平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx
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平方差公式与完全平方公式知识点总结
平方差公式与完全平方公式知识点总结
⑧逆用公式变化,(x-y+z)2-(x+y-z)2
=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
=2x(-2y+2z)
=-4xy+4xz
完全平方公式
活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
例1.已知,,求的值。
例2.已知,,求的值。
解:
∵
∴∴=
∵,∴
例3已知,求的值。
解:
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.
例1计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析:
本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b.
例2计算(-a2+4b)2
分析:
运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)
(二)、注意为使用公式创造条件
例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
分析:
粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:
此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简.
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6计算(2x+y-3)2
解:
原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y.
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7 已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.
四、怎样熟练运用公式:
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化如(3x+5y)(5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化如(-2m-7n)(2m-7n)变为-(2m+7n)(2m-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗?
)
3、数字变化如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如(4m+)(2m-)变为2(2m+)(2m-)后即可用平方差公式进行计算了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1)2·(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1-)(1+)(1-)(1+)×…×(1-)(1+)=××××…××=×=.
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:
a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
如已知m+n=7,mn=-18,求m2+n2,m2-mn+n2的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m2+n2=(m+n)2-2mn=72-2×(-18)=49+36=85,
m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=72-3×(-18)=103.
下列各题,难不倒你吧?
!
1、若a+=5,求
(1)a2+,
(2)(a-)2的值.
2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位数字.
(答案:
1.
(1)23;
(2)21.2.6)
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)=a2±2ab+b2,
(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3.
第一层次──正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
例1计算
(-2x-y)(2x-y).
.
第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
第三层次──活用:
根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.
第四层次──变用:
解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2的值.
解:
∵a+b=9,ab=14,∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2·14)=106,
第五层次──综合后用:
将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合,
可得(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab;
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.
例6计算:
(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:
原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
乘法公式的使用技巧:
①提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
②改变顺序:
运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.
例2、运用乘法公式计算:
(1)()();
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a2-b2=(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得anbn=(ab)n,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、计算:
(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2;
(2)(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
④合理分组:
对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:
(1)(x+y+1)(1-x-y);
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
先提公因式,再用公式
例2.计算:
简析:
通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x的系数成倍数,y的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变为,则可利用乘法公式。
三.先分项,再用公式
例3.计算:
简析:
两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x的系数相同,y的系数互为相反数,符合乘法公式。
进而分析如何将常数进行变化。
若将2分解成4与的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开。
四.先整体展开,再用公式
例4.计算:
简析:
乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开。
六.先用公式,再展开
例6.计算:
简析:
第一个整式可表示为,由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。
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