完整版有关二次函数的利润最值问题Word下载.docx
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元每月少卖
3
件.设每件商品的售价为
元,每个月的销售量为
(1)求
的函数关系式并直接写出自变量
的取值范围;
(2)设每月的销售利润为
W,请直接写出
W
的函数关系式;
(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
有关二次函数的利润最值问题第1页
4.某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算
次.在
1~12
月份中,
公司前
个月累计获得的总利润
y(万元)与销售时间
x(月)之间满足二次函数关系式
y=a(x﹣h)2+k,
二次函数
y=a(x﹣h)2+k
的一部分图象如图所示,点
A
为抛物线的顶点,且点
A、B、C
的横坐标分别为
4、
10、12,点
A、B
的纵坐标分别为﹣16、20.
(1)试确定函数关系式
y=a(x﹣h)2+k;
(2)分别求出前
9
个月公司累计获得的利润以及
月份一个月内所获得的利润;
(3)在前
12
个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?
最多利润是多少万元?
5.某商品的进价为每件
元,售价为每件
如果每件商品的售价每上涨
件(每件售价不能高于
65
元).设每件商品的售价上涨
元(x
为正整数),每个月
的销售利润为
的函数关系式,并直接写出自变量
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
有关二次函数的利润最值问题第2页
6.某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售,现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案
进行销售,以便开拓市场.
若只在甲城市销售,销售价格为
y(元/件)、月销量为
x(件),y
是
的一次函数,如表,
月销量
x(件)
销售价格
y(元/件)
1500
185
2000
180
成本为
元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费
72500
元,设月利润为
甲(元)(利润=销售额﹣
成本﹣广告费).若只在乙城市销售,销售价格为
200
元/件,受各种不确定因素影响,成本为
a
元/件(a
为常数,40≤a≤70),当月销量为
x(件)时,每月还需缴纳
x2元的附加费,设月利润为
乙(元)
(利润=销售额﹣成本﹣附加费).
(1)当
x=1000
时,y
甲=元/件,w
甲=元;
(2)分别求出
甲,W
乙与
间的函数关系式(不必写
的取值范围);
(3)当
为何值时,在甲城市销售的月利润最大?
若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润
的最大值相同,求
的值;
(4)如果某月要将
5000
件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在甲城市还是在乙城市销售
才能使所获月利润较大?
7.某服装店购进一批秋衣,价格为每件
元.物价部门规定其销售单价不高于每件
60
元,不低于每件
元.经市场调查发现:
日销售量
y(件)是销售单价
x(元)的一次函数,且当
x=60
时,y=80;
x=50
时,
y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用
450
(1)求出
的函数关系式,并写出自变量
的取值范围.
(2)求该服装店销售这批秋衣日获利
w(元)与销售单价
x(元)之间的函数关系式.
(3)当销售单价为多少元时,该服装店日获利最大?
最大获利是多少元?
有关二次函数的利润最值问题第3页
8.某水果店购买一批时令水果,在
20
天内销售完毕,店主将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,
y(千克)与销售时间
x(天)之间的函数关系;
如图②,销售单价
p(元/千克)与销售时间
x
(天)之间的函数关系式.
(1)求
关于
和
p
(2)若日销售量不低于
36
千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天?
在此期间销售金额最高是第几天?
9.某机器零件经销商,购进甲型零件
个,其进价为
元,甲型零件有两种售货渠道:
渠道是批发
给其他小型经销商;
B
渠道是零售,零售价为
250
元.该经销商准备用
渠道销售甲型零件所得的全部销
售款购进一批乙型零件,乙型零件的进价为
150
元,零售价为
元.已知该经销商用
渠道销售甲型零
件时,其批发价
y(元/个)与批发个数
x(个)之间的函数关系为
y=﹣x+200.
(1)求该经销商用
渠道销售的甲型零件的销售额
p1(元)与批发个数
x(个)之间的函数关系式;
(2)求零售乙型零件的销售额
p2(元)与批发个数
(3)求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润
w(元)与批发个数
x(个)之间的函数关系式,并
求出当批发多少个甲型零件时,利润最大,最大利润是多少?
10.某水果店新进一种水果,进价为
元/盒,为了摸清行情,决定试营销
天,商家通过这
天的市
场调查发现:
①销售价
y(元/盒)与销售天数
x(天)满足以下关系:
天数
y
1≤x≤5
x+24
6≤x≤10
30
②每天的销售量
p(盒数)与销售天数
关系如图所示.
(1)试求每天的销售量
之间函数关系式;
(2)设水果店的销售利润为
s(元),求销售利润
s(元)与销售天数
x(天)之间的函数关系式,并求出
试营销期间一天的最大利润.
有关二次函数的利润最值问题第4页
有关二次函数利润的最值问题
参考答案与试题解析
一.解答题(共
小题)
1.(2017•高安市一模)某商场将每件进价为
100
件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
之间的函数关系式,并通过画该函数图象的草图,观察其图象的变
化趋势,结合题意写出当
【分析】
1)利润=单件利润×
销售量;
(2)根据利润的计算方法表示出关系式,解方程、画图回答问题.
【解答】解:
(1)若商店经营该商品不降价,则一天可获利润
100×
(100﹣80)
=2000(元);
(3
分)
(2)①依题意得:
(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160(5
即
x2﹣10x+16=0
解得:
x1=2,x2=8(6
经检验:
x1=2,x2=8
都是方程的解,且符合题意,(7
答:
商店经营该商品一天要获利润
元,则每件商品应降价
2
元或
8
元;
(8
②依题意得:
y=(100﹣80﹣x)(100+10x)(9
∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250(10
画草图:
有关二次函数的利润最值问题第5页
观察图象可得:
当
2≤x≤8
时,y≥2160
∴当
时,商店所获利润不少于
元.(13
【点评】本题关键是求出利润的表达式,体现了函数与方程、不等式的关系.
2.(2017•南通一模)某衬衣店将进价为
元售出,平均每
月能售出
这种衬衣售价每上涨
元/件)之间的函数解析
式.
(2)当销售价定为
45
元时,计算月销售量和销售利润.
(3)衬衣店想在月销售量不少于
10000
元,
销售价应定为多少?
1)利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可;
(2)将
x=45
代入求出即可;
y=10000
时,代入求出即可;
(4)利用配方法求出二次函数最值即可得出答案.
(1)由题意可得:
y=(x﹣30)[600﹣10(x﹣40)]
=﹣10x2+1300x﹣30000;
(2)当
时,600﹣10(x﹣40)=550(件),
y=﹣10×
452+1300×
45﹣30000=8250(元);
有关二次函数的利润最值问题第6页
10000=﹣10x2+1300x﹣30000
x1=50,x2=80,
x=80
时,600﹣10(80﹣40)=200<300(不合题意舍去)
故销售价应定为:
(4)y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250,
故当
x=65(元),最大利润为
12250
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,得出
与
的函数关系是解题关键.
3.(2017•山东一模)某商品的进价为每件
元,每个
月可卖出
元但不超过
元每月少
卖
最大的月利润是
多少元?
1)当售价超过
元,则
每个月少卖
件,y=260﹣x,50≤x≤80,当如果售价超过
元后,若再涨价,
则每涨
件,y=420﹣3x,80<x<140,
(2)由利润=(售价﹣成本)×
销售量列出函数关系式,
(3)分别求出两个定义域内函数的最大值,然后作比较.
50≤x≤80
时,y=210﹣(x﹣50),即
y=260﹣x,
80<x<140
时,y=210﹣(80﹣50)﹣3(x﹣80),即
y=420﹣3x.
则
,
有关二次函数的利润最值问题第7页
销售量可以列出函数关系式
w=﹣x2+300x﹣10400(50≤x≤80)
w=﹣3x2+540x﹣16800(80<x<140),
时,w=﹣x2+300x﹣10400,
有最大值,最大值为
7200,
时,w=﹣3x2+540x﹣16800,
x=90
时,有最大值,最大值为
7500,
故售价定为
90
元.利润最大为
7500
【点评】本题主要考查二次函数的应用,应用二次函数解决实际问题比较简单.
4.(2017•利辛县一模)某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情
况每月最后一天结算
月份中,公司前
(万元)与销售时间
y=a(x﹣h)2+k,二次函
数
A、B、
C
4、10、12,点
最多利润是多
少万元?
1)根据题意此抛物线的顶点坐标为(4,﹣16),设出抛物线的顶点式,
把(10,20)代入即可求出
的值,把
的值代入抛物线的顶点式中即可确定出
有关二次函数的利润最值问题第8页
抛物线的解析式;
(2)相邻两个月份的总利润的差即为某月利润.
(3)根据前
个月内所获得的利润减去前
x﹣1
个月内所获得的利润,再减去
16
即可表示出第
个月内所获得的利润,为关于
的一次函数,且为增函数,
得到
取最大为
时,把
x=12
代入即可求出最多的利润.
(1)根据题意可设:
y=a(x﹣4)2﹣16,
x=10
时,y=20,
所以
a(10﹣4)2﹣16=20,解得
a=1,
所求函数关系式为:
y=(x﹣4)2﹣16.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4
x=9
时,y=(9﹣4)2﹣16=9,所以前
个月公司累计获得的利润为
万
又由题意可知,当
时,y=20,而
20﹣9=11,
月份一个月内所获得的利润
11
万元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4
(3)设在前
个月中,第
n
个月该公司一个月内所获得的利润为
s(万元)
则有:
s=(n﹣4)2﹣16﹣[(n﹣1﹣4)2﹣16]=2n﹣9,
因为
s
是关于
的一次函数,且
2>0,s
随着
的增大而增大,
而
的最大值为
12,所以当
n=12
时,s=15,
所以第
月份该公司一个月内所获得的利润最多,最多利润是
15
万元.﹣﹣(4
【点评】本题考查了二次函数的应用,主要考查学生会利用待定系数法求函数的
解析式,灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题,是一道综合题.
5.(2017•高台县模拟)某商品的进价为每件
元,每个月
可卖出
件(每件售
价不能高于
为正整数),每个月的销售
利润为
有关二次函数的利润最值问题第9页
1)根据进价为每件
件,
再根据每件商品的售价每上涨
件和销售利润=件数×
每件
的利润列出关系式,即可得出答案.
(2)根据
(1)得出的函数关系式,再进行配方得出
y=﹣10(x﹣5.5)2+2402.5,
x=5.5
时
有最大值,从而得出答案.
(1)由题意得:
y=(210﹣10x)(50+x﹣40)
=﹣10x2+110x+2100(0<x≤15
且
为整数);
(2)根据
(1)得:
y=﹣10x2+110x+2100,
∵a=﹣10<0,
有最大值
2402.5.
∵0<x≤15,且
为整数,
x=5
时,50+x=55,y=2400(元),
x=6
时,50+x=56,y=2400(元)
∴当售价定为每件
55
或
56
元,每个月的利润最大,最大的月利润是
2400
【点评】本题考查二次函数的实际应用,关键是读懂题意,找出之间的等量关系,
根据每天的利润=一件的利润×
销售件数,建立函数关系式,此题为数学建模题,
借助二次函数解决实际问题.
6.(2017•微山县模拟)某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售,现准备在
甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售,以便开拓市场.
的一次函
数,如表,
W
甲(元)
有关二次函数的利润最值问题第10页
(利润=销售额﹣成本﹣广告费).
若只在乙城市销售,销售价格为
a
元/件(a
x2
元
的附加费,设月利润为
(元)(利润=销售额﹣成本﹣附加费).
乙
=190元/件,w
=67500元;
甲甲
,W
甲乙
若在乙城市销售月利润的最
大值与在甲城市销售月利润的最大值相同,求
件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在
甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大?
1)设
=kx+b,列出方程组即可解决,再根据
w
=x(y﹣50)﹣72500,
求出
的解析式,分别求出
,w
,即可.
甲甲甲
(2)根据利润=销售额﹣成本﹣附加费,即可解决问题.
(3)①x=﹣
,y
最大值=
进行计算即可.②利用公式列出方程即可计
算.
(4)当
x=5000
时,w
=427500,w
=﹣5000a+750000,再列出不等式或方程即
可解决问题.
(1)设
=kx+b,
甲
由题意
,解得
∴y
=﹣x+200,
∴x=1000
=190,
=x(y﹣50)﹣72500=﹣
=67500,
故答案分别为
190,67500.
x2+150x﹣72500,
(2)w
=﹣x2+(200﹣a)x,
有关二次函数的利润最值问题第11页
(3)∵0<x<15000
x=﹣=7500
最大;
由题意得,=,
解得
a1=60,a2=340(不合题意,舍去).所以
a=60.
=﹣5000a+750000,
若
<w
,427500<﹣5000a+750000,解得
a<64.5;
=w
,427500=﹣5000a+750000,解得
a=64.5;
>w
,427500>﹣5000a+750000,解得
a>64.5.
所以,当
40≤a<64.5
时,选择在乙销售;
a=64.5
时,在甲和乙销售都一样;
64.5<a≤70
时,选择在甲销售.
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法,解题的关键
是学会利用二次函数求函数的最值问题,学会利用不等式或方程解决方案问题,
属于中考常考题型.
7.
2017•宁波一模)某服装店购进一批秋衣,价格为每件30
元.物价部门规定
其销售单价不高于每件
元,不低于每件
(件)是销售单价
时,y=100.在
销售过程中,每天还要支付其他费用
x(元)之间的函数
关系式.
1)根据
成一次函数解析式,设为
y=kx+b,把
的两对值代
入求出
k
b
的值,即可确定出
的解析式,并求出
的范围即可;
(2)根据利润=单价×
销售量列出
的二次函数解析式即可;
有关二次函数的利润最值问题第12页
(3)利用二次函数的性质求出
的最大值,以及此时
的值即可.
y=kx+b,根据题意得
k=﹣2,
故
y=﹣2x+200(30≤x≤60);
(2)W=(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2(x﹣65)2+2000;
(3)W=﹣2(x﹣65)2+2000,
∵30≤x≤60,
∴x=60
有最大值为
1950
∴当销售单价为
元时,该服装店日获利最大,为
【点评】此题考查了二次函数的应用,待定系数法求一次函数解析式,以及二次
函数的性质,熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.
8.
2017•新野县一模)某水果店购买一批时令水果,在20
天内销售完毕,店主
将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,日销售量
(天)之间的函数关系;
x(天)之
间的函数关系式.
千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最
佳销售期”共有多少天?
在此期间销售金额最高是第几
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