北师大版初二下册三角形证明教案资料Word下载.docx
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SAS)AAS)
ASA)
已知两角
找两角的夹边(找任意一边(
【典型例题】
1..用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠∠的依据是()
A.B.
C.D.角平分线上的点到角两边距离相等
2.下列说法中,正确的是()
A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.面积相等的两个三角形全等3.如图,△≌Δ,若∠B=80°
,∠C=30°
,∠=35°
,
则∠的度数为()
A.40°
B.35°
C.30°
D.25°
4.已知:
如图,在△中,H是高和的交点,且=.求证:
=.
5.用三角板可按下面方法画角平分线:
在已知∠的两边上,分别取=(如图5-7),再分别过点M、N作、的垂线,交点为P,画射线,则平分∠,请你说出其中的道理.
图5-7
【巩固练习】
1.下列说法正确的是()
A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等2.如图,在△中,D、E分别是边、上的点,若△≌
△≌△,则∠C的度数为()
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
3.如图,已知△的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△全等的图形是()
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙4.如图4-9,已知Δ≌ΔA'
B'
C'
,、A'
D'
分别是Δ和ΔA'
的角平分线.
(1)请证明=A'
D'
;
(2)把上述结论用文字叙述出来;
(3)你还能得出其他类似的结论吗?
图4-9
5.如图4-10,在△中,∠=90°
,=,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线、,E、F为垂足.
(1)当直线l不与底边相交时,求证:
=+.
图4-10
(2)如图4-11,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边交于点D,请你探究直线l在如下位置时,、、之间的关系.
①>;
②=;
③<.
图4-11
【知识点二:
等腰三角形的判定与性质】
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两底角相等(等边对等角);
②等腰三角形“三线合一”的性质:
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
③等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等.
1..等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()
A.12B.15C.12或15D.18
2..等腰三角形的一个角是80°
,则它顶角的度数是()
A.80°
B.80°
或20°
C.80°
或50°
D.20°
3..已知△中,,6,则腰长x的取值范围是()
A.0<x<3B.x>3C.3<x<6D.x>64.如图,∠43°
,点A在射线上,动点P在射线上滑动,
要使△为等腰三角形,那么满足条件的点P共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,在△中,平分∠,平分∠,过O且平行于,已知△的周长为10,的长为5,求△的周长.
6、如下图,在△中,∠90°
,M是上任意一点(M与A不重合)⊥,交∠的平分线于点D,求证:
.
1.如图,已知直线∥,∠110°
且,则∠A等于()
A.30°
B.40°
C.50°
D.70°
2..下列说法错误的是()
A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D.两个等边三角形全等
3..如图,是一个5×
5的正方形网格,网格中的每个小正方形的边长均为1.点A和点B在小正方形的顶点上.点C也在小正方形的顶点上.若△为等腰三角形,满足条件的C点的个数为()
A.6B.7C.8D.94.如图,在△中,∠和∠的平分线交于点E,过点E作∥交
于M,交于N,若9,则线段的长为()
A.6B.7C.8D.9
5.如图:
E在△的边的延长线上,D点在边上,交于点F,,,过D作∥交于G.求证:
(1)△≌△;
(2)△是等腰三角形.
【知识点三:
等边三角形的判定与性质】
判定:
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形;
三条边都相等的三角形是等边三角形;
三个角都是60°
的三角形是等边三角形;
有两个叫是60°
的三角形是等边三角形.
性质:
等边三角形的三边相等,三个角都是60°
.
1.下列说法中不正确的是()
A.有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B.有一边对应相等的两个等边三角形全等
C.斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
2.如图,在等边△中,∠20°
,,则∠的度数是()
A.10°
B.12.5°
C.15°
3、如右图,已知△和△都是等边三角形,求证:
【变式练习】
1.下列命题:
①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形;
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线;
③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线;
④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,.则∠是∠的()
A.4倍B.3倍
C.2倍D.1倍
3..如图,等边△的周长是9,D是边上的中点,E在的延长线上.若,则的长为.
4..如图,等边△中,点D、E分别为、上的两点,且,连接、交于F点,则∠∠的度数
是()
A.60°
B.110°
C.120°
D.135°
5..如图,已知:
∠30°
,点A1、A2、A3在射线上,点B1、B2、B3在射线上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形,若1=1,则
△A6B6A7的边长为()
A.6B.12C.32D.64
6.如图①,M、N点分别在等边三角形的、边上,且,、交于点Q.
(1)求证:
∠60°
(2)如图②,如果点M、N分别移动到、的延长线上,其它条件不变,
(1)中的结论是否仍然
成立?
若成立,给予证明;
若不成立,说明理由.
7..如图,C为线段上一点(不与点B,D重合),在同侧分别作正三角形和正三角形,与交于一点F,与交于点H,与交于点G.
;
(2)求∠的度数;
(3)求证:
.
【知识点四:
反证法】
反证法:
先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
【基础练习】
1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为()A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数
2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°
时”,反证假设正确的是()
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
3、证明:
在一个三角形中至少有两个角是锐角.
【知识点五:
直角三角形】
1、直角三角形的有关知识.
勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
1、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)如果0,那么0,0;
(4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等
A.6B.4C.3D.2
6..如图,在4×
4正方形网格中,以格点为顶点的△的面积等于3,则点A到边的距离为()
A.3B.22C.4D.3
7..如图,△和△都是等腰直角三角形,A,C,D三点在同一直线上,连接,,并延长交于F.
△≌△;
(2)直线与互相垂直吗?
请证明你的结论.
8..如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△,△的三个顶点均与小正方形的顶点重合.
(1)在图中画△,使△的面积=△的面积(点D在小正方形的顶点上).
(2)请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长.
9..如图,把矩形纸片沿折叠,使点B落在边上的点B′处,点A落在点A′处;
B′;
(2)设,,,试猜想a,b,c之间的一种关系,并给予证明.
1.利用基本尺规作图,下列条件中,不能作出唯一直角三角形的是()
A.已知斜边和一锐角B.已知一直角边和一锐角
C.已知斜边和一直角边D.已知两个锐角
2.在△中,∠90°
,9,12,则点C到的距离是()
3612
A.B.
525
933
C.D.
44
3.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则
最大的正方形E的面积是.
1
4.已知△中,∠90°
,且
2
,则∠A等于()
B.45°
C.60°
D.不能确定
5..已知:
如图,在△中,∠30°
,∠90°
,M、D分别为、的中点.求证:
⊥.
6..如图,在5×
5的方格纸中,每一个小正方形的边长都为1,∠是不是直角?
请说明理由.
7..正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:
(1)在图1中,画△,使△的三边长分别为3、22、5;
(2)在图2中,画△,使△为钝角三角形且面积为2.
【提高练习】
1..如图.矩形纸片中,已知8,折叠纸片使边与对角线重合,点B落在点
F处,折痕为,且3.则的长为()
A.3B.4C.5D.6
2..如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为()
A.4B.6C.16D.55
3..张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n
>1)的代数式表示:
,,;
(2)猜想:
以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.
4.如图,10,∠15°
,⊥于点D,则的长为()
A.3B.4
C.5D.6
n2345
a22-132-142-152-1
b46810
c22+132+142+152+1
5.如图,在△中,∠90°
,∠15°
,的垂直平分线交于E,交于D,8,则.
6..图1、图2分别是10×
8的网格,网格中每个小正方形的边长均为1,A、B两点在小正方形的顶点上,请在图1、图2中各取一点C(点C必须在小正方形的顶点上),使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求:
(1)在图1中画一个△,使△为面积为5的直角三角形;
(2)在图2中画一个△,使△为钝角等腰三角形.
7..已知,如图,△为等边三角形,,、相交于点P.
(2)求∠的度数;
(3)若⊥于Q,6,2,求的长.
【知识点六:
线段的垂直平分线】
线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。
1.如图,在△中,∠90°
,∠30°
.的垂直平分线
交于点D,交于点E,则下列结论不正确的是()
A.B.C.D.∠∠B
2..如图,在△中,分别以点A和点B为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线,交于点D,连接.若△的周长为10,7,则△的
周长为()
A.7B.14C.17D.20
3..三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的()
A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点D.三条角平分线的交点
4..如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()
A.在,两边高线的交点处
B.在,两边中线的交点处
C.在,两边垂直平分线的交点处
D.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
5..如图,为∠的角平分,线段的垂直平分线交于M,交于N,试说明∥.
6..如图所示,△中,,∠120°
,的垂直平分线交于点E,交于点F.求证:
2.
7..如图所示,在△中,∠90°
,,D为边上的中点,⊥于点E,∥交的延长线于点F,求证:
垂直平分.
1..如图,在△中,∠90°
,是的垂直平分线,交
于点D,交于点E.已知∠10°
,则∠C的度数为()
B.40°
D.60°
2..如图,在△中,已知29,的垂直平分线交于点D,交于点E.△的周长等于50,则的长为()
A.2lB.22
C.23D.24
3..如图,在△中,垂直平分,垂直平分,
13,则△的周长为()
A.6.5B.13
C.26D.15
4..已知:
如图,△的∠A>∠,边的垂直平分线分别交,于D,E,则与的关系是()
A.大于B.小于
C.等于D.不能确定
5..如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
你能画图说明吗?
6..如图,在△中,,D是的中点,且⊥,△的周长为8,且-2,求、的长.
1..如图,在△中,垂直平分,分别交、于D、E点.垂直平分,分别交、于M、N点.
(1)若∠100°
,求∠的度数;
(2)若∠70°
(3)若∠α(α≠90)°
,直接写出用α表示∠大小的代数式.
2..如图2,点D为线段与线段的垂直平分线的交点,∠35°
,则∠D等于()
A.50°
B.65°
C.55°
3..如图3,在△中,,,边上的垂直平分线交
、分别于点D、E,则△的周长等于()
A.B.a-bC.2D.2b
4..如图有一块直角三角形纸片,∠90°
,两直角边4,
8,线段垂直平分斜边,则等于()
A.2B.2.5C.3D.3.5
5..如图,∠50°
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