第四章 451 函数的零点与方程的解Word下载.docx
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(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
解
(1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍);
当x>
0时,令-2+lnx=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=
的零点为-3和e2.
(2)由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a.
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,解得x=0或x=-
.
所以函数g(x)的零点为0和-
反思感悟 探究函数零点的两种求法
(1)代数法:
求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:
与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪训练1 求下列函数的零点:
(1)f(x)=(lgx)2-lgx;
(2)f(x)=x3-2x2-x+2.
解
(1)令(lgx)2-lgx=0,则lgx(lgx-1)=0,
∴lgx=0或lgx=1,∴x=1或x=10,
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3-2x2-x+2=0,
得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)
=(x-2)(x+1)(x-1)=0,
解得x=-1或x=1或x=2,
∴函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.
二、零点的个数问题
例2 判断下列函数零点的个数.
(1)f(x)=x2-
x+
;
(2)f(x)=lnx+x2-3.
解
(1)由f(x)=0,即x2-
=0,
得Δ=
2-4×
=-
<
0,
所以方程x2-
=0没有实数根,
即f(x)零点的个数为0.
(2)方法一 函数对应的方程为lnx+x2-3=0,
所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).
由图象知,函数y=3-x2与y=lnx的图象只有一个交点.
从而方程lnx+x2-3=0有一个根,
即函数y=lnx+x2-3有一个零点.
方法二 由于f
(1)=ln1+12-3=-2<
f
(2)=ln2+22-3=ln2+1>
所以f
(1)·
f
(2)<
又f(x)=lnx+x2-3的图象在(1,2)上是连续的,
所以f(x)在(1,2)上必有一个零点,
又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个.
反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
跟踪训练2 已知函数f(x)=
和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是________.
答案 3
解析 作出g(x)与f(x)的图象如图,
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,即h(x)有3个零点.
三、判断零点所在的区间
例3
(1)f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
答案 C
解析 方法一 ∵f(0)=-1<
0,f
(1)=e-1>
0,f(x)为R上的连续函数,
∴f(x)在(0,1)内有零点.
方法二 ex+x-2=0,即ex=2-x,
∴原函数的零点所在区间即为函数y=ex和y=2-x的图象交点的横坐标所在的区间.
如图,
由图象可得函数y=ex和y=2-x的图象交点所在的区间为(0,1).
(2)由表格中的数据,可以断定方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是( )
x
1
2
3
4
ex
2.72
7.39
20.09
54.60
3x+2
5
8
11
14
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
解析 设f(x)=ex-3x-2,f(x)为R上的连续函数,由题表知,f(0),f
(1),f
(2)均为负值,f(3),f(4)均为正值,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3).
反思感悟 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法:
当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·
0.若f(a)·
0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:
通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练3 若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于( )
A.-2B.1
C.-2或1D.0
解析 由题意知,x≠0,则原方程即为lg(x+2)=
,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=
的图象,如图所示,
由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上
,
所以k=-2或k=1.
根据零点情况求参数范围
典例 函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围.
解 由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,
所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点,
画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示,
观察图象可知,0<
a-1<
1,所以1<
a<
2.
[素养提升] 函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标,也可转化成两函数交点的横坐标,这样就建立了数与形的联系,利用函数图象描述问题,充分体现直观想象的数学核心素养.
1.函数f(x)=log2x的零点是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 A
解析 令f(x)=log2x=0,解得x=1.
2.函数f(x)=2x-
的零点所在的区间是( )
A.(1,+∞)B.
C.
D.
答案 B
解析 易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由f(x)=2x-
,得f
=
-2<
f
(1)=2-1=1>
0,∴f
·
f
(1)<
∴零点所在区间为
3.对于函数f(x),若f(-1)·
f(3)<
0,则( )
A.方程f(x)=0一定有一实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实根
D.方程f(x)=0可能无实数解
答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管f(-1)·
0,但方程f(x)=0在(-1,3)上可能无实数解.
4.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有________个.
解析 ∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10)
=(x-1)(x+5)(x-2),
∴由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.
5.若
是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点是________.
答案 1
解析 由f
=2×
-
a+3=0得a=5,
则f(x)=2x2-5x+3.
令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,
解得x1=
,x2=1,所以f(x)的另一个零点是1.
1.知识清单:
(1)函数的零点定义.
(2)函数零点存在定理.
2.方法归纳:
转化法、数形结合法.
3.常见误区:
(1)忽视函数零点存在定理的应用条件.
(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化.
1.下列函数不存在零点的是( )
A.y=x-
B.y=
C.y=logax2(a>
0且a≠1)
D.y=
解析 令y=0,得选项A和C中的函数的零点均为1和-1;
B中函数的零点为-
和1;
只有D中函数无零点.
2.函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间( )
A.(5,6)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)
解析 f(3)=log33-8+2×
3=-1<
f(4)=log34-8+2×
4=log34>
又因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以其零点一定位于区间(3,4).
3.已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于( )
A.0B.1C.-1D.不能确定
解析 因为奇函数的图象关于原点对称,
所以若f(x)有三个零点,则其和必为0.
4.已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点为( )
A.
,0B.-2,0
D.0
解析 当x≤1时,令2x-1=0,得x=0.
1时,令1+log2x=0,得x=
(舍).
综上所述,函数f(x)的零点为0.
5.方程x+log3x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,则n等于( )
A.0B.1C.2D.3
解析 设f(x)=x+log3x-3,
则f
(1)=1+log31-3=-2<
f
(2)=2+log32-3=log32-1<
f(3)=3+log33-3=1>
又易知f(x)为单调增函数,
所以方程x+log3x=3的解在(2,3)内,因此n=2.
6.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
答案 -
,-
解析 由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2,3,
∴
即a=5,b=-6,
∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-
即为函数g(x)的零点.
7.函数f(x)=x2-2x在R上的零点个数是________.
解析 函数f(x)=x2-2x的零点个数,等价于函数y=2x,y=x2的图象交点个数.如图,画出函数y=2x,y=x2的大致图象.
由图象可知有3个交点,即f(x)=x2-2x有3个零点.
8.若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是________.
答案 0
解析 ∵ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac,b2=ac,且abc≠0,
∴Δ=-3b2<
0,∴方程ax2+bx+c=0无实根.
∴函数f(x)=ax2+bx+c无零点.
9.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出其零点.
(1)f(x)=-x2+2x-1;
(2)f(x)=x4-x2;
(3)f(x)=4x+5;
(4)f(x)=log3(x+1).
解
(1)令-x2+2x-1=0,解得x1=x2=1,
所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1.
(2)令f(x)=x2(x-1)(x+1)=0,
解得x=0或x=1或x=-1,
故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1.
(3)令4x+5=0,则4x=-5,
因为4x>
0,-5<
0,所以方程4x+5=0无实数解.
所以函数f(x)=4x+5不存在零点.
(4)令log3(x+1)=0,解得x=0,
所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0.
10.已知函数f(x)=2a·
4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,f(x)=2·
令f(x)=0,即2·
(2x)2-2x-1=0,
解得2x=1或2x=-
(舍去).
∴x=0,∴函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点,则方程2a·
4x-2x-1=0有解,
于是2a=
x,
令
x=t,则g(t)=t+t2=
2-
∵t>
∴g(t)在(0,+∞)上单调递增,其值域为(0,+∞),
∴2a>
0,即a的取值范围是(0,+∞).
11.若函数y=
|x-1|+m有零点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,0)D.(0,+∞)
解析 因为函数y=
|x-1|+m有零点,
所以方程
|x-1|+m=0有解,
即方程
|x-1|=-m有解,
因为|x-1|≥0,
所以0<
|x-1|≤1,即0<
-m≤1,
因此-1≤m<
12.函数f(x)=ax2+bx+c,若f
(1)>
0,f
(2)<
0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A.至多有一个B.有两个
C.有且仅有一个D.一个也没有
解析 若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,
由f
(1)·
0得零点只有一个;
若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,
若f(x)在(1,2)上有两个零点,
则必有f
(1)·
f
(2)>
0,与已知矛盾.
若f(x)在(1,2)上没有零点,
f
(2)≥0,与已知矛盾.
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.
13.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是________.
答案 (0,4)
解析 由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,
作出函数y=|x2-4x|的图象,
则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<
4.
14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是________.
答案 a<
b<
c
解析 画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示,
观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<
c.
15.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )
B.[-1,0]
C.(-∞,-2]D.
解析 由题意可得函数y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,函数图象的对称轴为直线x=
所以函数的最小值为-
-m.
当x=0时,y=4-m,当x=3时,y=-2-m<
4-m,
所以-
-m<
0≤-2-m,
解得-
m≤-2.
16.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值;
(3)若f(x)=0有两个根,且一个根大于2,一个根小于2,求实数m的取值范围.
解
(1)函数有两个零点,
则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,
易知Δ>
0,即4+12(1-m)>
0,可解得m<
由Δ=0,可解得m=
由Δ<
0,可解得m>
故当m<
时,函数有两个零点;
当m=
时,函数有一个零点;
当m>
时,函数无零点.
(2)由题意知0是对应方程的根,
故有1-m=0,可解得m=1.
(3)由题意可得f
(2)>
0,即-7-m>
0,则m<
-7.
故实数m的取值范围为(-∞,-7).
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