基于振动频率法的两端固支拉索索力计算实用公式Word文档格式.docx
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目前,拉索内力识别方法主要有直接法和间接法,其中直接法可以直接测量拉索内力如压力传感器法和油压表法;
间接法则通过间接物理量的测试来识别索力,包括频率法和磁通量法。
其中,直接法需要提前安装传感器于拉索锚固点,其造价高,且无法用于未预先安装压力传感器的既有桥梁;
间接法中的磁通量法是一种新技术,目前应用尚不广泛,且成本高[1],若应用于既有桥梁,需要采用其他方法进行标定。
现阶段索力测试以基于振动测试的索力识别方法最为常用,该方法具有简单易操作,成本低等优点。
基于振动频率的拉索索力计算方法主要有两类:
理论计算方法和数值模拟计算方法,其中数值模拟计算方法[2-4]可以准确的反映索结构几何特征和支撑情况等,还能对索结构的几何及边界条件参数进行同步计算,但是,此类方法一般需要工程师有一定有限元理论基础和编程基础,工程上推广应用不方便。
理论计算方法需要建立拉索振动与索力的关系表达式,对于简支边界条件,可以直接由拉索的频率特征方程建立拉索频率-索力的解析表达式。
但对于复杂边界条件,如两端固支,难以求得力-频率关系,这种情况下多采用数值模拟的方法拟合各类实用公式。
如ZuiH等[5]提出的索力计算实用公式,但该公式只能采用一阶或者二阶频率来计算索力,其提出考虑拉索抗弯刚度影响的参数为拉弯比ξ。
MehrabiAB等[6]提出了另外一个实用公式,该公式可以同时考虑拉索垂度效应和抗弯刚度的影响,其不足在于该公式只适用于垂度小于3.1和拉弯比大于50的拉索。
任伟新等[7]提出了采用基频计算索力的实用公式,该公式可以考虑拉索垂度和抗弯刚度的影响。
方志等[8]提出了两端固支拉索采用多阶频率进行索力计算的实用公式,但该公式无法识别拉索的抗弯刚度。
文献[9]在振动微分方程的基础上,提出了可以考虑弹性边界条件和抗弯刚度影响的迭代公式。
文献[10]提出将拉索自由振动解析表达式由若干关键参数来表达。
文献[11]通过引入压杆屈曲函数,提出了1阶和2阶固有振动频率的解析表达式。
文献[12-13]提出可以将两端固支欧拉梁和两端固支拉索等效,其可以采用一样的振型函数,在此基础上提出了该类拉索的索力计算实用公式,但固支欧拉梁的振型函数未考虑轴力的影响,适用范围有限。
综上,以上各类索力计算实用公式都存在一定的不足,如仅能采用基频计算、索力求解过程复杂等。
在实际工程的振动测试中,往往难以获得拉索的基频[14-17],在该类情况下,以上各类实用公式均难以推广应用。
为了解决上述问题本文直接从拉索横向振动方程的通解出发,通过引入边界修正系数,推导出适用于固支边界拉索索力计算的实用公式,该公式与梁理论的索力计算公式一致。
在频率方程数值解的基础上,采用拟合的方式,得到了两端固支拉索的边界条件修正系数表达式,并进行了误差分析。
最后通过有限元数值算例,对本文实用公式的准确性和可靠性进行了验证。
1索力计算实用公式的推导
1.1公式的理论推导
如图1所示的拉索,其横向(y轴)运动方程如下:
式中:
EI、T、h(t)分别为拉索的挠曲刚度、张力和由振动引起的索力的增量;
v(x,t)为由振动引起的y方向上的挠度。
当采用二阶以上振型或者拉索垂度较小时,h(t)是T的高阶小量,可以忽略,因此有:
上式可采用分离变量法求解,其通解为:
令:
则式(3)可转换为:
由式(4)~式(8)可得:
联立式(10)和式(11),可解得:
上式即为基于振动频率法的拉索索力计算统一实用公式。
其中:
Ts为基于弦理论计算的拉索索力;
Kn表示修正系数。
实用公式的本质即是根据拉索的刚度对弦理论索力计算公式进行修正。
1.2刚度系数的拟合
当拉索两端为固定边界条件时,频率方程为:
此方程为超越方程,α的值无法直接求得,必须通过数值迭代算法计算。
由牛顿迭代法求解得到的公式(15)的前10组解如图2所示。
将数值迭代得到的α和β的结果代入式(13)和式(14),可以得到Kn-λn关系曲线如图3所示。
由图3曲线特征,可由最小二乘法拟合成二次多项式如下:
经比较,拟合曲线与理论曲线吻合良好,相关系数均高达99%以上。
1.3误差分析
定义计算索力的误差公式如下:
Kthe为K的理论值即图3中的计算值;
Kfit为K的拟合值即由拟合公式(16)计算得到。
由图3可以看出,λmax随着频率阶次的增大而增大,为便于对横坐标进行归一化,定义无量纲参数:
将η作为横坐标,即可以实现横坐标的归一化。
采用各阶模态频率计算的索力与实际索力之间的误差与归一化坐标η之间的关系如图4所示。
由图4可知:
(1)当η≤0.8,n≥2时,ΔT/T≤1%,即采用2阶以上频率计算得到的拉索索力误差小于1%;
(2)当η≤0.95时,采用1阶频率计算得到的拉索索力误差小于3%;
(3)总体而言,本文统一公式的索力识别结果精度较高,只有当η>0.95时索力计算误差才会超过3%;
(4)该统一公式可以采用实测得到的多阶拉索频率来计算拉索的索力,特别适合用于识别拉索的低阶频率无法测量的情况。
大量的既有文献多采用拉弯比ξ来表征拉索截面刚度的影响,本文提出了新的思路,即采用λ和η来表征拉索的综合刚度。
传统的拉弯比ξ的表达式如下:
对于任何阶次的模态频率,ξ与λ也存在如图5所示的对应关系。
由于λ和η又存在式(18)所示的关系,因此可以得到ξ和η之间的关系,如表1所示。
2抗弯刚度的识别
拉索的抗弯刚度对于索力的精确识别具有重要的影响,由于拉索的抗弯刚度与索力计截面特性均有关系,其数值难以准确得到。
在以往的研究中,对于具有两端铰接的拉索,多采用实测得到的任意两阶频率来直接求解拉索的抗弯刚度,但对于具有两端固支边界的拉索,则无法直接求解,需要采用有限元的方法进行数值迭代求解。
采用本文提出的统一实用公式,可以根据实际测量得到的任意两阶拉索频率对其抗弯刚度进行直接求解,其计算方法和过程如下:
对于同一根拉索,其索力是恒定的,因此采用任意一阶频率计算,其索力都是相等的,则有:
将式(25)代入式(23),得:
由此则可以得到抗弯刚度EI,本文方法不需要数值迭代,较传统方法更为方便。
3算例验证
3.1数值算例
为对本文公式进行验证,选取如表2所示的中、短2根拉索进行数值算例分析,拉索的边界条件均为两端固支。
由1.3节的误差分析可知,对于长索,本文公式精度很高,无需验证。
索1和索2的计算索力与真实索力的对比如表3、表4所示。
由表3可知,梁理论公式的误差很大,索力计算误差随着频率阶次的增加逐渐增大。
本文公式的索力计算误差较小,当采用前4阶频率进行索力计算时,计算值与真实值的差异均小于4%。
由表4可知,采用本文公式计算得到的拉索2的索力误差不超过1%。
虽然采用Mehrabi公式[6]计算得到的拉索2的索力误差也都不超过1%,但采用Mehrabi公式计算得到的拉索1的索力误差很大,这表明本文公式的适用范围比Mehrabi公式要广。
假定实测得到了拉索的前1~10阶频率,拉索的抗弯刚度未知,采用第2节提出的方法对其抗弯刚度进行识别。
识别结果如表5所示,由表5可知:
(1)拉索抗弯刚度的识别误差最大为5.5%,大部分识别误差不超过2%,表明本文方法具有很高的精度;
(2)中长索的刚度识别误差大于短索,这主要是因为拉索长度越大,抗弯刚度对索力的影响越小。
3.2实际工程算例
某系杆拱桥布置如图6所示,为单跨外倾式空间异型拱桥,计算跨径90m,矢高21.43m,全桥吊杆共计17对。
限于篇幅,本文仅对其中的上游侧12号吊杆DG12进行分析,吊杆型号为PES7-55,其计算参数为l=22.158m,m=16.6kg/m,吊杆的张拉力为380kN,实测DG12的频谱曲线如图7所示。
由图7可知,对于吊杆DG12,在自然脉动下的加速度信号能够完整的识别出其前9阶自振频率。
该吊杆的抗弯刚度识别结果如表6所示。
由表6可知,采用不同阶次频率识别的吊杆抗弯刚度具有较好的一致性,数值相差不大,可采用其平均值作为抗弯刚度实际值。
表7为不同公式计算得到的吊杆内力,由表7可知,由于DG12的长度较长,拉弯比ξ达到了46.4,各方法的误差都不太大,但相对而言,本文方法的精度最高,文献[8]的次之,而梁理论的误差最大,且随着频率阶次的提高,其索力误差有增大的趋势。
4结论
(1)本文提出了一个固支边界条件拉索的索力计算实用公式,该公式通过在弦理论索力计算公式的基础上乘以修正系数Kn来考虑刚度和边界条件的影响,其表达式简洁,且能够根据实测得到的多阶频率进行拉索内力计算,大大提高了频率法的适用范围,可应用于拉索低阶频率无法测量的情况。
(2)本文公式引入无量纲参数η来表征拉索的抗弯刚度影响,与传统方法的拉弯比参数ξ不同,η的计算无需预知拉索索力,其只与实测频率有关,在实际操作时,由于拉索索力T本身为之,采用η来表征拉索抗弯刚度影响比拉弯比ξ更为合理。
(3)误差分析表明,当η≤0.95,即对应于ξ≥12.1时,采用1~10阶频率计算得到的索力误差均不超过5%;
当η≤0.88,即对应于ξ≥18.9时,采用实测的前10阶频率计算索力时,其结果误差均小于3%。
尤其是当采用拉索的基频进行索力计算时,当η≤0.95,即对应于ξ≥2.2时,其索力计算误差不超过3%。
(4)采用本文统一实用公式,根据实测得到的多阶拉索自振频率,推导了可用于拉索抗弯刚度计算的显式公式,该公式通过求解一元二次方程直接得到,精度可靠,可推广于实际工程。
(5)通过数值算例和实际工程案例对本文公式的正确性和有效性进行了验证。
对比结果表明,该实用公式能够同时对拉索索力和抗弯刚度进行准确的识别,相比于既有的索力计算实用公式,本文公式具有更高的精度。
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