高等数学同济第七版7版下册习题 全解Word文档下载推荐.docx

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^/（^,,17,）Act,=^/（^,,17,）Act,+^/（^,,17,）Act,.

/）（U0,"

l）：

令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf（x,y）i\a=jjf（x,y）da+JJ/（xfy）da.

p,un}V,n；

Sa4.试确定积分区域/），使二重积分][（1-2x2-y2）d«

ly达到最大值.

I）

解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当£

是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

&

5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

（1）Ju+y）2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=

DI）

1所围成；

（2）J（x+7）2如与■，其中积分区域0是由圆周（.r-2）2+（.v-l）2=

t）n

2所围成；

（3）I'

mA；

+y）（lor与!

"

[In（X+y）]2（1（7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为

l）"

（1，0），（1，1），（2,0）;

（4）Jpn（:

r+y）dcr与In（:

t+y）]2fW，其中/）=|（.r,.v）|3，0彡、彡1.

i）i）

解

（1）在积分K域0上，故有

（x+j）3^（x+y）2.

根据二重积分的性质4，可得

J（.r+y）\lrx^J（.\+v）

0D

（2）由于积分区域0位于半平面|（a:

，V）|.V+•、彡11内，故在/）|:

（.f+y）2彡（a+y）3•从『（"

•J（v+＞）：

drr^jj（x+y）\lfr.

（3）由于积分区域D位于条形区域1U，y）|1彡1+7彡2丨内，故知区域/）上的点满足0彡InU+y）彡1，从而有[lnU+y）]2彡lnU+.y）.因此

jj[ln（a:

+y）]2（Jo-^+y）d

（4）由于积分区域/）位于半平面丨（x，y）|.v+y彡e|内，故在Z）上有ln（x+y）彡1，从而：

In（-v+）'

）]2彡In（:

c+）'

）.因此

Jj^1n（.r+y）]2dcr^Jln（x+y）da.

i）a

36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：

（1）/=|^7（文+7）心，其中/）=\（x,y）1,01|；

（2）/=j^sin^sin^do■，其中/）=j（a:

y）|0^^^tt,0^y^tt1;

i）

（3）/=J*（A：

+y+l）d（7,其中/>

={{x,y）|0^x^l,0^j^2[；

it

（4）/=J（x2+4y2+9）do•，其中D=\{x,y）\x2+y2^4|.

解

（1）在积分区域D上，0矣;

<

:

矣1,0英y矣1,从而0矣巧•（*+y）矣2•又£

的面积等于1,因此

（2）在积分区域/）上，0矣sinj:

矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：

sin2y彡1，又0的面积等于tt2,W此

（3）在积分K域"

上有\^x+y+\«

4,/）的而积等于2,因此

（4）W为在积分K域/>

上有0矣;

t2+y2苳4,所以有

9^+4r2+9^4（x2+y2）+9矣25.

34I）的酣枳等于4tt，W此

36tt^[[（x2+4/+9）（Ur^lOO-ir.

二重积分的计算法

.^1.计算下列二甩积分:

（2）l<

3x十2）;

dcr，其中"

是由两坐标轴及直线-X-+v=2听围成的闭区域；

b

（3Jjj（xJ+3x2\+v3）da，其中D=（x,v）0^a:

^1.0^v^1；

u

（4）jjxcas（X+Yjdo■，其中Z>

是顶点分别为（0.0j<

77,0）和（77,77）的三角形闭

区域.

m（1

（x24-V2）d（T=fdxf（X2-hV2）dV

dx

jfh

（2）D可用不等式表示为

于是

2r2-x

3xy+y2]l~xdx=|（4+2x-2x2）dx

20

（3）

（+3x2y+y3）da=d>

（文3+3.r2v+、、）ch.

+xy+v"

jc

di

（4）l）可用不等式表示为

0^V^A：

0^.t^7T.

|a:

cos（jc+y）da=Icos（.v+v）di

[sin（.t+y）]q（）^=Jv（sin2.v-sin.v）<

1xx（\（cos.v—丄（.<

，s2.v）

卜（

1X（-

TTrTX

cos.v-—rus

TT.

2._出枳分ix:

域，斤i卜r）:

v列m分:

（1）J^^do■，其中/）是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；

（2）jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；

（3）JV+'

dcr，其中/）=I（%，）•）||A；

|+|J|^1!

；

（4）|"

U2+/-x）<

lo•，其中D是由直线y:

l、y二xh:

2*所围成的闭区域.

解

（1）0可用不等式表示为

x2^y^J^,0矣x矣1（图10-2）.

（2）

0«

^^/4-y2,-2矣7矣2（图10-3）,

D可用不等式表示为

（3）如阁I（）-4，W=/\U"

2，其中

/>

1=\（x,y）\-x-\^y^Jc+1,-1^a;

^0|,

I）2=\（x,y）|*-1+

因此

Ea3.如果二重积分|/（.r,y）心办的被积函数/（x，v）是两个函数/]（O及）的乘

积，即/（X，y）=f\（x）./“y），积分区域/）={（.V,y）I（1^V^/>

r^,证叫

这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即

|*/|U）-/2（r）flatly=[J/,（.v）（l.v]-[[/：

（>

）^v]-

证Jj./1（x）•.,2（/）dvdV~J[fJ\（v）■./：

t^]l^x*

在上式右端的第一次单枳分f/,（.V）•/2（.V）dv中,./,（A.）1Jfut变招:

、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T

而在这个积分中，由于f/2（y）dy为常数，故又可提到积分号外，从而得到

•f2<

y）^xAy=[|/2（y）dj]-[Jn/,（x）dx]

证毕.

^4.化二重积分

/=Jf（x，y）da

为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域£

>

是:

（1）由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域；

（2）由x轴及半圆周/+y2=r2（y英0）所围成的闭区域；

（3）由直线y=x，；

c=2及双曲线：

k=^-（*>

0）所围成的闭区域；

X

（4）环形闭区域IU，y）|1+y2^4（.

解

（1）直线y=x及抛物线y2=4;

c的交点为（0,0）和（4,4）（图10-6）.于是

fix

/=j[dy^/（*，y）tk.

f（x,y）dy,

（2）将/）用不等式表示'

fyO^y^r2-x2，-r^W/•，于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分：

r

/=J（1文Jf（x,y）（\y；

如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/•，则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分：

dr

x,y）dx.

（3）如图10-7.

条边界曲线两两相交，先求得3个交点为（1,1），2,y和

（2,2）.于是

dy（i_/（^,y）+tlj/（x,y）dx.

|dxj[f（x,y）dy.

注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/）的上、下边界曲线均分别由—个方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分.

需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U,y）的特点.具体例子n]'

见教材下册第144页上的例2.

•\/4

J\xyy）dy+d.vl

（1%

/T

/（A：

y）clr+d.vl

■ya-x2

/（.r,v）d>

-f/（.vVv）dv.

/（.v,v）d.v-f

.\/4-、

/（\,>

）d.v-f

厂、/4-、•'

•I

-v^W"

/（v,y）（l.\.

（4）将D按图10-8（a）和图10-8（1>

）的两种不同方式則分为4块，分別得

图10-8

5.设/U，y）在D上连续，其中/）是由直线;

==所围成的闭区

域，证明

x,r）d.t.

dx|f（x,y）Ay

证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）do•，因而它们相等.

^6.改换下列二次积分的积分次序：

（5）（lx\f{x,y）Ay\

广2fyix-x2

（4）|叫2f{x,y）dy-,

fix/-sinx

（6）IAx\J（x,y）Ay.

JOJ-siny

（2）J）dj|：

f（x,y）dx；

解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;

k）（^，其中o=丨h，y）1°

^^^r-

0^j^I（./>

n|■改写为|Uj）|*矣y矣1，0^^I|（罔10-9）,于是

原式=丄<

ixj/（x,y）dy.

（2）所给一.次枳分等于二'

Ti积分|/U,y）山，.K:

中/）=I|.y2^^<

2y,

0^21.MI）njm为{u’y）I音矣j^7^,0^x在4）（1冬11（>

-I0），W此

原式=J,i\xjy/（x,y）i\y.

（3）所给二次积分等于二重积分.其中D=:

（.v.v）|-V1

-y2^

.V^1

$、飞

V彡1

U

X^J1-y2,0彡>

•彡1;

•又D可表示为：

（JC，）*）丨0彡y彡V1-.r2,-1=（图10-11），因此

f1fV1-X~

原式=J^dxj/（x,v）dy.

（4）所给二次积分等于二重积分其中D=:

（.v.v）'

2-

h

s/lx-x1%\彡.r彡2:

.又D可表示为：

（a:

v）|2-1彡.t•彡1+Y1—v2,0:

（图10-12），故

原式=丄d）jf（x%y）dx.

（5）所给二次积分等于二重积分］|/（.10）（1^,）1:

中/）=1（.v.v）|0^v^

x彡e|•又/）可表示为|（a:

，＞•）|e、彡a•彡e，0彡、彡1i（|劄10-1,故

原式=L（I.、|,./X.、，.、）（l.v.

（6）m1（）-14,将积分|>

域/）丧示为/）,U/）2，其中A）,=jU，、）|arcsin>

^

/（x,y）dx.

广1rir-arcsin>

原式=Idyf（xyy）c\x

JOJarcsin）

tt-arcsiny，0彡y彡1|1,D2=|（.r,y）

一2arcsin,一1彡）'

彡0|.于是

^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;

t=2，y=和;

r轴所围成，它的面密度

/x（.t,v）=x2+y2,求该薄片的质量.

解D如图10-15所示.所求薄片的质

rt

-x+xy

M=jJ/Lt（x9y）dcr=^dyj（x2+y2）dx

Ay

r[+（2”）3+2,

~d\2x

12

|冬|10-15

c\）'

'

ixe|o»

•Y=sinA的反闲数足A=iirrs»

My--1x

足ihy-hinx=sin（tt-x）"

n!

Jtt-x^arcKiny,从ifii得反闲数^

（子•中，TT

tt-iin-Hiny.

8.i|灯|l|四个平而a：

=0，y=0，;

t=I，v=I所闲成的柱休被平面z=0及2.r+3y+z6藏得的立休的体积.

解江力一EJ.它？

？

芪是；

c0:

.S二苎泛7：

省•。

=X.；

0矣二矣

0^；

.€1.了是芒-2x-3:

.F10-]6.g-护不二歹

l=|（6-2j：

-3;

.dxdv=dx6-lx-5•.d'

.

Sa9.求由平面a:

=0,y=0,^+:

，•=］所围成的柱体被平面z=0及拉物面;

c:

，:

.：

=6-:

£

.得的」/.体的体积.

解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D=.0«

^1-：

，.

，顶是曲面Z=f）-<

x2+y2）（^\10-17>

，故体积

V-（I6-^x2+y2）dx（\y

6（1-x）-x2+——f1

广1广1-戈

dx^（6-x~

\1_

6"

*

10-17

m10-18

H.r

这10.求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积.

_2^2

解由=T+'

}'

消去z,得;

c2+y2=2,故所求立体在面上的投影U=6-2x2-j2

区域为

D=|（x,y）|x2+〆矣2|（图10-18）.所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：

V=（6-2x2-y2）dcr—x2+2y2）dcr

l）I）

=JJ（6-3^r2-3y2）da=jj（6-3p2）pdpd0

/-2tt

d0[（6-3p2）pdp=6tt.

注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识•

y11.両出积分区域，把积分J[/（A：

，y）d;

cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区

域D是：

（1）\（xyy）\X2+y2^a2I（a>

0）；

（2）|{xyy）\x2+y2^2^|；

（3）|（x,y）|a2彡x2+y1彡62|，其中0<

a<

6;

（4）j（xyy）|0^j^1-x,0^x1|.

解

（1）如图10-19,在极坐标系中，0=|（p，0）|0彡p彡a，0彡（9彡2tt1，故

^j\x,y）AxAy-jj/（pcos0，psin6）pdpd0

/-2tTr<

l

（1^1/（pcos0，psin0）pAp.

（2）如图10-20,在极坐标系中，

l）=（p,0）

jjy（x，y）dxdy=jj/（pcos0,pain0）pdpdO

-y*y.2coH0

=J,d^j）/（pros0,psin6»

）p<

lp.

（3）如图10-21，在极坐标系中，/）=\（p,6、彡p彡/）,0彡0彡2tt,故

=J/（pcos0,psin0）pdpd0

/-2-it

（id/（pros0,psin0）pdp.

（4）D如图10-22所示.在极坐标系中，直线x

的方程为p

sin0+cos0

—于是

sin6+cos62J

f（x,y）dxdy=jj/（pcos0,psin6）pdpd0n

V

C，in•n«

^/（pcos0,psin6）pdp.

）\

p=b

（r

P=^\

—bl—aVO

jyhx

10-22

图10-21

12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:

（1）丄心丄/（d'

HIv;

2>

/3\

（2）（|.vf/（/r'

+v2）<

l»

:

解

（1）如图10-23，用直线7=*将积分区域£

分成£

1，102两部分：

{（p,0）

（p,e）

l-X,sec6rYrcsc8

原式=[d0[_/（pcos6,psin6）pdp+Ld^l/（pcos0,psind）pdp.

（2）D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;

r=^x（x^0）的方程分别是p=2sec6,6=•^和0=•因此

|（pyO）

0^p^2sece,f^6^f}.

又f（Vx2+y2）=f（p）,于是

f-Yy.2sec0

原式=d0j）/（p）pdp-

（3）D如图1（）-25所示.在极坐标系中，直线；

K=1_x的方程为P=

1，圆;

k=-/l-x2的方程为p=1,因此

sin0+cos6

（p，e）

原式

/（pcos6,psin0）pdp.

（4）/）如图10-26所示.在极坐标系中，直线*=1的方程是/>

=sec心抛物线y=/的方程是psin0=p2c:

os2（9,即p=tan伽e（.0;

从原点到两者的交点的射线是沒=

rTrser0

D=<

（p，6）

7T

JlanO^ec0

原式=[d沒/（pcos6,psin6）pdp.

（"

A

.s/lax

‘A：

+

y2）dj；

rti.v；

（3）[dxi（x2+/）-了dy

（4）d>

（.r2+y2）cIa

解

（1）积分区域D如图10-27所示.在极坐标系中，

0=ip,6）

0^p^2aros0,0^L

r2/*2fl<

OSf）/•j•-*4

原式=ideip2'

pdp=i

4aA[c（、s40（W=4aA

IT

i\0

注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin'

4如和j/,-os^,）^.|M此i己住如下的结果是有益的：

r//-I^-33ITT、j,-/…似

•r了••T"

，n匆I[.偶数，

（2）m10-28,在极坐标系中,

TT

i13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

i

T/-rtsec0

d6»

j）p-pAp=yj^secJ6»

d6>

=-—[sec^tan6+ln（sec6+tand）]46o

=~~[+ln（J2+1）].

o

0^^tanOsec0,0^f）J-

（3）积分区域D如图10-29所示.在极坐标系中，抛物线y=X2的方程是psin沒p:

cos2沒，即p=tan6sec0;

射线y=A；

（:

t彡0）的方程是0=子，故

=\（p,0）

寸:

是

x.|anUnt-r0j

原式=7'

p，lp

tan沒sec.0（\&

=\sec*0]4-y/2-\.

（4）积分区域

[;

（wf,-p^p=f-^r-fa'

114.利用极坐标计算下列各题：

（1）Ife^^da,其中£

是由圆周;

c2+y2=4所围成的闭区域；

（2）|ln（l+x2+/）dCT,其中D是由圆周:

t2+y2=l及坐标轴所围成的在第一

象