最全面专升本高等数学重点知识点汇总文档格式.docx
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(a是常数且
0,a
1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数
正弦函数:
sinx
D(f)
),
f(D)
[
1,1]。
T
余弦函数:
cosx.
,D(f)
正切函数:
tanx.
f(D)
).
{x|x
R,x
(2k1)
k
Z}
余切函数:
cotx.
k,k
Z},
).
5、反三角函数
(1)反正弦函数
arcsinx,D(f)
1,1],
]。
:
f(D)
22
(2)反余弦函数
arccosx,
1,1],f(D)
[0,
]
。
arctanx,D(f)
(3)反正切函数
)。
arccotx,
(4)反余切函数
(0,
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。
简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
(1)利用极限的四则运算法则求极限。
(2)利用等价无穷小量代换求极限。
(3)利用两个重要极限求极限。
(4)利用罗比达法则就极限。
”因此遇到大部分
第2页,共15页
二、函数极限的四则运算法则
A,
设
lim
limvB
,则
(1)lim(uv)
vA
B
(2)lim(u
v)
v
AB
.
推论
lim(C
v)C
v,
(C为常数
(a)
limunx
(limu)nx
(b)
limu
A
(3)lim
0).
n
n1
(4)设P(x)为多项式
,则limP(x)
xx0
P(x0)
P(x)
a0x
a1x
an
Q(x)
Q(x0)
(5)设
P(x),Q(x)均为多项式,
且Q(x)
则
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有:
当
时,
sinx~x
tanx~x
arctanx~x
1
arcsinx~x,ln(1
1~x,1
cosx~
x)~x,e
□
0时,
sin□~□
对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:
似。
,其余类
四、两个重要极限
1。
重要极限I
x0
sin□
□0
它可以用下面更直观的结构式表示:
e。
重要极限II
lim1
第3页,共15页
e
其结构可以表示为:
八、洛必达
(L’Hospital)法则
'
g(x)
g'
(x)
A(或
xa
“”型和“
”型不定式,存在有
)。
一元函数微分学
一、导数的定义
f(x)在点
x在
x0的某一邻域内有定义,当自变量
x0处取得增量
(点
f(x0
f(x0)。
如果当
仍在该邻域内)时,相应地函数
取得增量
x0
0时,函数的增量
x的增量之比的极限
y与自变量
f(x0)
=lim
f(x0)注意两个符号
x和
x0在题目中可能换成其
=
他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
(C为常数)
(1)(C)
(2)(x
)
为任意常数)
(3)(ax)
(e)
lna(a
0,a1)
特殊情况
1logx
cosx
xlna
(log
(x0,a
0,a
1),
(lnx)
(5)(sin
(6)(cosx)
cosx
(7)(tanx)
第4页,共15页
(8)(cotx)
(9)(arcsinx)'
(1x1)
(10)(arccosx)'
1x1)
x2
(arctanx)
(11)
(12)(arccotx)
2、导数的四则运算公式
(1)[u(x)
v(x)]
u(x)
v(x)
(2)[u(x)v(x)]
u(x)v(x)
u(x)v(x)
(3)[ku]
ku
(k为常数)
u(x)
v(x)
(x)v(x)
u(x)v(x)
3、复合函数求导公式:
f(u),
(x),且f(u)
及
(x)
都可导,则复合函数
dy
dx
du
f'
(u).
(x)。
f[
(x)]的导数为
三、导数的应用
(x)
0则f(x)在(a,b)内严格单调增加。
0则f(x)在(a,b)内严格单调减少。
2、函数的极值
0的点——函数
f(x)的驻点。
设为
f(x0)为
(1)若
x0时,
0;
0,则
f
(x)的极大值点。
时,
(2)若
(x)的极小值点。
(x)在
(3)如果
f(x
)不是极值点。
x的两侧的符号相同,那么
3、曲线的凹凸性
第5页,共15页
'
0,则曲线
f(x)在
(a,b)内是凹的。
(a,b)内是凸的。
4、曲线的拐点
(1)当
f(x)的拐点,此时
在x
(x,f(x))为曲线
的左、右两侧异号时,点
f(x0)
0.
(x)在
(2)当
x的左、右两侧同号时,点
(x,f(x))不为曲线
f(x)的拐点。
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
(x)dx,求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、定义,不定积分是求导的逆运算,最后的结果是函数
式来记忆。
2、不定积分的性质
的表达形式。
公式可以用求导公
+C
f(x)dx]'
(1)[
f(x)或df(x)dx
f(x)dx
F'
(x)dx
F(x)
C或
dF(x)
F(x)C
[f(x)
(x)]dx
f(x)dx
(x)dx。
kf(x)dx
k
f(x)dx(
k为常数且k
0)。
2、基本积分公式(要求熟练记忆)
0dx
C
a1
xdx
(a
1)
C.
ln
第6页,共15页
lnaex
adx
(a0,a
exdx
(5)
(6)
sinxdx
cosxdx
(7)
cos2
tanx
(8)
cotx
(9)
sin
arcsinx
(10)
arctanx
3、第一类换元积分法
g(x)dx,将被积表达式g(x)dx凑成
对不定微分
(x)]'
(x)dxf
g(x)dx
(x)d
(x),这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有:
f(ax
b)d(ax
b)
b)dx
ka
f(axk
b)d(axk
2f
xdx
f
(1)
f(ex)
f
(1)d1
xx
(ex)d(ex)
f(lnx)1dx
f(lnx)d(lnx)
f(sinx)
cosxdx
f(sinx)d(sinx)
f(cosx)
f(cosx)d(cosx)
f(tanx)d(tanx)
f(tanx)
f(cotx)d(cotx)
f(cotx)
第7页,共15页
f(arcsinx)d(arcsinx)
f(arcsinx)
x2
f(arccosx)d(arccosx)
(12)
f(arccosx)
f(arctanx)d(arctanx)
(13)
f(arctanx)
(14)
d(ln
(x))
0)
4、分部积分法
udv
uv
vdu
二、定积分公式
F(x)是连续函数
f(x)在区间
[a,b]上的任意一个原函数,
1、(牛顿—莱布尼茨公式)
如果
则有
F(b)
F(a)。
2、计算平面图形的面积
如果某平面图
形是由两条连续曲线
和
x2b
所
y1
g(x),y2
及两条直线
围成的(其中
y1是下面的曲线,
y2是上面的曲线),则
g(x)
其面积可由下式求出:
o
S
g(x)]dx.
3、计算旋转体的体积
f(x)(f(x)
0)和直线
a,x
b(a
b)及x轴所围平
设某立体是由连续曲线
面图形绕
体的体积
x轴旋转一周所形成的旋转体,
如图所示。
则该旋转
V
可由下式求出:
f(x)dx
f(x)dx.
x+dx
多元函数微分学
1、偏导数,对某个变量求导,把其他变量看做常数。
第8页,共15页
2、全微分公式:
dz
df(x,y)
By。
3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果u
(x,y)、v
(x,y)在点
(x,y)处存在连续的偏导数
z
且在对应于(x,y)的点(u,v)处,函数z
f(u,v)存在连续的偏导数
,则复合函数
x及
y的连续偏导数,且
(x,y),
(x,y)]
在点(x,y)处存在对
v。
4、隐函数的导数
y'
对x的导数
对于方程
F(x,y)
0所确定的隐函数
f(x),可以由下列公式求出
:
Fx(x,y)
2、隐函数的偏导数
F(x,y,z)
f(x,y),可用下列公式求偏导数:
对于由方程
Fy(x,y,z)
Fz(x,y,z)
Fx(x,y,z)
Fz(x,y,z)
5、二元函数的极值
f(x0,y0)在点
(x0,y0)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数,且
0,fy(x0,y0)
0又设
xx(x0,y0)
fxy
(x0,y0)
fyy(x0,y0)
fx(x0,y0)
则:
(1)当
0时,函数
AC
f(x,y)在点(x,y
处取得极值,且当
00
0时有极小值。
时有极大值,当
f(x,y)在点(x,y)处无极值。
(3)当
f(x,y)在点(x,y)
处是否有极值不能确定,要用其它方
法另作讨论。
第9页,共15页
平面与直线
1、平面方程
(1)平面的点法式方程:
在空间直角坐标系中,过点
0(x0,y0,z0)
M
,以
{A,B,C}
为
法向量的平面方程为
A(x
x0)
B(yy0)C(z
z0)
称之为平面的点法式方程
(2)平面的一般式方程
Ax
By
Cz
D
0称之为平面的一般式方程
2、特殊的平面方程
表示过原点的平面方程
表示平行于Oz轴的平面方程
表示过Oz轴的平面方程
表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面
A1x
B1y
C1z
D1
A2x
B2y
C2z
D2
平面
A1A2
B1B2
C1C2
1和
2互相垂直的充分必要条件是:
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D2
2平行的充分必要条件是:
2重合的充分必要条件是:
4、直线的方程
(1)直线的标准式方程
过点
s
{m,n,p}的直线方程
且平行于向量
m
yy0
z0
称之为直线的标准式方程(又称点向式方程、对称式方程)
p
常称s
{m,n,p}
为所给直线的方向向量
(2)直线的一般式方程
第10页,共15页
A2x
C2z
称之为直线的一般式方程
5、两直线间关系
设直线
l1,l2的方程为
m1
yy1
n1
zz1
p1
l1:
m2
yy2
n2
z2
p2
n2
直线
l1,l2平行的充分必要条件为
;
l1,l2互相垂直的充分必要条件为
m1m2
n1n2
p1p2
6、直线l
与平面
间的关系
设直线l与平面
的方程为
zz
l:
A(x
B(y
y0)
C(z
直线l与平面
垂直的充分必要条件为:
Am
Bn
Cp
Cp0
平行的充分必要条件为:
Am0
Bno
直线l落在平面
上的充分必要条件为
Am0Bno
将初等函数展开成幂级数
1、定理:
设(x)在U(x0,
)内具有任意阶导数
且
(n1)
()
则在U(x0,
Rn(x)
(x
limRn(x)0
内
(n
1)!
(n)
n!
(x
n0
第11页,共15页
称上式为f(x)在点
f(x)展开为
x0的泰勒级数。
或称上式为将
x0的幂级数。
2、几个常用的标准展开式
①
1)n
xn
②
xn
③
2n1
④
(2n1)!
x2n
(2n)!
⑤
(1)n
⑥
ln(1
⑦
常微分方程
1、一阶微分方程
(1)可分离变量的微分方程
若一阶微分方程F(x,y,y)
0通过变形后可写成
g(y)dy
f(x)g(y)
或
则称方程F(x,y,y)
0为可分离变量的微分方程
2、、可分离变量微分方程的解
方程g(y)dy
f(x)dx必存在隐式通解
G(y)
C。
其中:
g(y)dy,F(x)
f(x)dx.
即两边取积分。
(2)一阶线性微分方程
1、定义:
方程
P(x)y
称为一阶线性微分方程
(1)非齐次方程——
第12页,共15页
——yP(x)y
(2)齐次方程
2、求解一阶线性微分方程
P(x)dx
(1)先求齐次方程
P(x)y
0的通解:
yCe
其中C为任意常数。
P(x)dx
C换成
u(x)。
即
(2)将齐次通解的
u(x)e
(3)代入非齐次方程
Q(x),
得
P(x)
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