模块一 集合与常用逻辑用语Word文档下载推荐.docx

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（2）能判断集合是否相等。

（3）能够正确处理含有字母问题的讨论。

（4）掌握集合的交、并、补的运算和性质。

（5）会用韦恩图（文氏图）表示集合与集合间的关系。

（6）会用数形结合和分类讨论的思想解决有关集合的问题。

（7）能利用互为逆否命题是等价命题来判定有关命题的真假。

（8）能分清命题中的条件和结论，结论要分四种情况说明：

充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件。

（9）理解当p和q互为充要条件时，也称p和q是等价的。

（10）会判断含有一个量词的全称命题或存在性命题的真假，能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

（11）能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学内容。

✧知识导航

✧考点剖析

考点一集合的含义与表示

1.基本概念：

集合、元素；

有限集、无限集；

空集、全集；

符号的使用.

2.集合的表示法：

列举法、描述法、图形表示法.

3.集合元素的特征：

确定性、互异性、无序性.

考点二集合的关系

1.包含关系：

2.等价关系：

考点三集合的运算

1.基本运算

2.运算律：

交换律：

结合律:

分配律:

.

0-1律：

等幂律：

求补律：

A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U

反演律：

CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）

考点四命题及其关系

1、命题的定义：

可以判断真假的语句叫做命题。

2、四种命题的形式：

原命题：

若P则q；

逆命题：

若q则p；

否命题：

若┑P则┑q；

逆否命题：

若┑q则┑p。

3、四种命题的关系

考点五充分条件与必要条件

如果已知p

q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若p

q且q

p,则称p是q的充要条件，记为p⇔q。

考点六简单的逻辑联结词

1、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；

不含有逻辑联结词的命题是简单命题；

由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

2、构成复合命题的形式：

p或q（记作“p∨q”）；

p且q（记作“p∧q”）；

非p（记作“┑q”）。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

考点七全程量词与存在量词

1、常见的全称量词有：

“任意一个”“一切”“每一天”“任给”“所有的”等。

2、常见的存在量词有：

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等。

✧真题演练

======================集合======================

1.【2012北京,1,5分】已知集合A={x∈R|3x+2＞0},B={x∈R|（x+1）（x-3）＞0}.

则A∩B=

A（-

，-1）B（-1，-

）C（-

3）D（3,+

）

举一反三

1.1【2012湖南,1,5分】设集合M={-1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（　　）

A．{0}B．{0，1}C．{-1，1}D．{-1，0，0}

1.2【2011山东,1,5分】设集合 

M={x|x2+x-6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（　　）

A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]

1.3【2011陕西,7,5分】设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|，x∈R}，

则M∩N为（　　）

A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1）D．[0，1]

2.【2011北京,1,5分】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是

A．（-∞,-1]B．[1,+∞）

C．[-1，1]D．（-∞，-1]∪[1，+∞）

2.1【2012天津,11,5分】已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x-m）（x-2）＜0}，且A∩B=（-1，n）．则m=,n=.

2.2【2011辽宁,2,5分】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩C1M=∅，则M∪N=（　　）

A．MB．NC．ID．∅

2.3【2010天津,9,5分】设集合A={x||x-a|＜1，x∈R}，B={x||x-b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（　　）

A．|a+b|≤3B．|a+b|≥3C．|a-b|≤3D．|a-b|≥3

3.【2011北京,8,5分】设

，

.记

为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数

的值域为

A．

B．

C．

D．

3.1【2012江西,1,5分】若集合A={-1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）

A.5B.4C.3D.2

3.2【2006四川,16,4分】非空集合G关于运算⊕满足：

（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，

（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：

①G={非负整数}，⊕为整数的加法．

②G={偶数}，⊕为整数的乘法．

③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．

④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．

⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是．（写出所有“融洽集”的序号）

4.【2010北京,1,5分】集合

则

A、

B、

C、

D、

4.1【2012陕西,1,5分】集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（　　）

A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]

4.2【2011江西,2,5分】若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，

.则A∩B=（　　）

A．{x|-1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}

4.3【2011天津,13,5分】已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B={x∈R|

t∈（0，+∞）}，则集合A∩B=

5.【2008北京,1,5分】已知全集

，集合

，那么集合

等于（　　）

A．

B．

C．

D．

5.1【2012辽宁,1,5分】已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（CUA）∩（CUB）=（　　）

A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3}D．{2，4，6}

5.2【2012山东,2,5分】已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（　　）

A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}

5.3【2008浙江,2,5分】已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤-1}，则（A∩CuB）∪（B∩CuA）=（　　）

A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞-1}D．{x|x＞0或x≤-1}

====================常用逻辑用语====================

6.【2012北京,3,5分】设a，b∈R。

“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.1【2011重庆,2,5分】“x＜-1”是“x2-1＞0”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6.2【2011浙江,7,5分】若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是a＜

”或“b>

”的（　　）

6.3【2011天津,2,5分】设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（　　）

7.【2010北京,6,5分】

为非零向量，“

”是“函数

为一次函数”的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

7.1【2012浙江,3,5分】设a∈R，则“a=1”是“直线l1：

ax+2y-1=0与直线l2：

x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C充分必要条件D既不充分也不必要条件

7.2【2012安徽,6,5分】设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

7.3【2011江西,8,5分】已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（　　）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C充分必要条件D既不充分也不必要条件

8.【2009北京,5,5分】“

”是“

”的（）

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

8.1【2012天津,2,5分】设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（　　）

8.2【2010上海,15,5分】）“x=2kπ+

（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

9.【2008北京,3,5分】“函数

存在反函数”是“函数

在

上为增函数”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

9.1【2012重庆,7,5分】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）

9.2【2012山东,3,5分】设a＞0，a≠1，则“函数f（x）=ax在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2-a）x3在R上是增函数”的（　　）

✧轻松驿站

乌托邦中的数学家

佩雷尔曼是一位天才的数学家。

国际数学家大会宣布，这位俄国人获得了菲尔兹奖，他本人却拒绝出席颁奖礼；

之后，因为证明了庞加莱猜想，按照承诺，克雷研究所要颁发给证明者百万美元奖金，佩雷尔曼又一次拒绝了。

　　佩雷尔曼的传记PerfectRigor，中译把“完美的苛刻”改为“完美的证明”。

作者玛莎·

葛森是个畅销书作家女性、犹太人、女权主义者、莫斯科同性恋人权运动活跃分子。

写这本传记时，葛森没能采访佩雷尔曼本人，她把书的开头部分的重点放在了苏联的数学，分析了苏联数学的幸与不幸数学实在艰涩难解，以至于那些习惯了事事指手画脚的领导人都对数学不感兴趣。

不受领导重视导致的资源匮乏，却造就了苏联让人羡慕的单纯的数学社会，“与真实世界中任何地方的任何体制都不一样：

在这个纯粹的真实价值体制中，学术成就本身就是数学家们的报酬……”

　　读完这本书，只觉得那些在佩雷尔曼成长过程中起到关键作用的女人、同性恋、犹太人栩栩如生，却没感觉到数学的美。

我去问一位年轻数学家，他说，彭加莱猜想、费马大定理的证明，因过于艰涩，对普通人，甚至普通数学家，都远谈不上优美。

　　佩雷尔曼的故事源于一个三十多岁的大龄数学女研究生。

因该女早已过了婚育年龄，导师一度认为，她已下定决心把一生投入到数学中去，甚至自作主张帮她申请了一个研究职位。

就在新的灭绝师太即将诞生之际，该女却拒绝了这个职位，决定结婚生子。

很多年后，女生的儿子长大了，该上五年级了，她带着儿子找到了那位导师，说：

我不能做数学了，这孩子很有天赋，您能不能帮他找个老师？

　　导师给女学生的儿子找了一个很好的奥数教练，教练说服小孩放下小提琴，至此，世界上再也没有能够让这个名叫佩雷尔曼的孩子从数学中分心的事情了。

　　有奥数教练的助力，佩雷尔曼考上了当时的数学实验学校“第239学校”，这是苏联著名数学家、数学教育家柯尔莫哥罗夫一手创办的超常儿童培训学校之一。

　　柯尔莫哥罗夫的数学在二战时发挥过关键作用，所以能得到政府的宽容。

对数学，柯尔莫哥罗夫本人就是个天才，他的教育理念是与苏联当时基于“统一”的教育体制相左的。

苏联的主流教育理念主张让每个人在同一时间、用同样的课本、学习同样的东西；

柯尔莫哥罗夫则倾向于把高中生根据其在数学上的兴趣和能力分成不同的群组，使天分最好、动力最强的学生能够走得更远、进步更快。

　　在柯氏的学校里，学生们学习音乐、诗歌，被带去划船、徒步和滑雪。

他不喜欢学生们被过多灌输马克思主义思想。

这种具有“致命的自由主义特质”的学校像个气泡，抵御住了国家的压力。

　　在数学俱乐部里学习数学是佩雷尔曼的业余爱好。

他不是个行动敏捷的孩子，鞋带老是松开，放弃小提琴后，有段时间迷恋过声乐，但自从听说了阉人歌手的故事，他就再也不喜欢声乐了。

　　他对成绩漠不关心，却迷迷糊糊拿到了一块国际奥数金牌。

　　在当时的苏联，犹太人基本上没机会进入一流大学读书。

佩雷尔曼的母亲从不告诉儿子关于犹太人受歧视的事实，而有奥数金牌的助力，佩雷尔曼也几乎无阻地进入列宁格勒大学数学力学系。

那所大学的校长亚历山德罗夫因支持那些“因意识形态不可靠或身为犹太人而受到抨击的数学家们”而知名。

　　1982年秋，佩雷尔曼大学毕业，顺利升入研究生院。

　　1989年，当佩雷尔曼忙活他的毕业论文时，苏联人民正在观看他们一生中第一次半民主化的选举。

之后，苏联开启大门，佩雷尔曼去美国学习。

他所在的研究所坐落在一座方形混凝土塔楼里，这种楼与俄罗斯之前30年里建造的大楼几乎一个样。

佩雷尔曼喜欢走到布鲁克林外围买纯正俄罗斯口味的黑面包和发酵的牛奶，把那段路当作一种独处和锻炼。

　　直到证明了那个伟大的定理，佩雷尔曼应该一直觉得，苏联体制施加于学者身上的种种不公，以及所有那些意识形态的纷争，与数学没有关系。

　　赢得盛名之后，事情变了。

佩雷尔曼把自认为已经足够的对于庞加莱猜想的证明群发给这个领域的朋友，他觉得已经做完了该做的事儿，然而，事情却并非如此。

大量非数学的事情开始冲击佩雷尔曼的价值观。

数学不再纯洁，它沾染上了政治的卑劣的特征。

　　据葛森推测，之所以不接受菲尔兹奖，是因为佩雷尔曼认为他们并未声明“佩雷尔曼已经证明了庞加莱猜想”，而拒绝百万大奖则是因为他觉得发奖金的克雷研究所反应太慢，没在应该站出来的时刻站出来。

　　2005年夏天，已经回到莫斯科的佩雷尔曼跑到研究所的会计室，质问为什么自己的工资卡上多了8000卢布。

那是苏联数学研究所的惯例，剩余的研究经费会分给实验室人员。

通常，人们知道佩雷尔曼不赞成这个做法，从不让他参与分钱，这次，有人弄错了。

大闹一场之后，佩雷尔曼退还了那笔钱。

半年后，他辞职了，原因不明。

　　据说，辞职时，佩雷尔曼对研究所主任说：

“我对这里的人没有任何不满，但是我没有朋友。

而且无论如何，我对数学已感到失望，想试试去做其他事情了。

”

　　【美】玛莎·

葛森著

来源：

南方人物周刊