海南省中考数学科几何压轴题Word格式文档下载.docx
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原题:
23.(满分13分)如图7,正方形ABCD的对角线相交于点O,ZCAB勺平分线分别交BDBC于E、F,作BH丄AF于点H,分别交ACCD于点GP,连结GEGF
(1)求证:
△OAMAOBG
(2)试问:
四边形BFGE是否为菱形?
若是,请证明;
若不是,请说明理由.
(3)试求:
PG的值(结果保留根号).
AE
参考答案:
(1)利用OA=OB,/AO=ZBOG90°
/OA=ZOBG(或/OE/=ZOGB证明全等。
(2)可以利用所有的判定方法,如有一组邻边相等的平行四边形、对角线
相互垂直的平行四边形、对角线相互垂直且平分的四边形是菱形、四条边都相等的四边形、菱形的每一条对角线平分一组对角。
(3)主要方法都是利用
(1)中的全等将线段AE替换为BG后,利用相似加以推理计算。
下面结合评卷过程对试题进行分析。
第
(1)问的参考解答及学生的解答,基本都是一个解法,差别只是证明角相等的方法不同而已。
方法一:
参考答案是利用直角三角形两个锐角互余,及对顶角相等证明两角相等。
这个方法学生中应用也较多,基本上可以看作是标准解答,如:
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方法二:
利用三角形或是四边形的角和通过计算证明两角相等。
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方法四:
通过特殊角度值的计算证明两角相等
由于本题与正方形相关,再加上对角线这个特殊的条件,有许多的角度可以计算。
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方法五:
利用四点共圆
呷哪㈣軸
可惜在上述解答中,四点共圆的理由应当为:
AOBAHB900。
评卷上万份中,只发现了这一例。
在此知识点已迁移至高中、初中基本不再讲解的情况下,能够用这种证法实数不易。
总结,以上标准答案以及学生的解答基本上都是在证明两角相等上做文章。
用的方法不外是角角边或是角边角。
证明三角形全等的方法还有边角边、边边边、以及直角三角形HL。
是否可以应用呢?
经分析,除角角边或是角边角,还可以应用其他方法来证全等。
下面略述各种证明方法的简略思路。
用HL方法如下:
已有OA=OB/AOE=ZBOG90°
,只要证AE=BG只要证EAB^GBC,
即EBAGCB450,ABAC,EABGBC22.5°
(ASA。
用SAS方法如下:
已有OA:
OB/AO=ZBOG90°
只要证OE=OG即证AG=DEAO=D(显然),两者相减即可。
要证AGDE,只要证^GBAEAD,即
GABEDA45°
ABAD,GBAEAD67.5°
用SSS方法如下
已有OA=OB只要证AE=BG(上已证),OE=OG(上已证)。
上述三种方法,均比较麻烦,评卷时命题方及试评组没有事先提供这三种解法,评卷过程中也没有发现学生如此解答。
但从教师解题研究的角度,还是要加以分析的必要。
其实,分析三角形全等问题,寻找方法时,最好先将证明的方法都罗列出来,之后,再一一对比已知条件,寻找欠缺的条件,容易找准较为简便的方法。
但这要求有冷静而有仔细的心思。
存在的问题是,不少的同学知道证明全等的方法,只是苦于找不到证明角或边相等的方法,只有蒙了。
如:
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眾;
勻爲纠⑷
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$二
1各Gr
第
(2)问的解答多样化,学生可以从不同的角度加以处理,入手易,但每种方法要说理清晰,也不容易的事。
绝大部分同学解答都是利用平行四边形加条件证明菱形,如邻边相等、对角线互相垂直等,少部分是直接证四条边相等。
而证明平行四边形的方法对是多种多样,如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等(评卷时没有发现这种证法)等。
有一组邻边相等的平行四边形
②四曲形BF链<芙眇理刼吓:
且凸丄曲
作住丄件B子点二
VGI1AI.V6E//BF
IGEHhHFEf2GHS-
对角线相互垂直的平行四边形
宀吨二禹砂辺
T如D曲
说明:
在证明对角线互相平分时,绝大多数学生都是用三角形全等加以证明,极少有学生直接利用等腰三角形和重要性质三线合一加以论述,看来在常规教学
中还要对这一知识点加以强调。
方法三:
对角线相互垂直且平分的四边形是菱形
驾辭件%。
亀
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1駅尹A测代昭〃沖赵制甜希趣书钿
四条边都相等的四边形
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菱形的每一条对角线平分一组对角
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第(3)问基本就是相似,无非做不做不辅助线而已。
对于本问而言,注意到第一问中的全等,以及问题涉及到比的计算,基本上就可以找到解法。
做辅助线,完全是多此一举的做法,但也可以作为一种思路。
直接利用相似
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戎鹉珂•卒%.
V心M他
:
、Cpzl&
=Xi*
做辅助线后,利用相似
y心朋屯门c^e&
=^F^&
?
rCC=GT^r*舟卯不
当然,还可以作GQCD交BD于点Q.
利用三角函数,问题是初中无法解决非特殊值问题,个别学生不知从哪得到的比值。
如以下两例:
們50二饥沪乂严■/十合九夕匸=丁・呻小r^x
f'
AM-Uf>
^)v
八存计十MX
、鲁気仆m
*叙m
以上都是学生所用,而且正确的方法,除少部分表述中存在问题外,基本上都是比较优秀的解法了。
但评卷中依然发出了大量存在的问题,列举如下。
基本素养不足。
遗漏符号
朮秽加A必
二砂F
-;
0旺咗幷
写错别字
7F仏A冰列竝
不知基本的方法,乱写一气
t|5i.I
TL右醪屛]啜如亘f坊止曲粵二创-03
T朋+0E芝十oG
二0E二昭
Q)证昭;
V0/二Op
(伦果十三舗
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赫:
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诲帥I厨维
期
事实上,初中几何研究或者说可以用来考试的问题主要有,点共线,平行,垂直,中点,共圆,线段相等,角相等,三角形相似,三角形全等,成比例线段问题等。
对于本题中存在以下详细的命题点:
点共线,女口CDRACOGBDOEAFEHBPGH.
平行,正方形两组对边平行外,还有隐含的DG与OH.
垂直,除正方形四边之间,对角线之间外,还存在AF与BP,隐含的DG与CECE与OH.
中点,本题中只有正方形对角线与菱形对角造成的中点。
共圆,也比较多,但初中已不处理这个知识点。
有ADPHABOHOGEHABCDBOGADGEBDGCOPHBCGEACE.
线段相等,除正方形四边及对角线,菱形四边外,还有CG=CPOE=O0隐
含有OH=BH=OHAE=BG=CE=DG5E=GE=CG=CP.
角相等,除直角、45度角,以及菱形相应的角相等外,本题中还有大量角相等,如平行线造成的角相等。
如果再添加适当辅助线,还会构造出更多相等的角。
三角形相似,除等腰直角三角形外,还存在或隐含的有三角形HBAOEAOGBCPBHGAOECHEGHEBOGD三角形AGBCGBDAEHGOAGDDCE三角形BEGBHODGBAECCGE三角形EOHEAGPBDPDGGBCEABOAHGDCGDEECB三角形DHAPBA三角形OGDPBA三角形CAHPBO其中要再添加线才能构成的三角形就让问题更复杂化了。
三角形全等,除正方形对角线造成、菱形对角线、中垂线造成的外,还存在或隐含的有三角形EABGBCGDCECBEAGGDE三角形GBAEADGDAECD三角形OBGOAEOCEODG三角形AECBGD三角形BEGCGE.
成比例线段问题,本次考试命题选用的比例,含有无理数,也是造成学生解题得分较低的原因之一。
其实,几何中常研究中点问题,线段比为1:
2应当成
为一个重点研究的问题才对。
本题中除正方形、菱形对角线造成的中点形成比为1:
2的线段外,还存在或隐含比为1:
2的线段有:
OH与DGBH或GH与AE或CEBH与DGOH与BG或AE或CEGH与DGEH与PGOE或OG与DP等。
其
中部分比要求连新的线段。
通过以上分析,可以得到下建议:
1、提高学生对几何题的解题信心
要提高学生求解则几何的信心,可将一道几何的解题步骤拆分成小题。
那些有畏难情绪的学生感到可以下手。
将“大题”转化成“小题”做,尽可能会取得突破。
而中考基本上都是将问题分为三到四问题进行,对学生的分析带来了相当大的便利。
2、帮助学生有效使用解题策略
解题策略的提高,首先要学会读题:
有哪些已知条件?
有哪些未知条件?
他们如何沟通?
其次,明确解题目标,将问题的要求明确罗列出来。
最后,在解决问题中,注意进行双向推理,已知条件可以得到哪些结论,求出未知量可以从哪些知识得出。
找出其中的共同点。
最后,感觉无法解决时,反思是否有条件没用上,列式、计算是否正确。
最后,反思自己的解法是否最佳,有无其它的方法,结论或方法能否进行推广,是否可以改变部分条件从而得到新的类似的结论?
最后,提出两个建议。
第一问题中证明全等,用不上连结GEGF.事实上,连结后图形变得复杂,不少学生看到之后有了特别难的感觉,对于证明时标角度也不方便。
建议以后类似的情况,不如多出图形,以方便学生下手。
如下,图形会显得简洁许多,学生想动手的感觉会强烈些。
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第二,如前文分析,要证明或计算有关的线段的比例关系时,尽可能选择比值较为直观、表述相当简练的值。
即方便解答时描述,也会给学生一种感觉,我们会尽理挖掘出生活中更加本质、简洁的存在。
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