，x

2，则由题意可得

Δ＝m

2－10m＋9≥0

x1＋x2＝3－m＞0

，

x1·x2＝m＞0

解得m的取值范围是（0,1]．

（2）设f（x）＝x

2＋（m－3）x＋m，由题意得

Δ＝m

2－10m＋9≥0

f0＝m＞0

0＜

3－m

＜2

2

，解得m的取值范围是（

2

3

，1]

f2＝3m－2＞0