中考数学圆知识点精讲docWord文档格式.docx

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在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对

应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论１：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：

直径所对的圆周角是直角；

９０°

的圆周角所对的弦是直径。

例1如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长

是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°

，则∠BOC的大小是（）

A、60°

B、45°

C、30°

D、15°

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?

相交于MN?

上的一点P，

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；

若不成立，请说明理由．

M

AC

P

FEA

E

OBN

DBM

NDFC

（1）

（2）

（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等．

解：

（1）AB=CD

理由：

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系为什么

BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，?

只要连结AD

证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

A

BD=CD

理由是：

知识点四、圆与三角形的关系

O

C

D

B

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：

经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：

三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆：

与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心：

三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉

地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C?

为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?

要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．例2如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°

，

则∠BOC=（

）

A．130°

B

．100°

C．50°

D

．65°

例3如图，Rt△ABC，∠C=90°

，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点

C的距离为（

）．

A．5cmB

．2.5cm

C．3cmD

．4cm

直角三角形外心的位置是斜边的中点

BC

知识点五、直线和圆的位置关系：

相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜r；

反过来，当d＜r时，直线和圆相交。

当直线和圆相切时，d＝r；

反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

当直线和圆相离时，d＞r；

反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切

线的夹角。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°

，∠C=45°

，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切相交相离

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．

（1）CD与⊙O相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°

，BD=10，求⊙O的半径．

（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，?

因为C点

已在圆上．

由已知易得：

∠A=30°

，又由∠DCB=∠A=30°

得：

BC=BD=10解：

知识点六、圆与圆的位置关系

重点：

两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．

难点：

探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．

外离：

两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：

内含：

两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相切：

外切：

两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部

内切：

两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相交：

两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．

外离

d>

r1

+r2

外切

d=r1

相交

│r1

－r2│<

d<

r1+r2

内切

d=│r－r│

1

2

内含

0≤d<

│r－r

│（其中d=0，两圆同心）

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的

肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：

（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少

OA

（1）

（2）

（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距

d=rO+rA；

（?

）?

作

OA

与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．

例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；

（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

y

Ox

知识点七、正多边形和圆

讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?

边长之间的关系．

使学生理解四者：

正多边形半径、中心角、?

弦心距、边长之间的关系．

正多边形的中心：

所有对称轴的交点；

正多边形的半径：

正多边形外接圆的半径。

正多边形的边心距：

正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角：

正多边形每一条边所对的圆心角。

正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?

求正六边形的周长和面积．

要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应

与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM?

中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

ED

FC

AMB

例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为

AB，顶点C在半

圆圆周上，其它两边分别为

6和8，现要建造一个内接于△ABC?

的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，

如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且h

DNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大

hAB

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：

这棵大树是否位于最大矩形

水池的边上如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩

形水池能避开大树．

NF

h

ADGEB

要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?

应用圆的对称性就能圆满解决此题．

知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积

n°

的圆心角所对的弧长

L=nR，扇形面积S扇=n

R2

、圆锥侧面积面积及其它们的应用．

180

360

公式的应用．

1．n°

的圆心角所对的弧长L=nR

2．圆心角为n°

的扇形面积是

S扇形=nR2

3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积

=

rL+r2．

例1．操作与证明：

如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：

正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长

度为定值a．

如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?

分别交于点M、N，连结OA、OD．∵

四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°

，∠MAO=∠NDO，

又∠MON=90°

，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO

∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有

正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

例2．已知扇形的圆心角为120°

，面积为300cm2．

（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少

（1）由S扇形=nR2

求出R，再代入

L=nR求得．

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，?

扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，

?

圆锥母线为腰的等

腰三角形．

考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。

这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算

例1、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．

（1）请写出五个不同类型的正确结论；

（2）若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．解题思路：

运用圆的垂径定理等内容

例2.已知：

如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使

BDAP，连结CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形并说明理由．

（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形为什么

（1）△PDC为等边三角形．

图①

图②

例3.

（1）如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：

过点C作CD切

⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：

CD=CE

（2）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么

（3）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么

本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力．

解答：

（1）证明：

连结OD则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°

（2）CE=CD仍然成立．

（3）CE=CD仍然成立．

考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。

学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

例1、AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若P30o，求B的度数．

运用切线的性质.

OC

QPA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，∴

PAO

90o．

QP

30o，∴

AOP

60o．∴

30o

例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE

CD，垂足为E，DA平分BDE．

（1）求证：

AE是⊙O的切线；

（2）若

DBC

30o，DE1cm，求BD的长．

运用切线的判定

（1）证明：

连接OA，QDA平分

BDE，

BDA

EDA．

QOA

OD，

ODA

OAD．

OAD

OA∥CE．

QAE

DE，

AED

90o，OAE

DEA

AE

OA．

AE是⊙O的切线．

（2）QBD是直径，

BCD

BAD

QDBC

30o，

BDC

60o，

BDE

120o

．

QDA平分

EDA

60o．

ABD

EAD

30o．

在Rt△AED中，

90o，EAD

30o，AD

2DE．

在Rt△ABD中，

90o，ABD

30o，BD

2AD

4DE．

QDE的长是1cm，BD的长是4cm．

考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。

学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。

例1、如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°

.

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面

圆的半径.

（1）法一：

过O作OE⊥AB于E，则AE=1AB=23。

在Rt△AEO中，∠BAC=30°

，cos30°

=AE．

F

∴OA=AE=23=4．

cos303

又∵OA=OB，∴∠ABO=30°

．∴∠BOC=60°

∵AC⊥BD，∴

BC

CD．∴∠COD=∠BOC=60°

．∴∠BOD=120°

∴S阴影=nπOA2

=120g2

16．

π4

π

3

法二：

连结AD．

∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分

BD。

∴AB=AD，BF=FD，BC

CD。

∴∠BAD=2∠BAC=60°

，∴∠BOD=120°

∵BF=1AB=2

3，sin60°

=AF，AF=AB·

sin60°

=43×

3=6。

AB

∴OB=BF+OF．即（23）2

（6OB）2

OB2．∴OB=4．∴S阴影=1S圆=16π。

法三：

连结BC．

∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°

。

∵AB=4

3，∴AC

4

8

cos30

∵∠A=30°

AC⊥BD，∴∠BOC=60°

120

16

∴S

阴影

π。

π·

OA=

×

4·

π=

以下同法一。

（2）设圆锥的底面圆的半径为

r，则周长为2πr，∴2πr

120πg4∴r

4。

例2.如图，从一个直径是

2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为

90o的扇形．

①

②

（1）求这个扇形的面积（结果保留

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与

③

此扇形围成一个圆锥请说明理由．

（3）当⊙O的半径R（R

0）为任意值时，

（2）中的结论是否仍然成立请说明理由．

（1）连接BC，由勾股定理求得：

AC

S

nR2

AO

eO

（2）连接

并延长，与弧

和

交于

nR