初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路.docx
- 文档编号:2244137
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:173.98KB
初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路.docx
《初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路
证明三角形全等的常见思路
全等三角形是初中几何的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习.而一些初学的同学,虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论,但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等.通过对以下几种证明三角形全的分析,体会常见思路。
知识点睛
全等三角形的性质:
对应角相等,对应边相等,(对应线段相等)对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.
寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.
(3)有公共边的,公共边常是对应边.
(4)有公共角的,公共角常是对应角.
(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.
全等三角形的判定方法:
(1)边角边定理(SAS):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
(2)角边角定理(ASA):
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3)边边边定理(SSS):
三边对应相等的两个三角形全等.
(4)角角边定理(AAS):
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5)斜边、直角边定理(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.证题的思路:
全等三角形的应用:
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.
一、已知一边与其一邻角对应相等
1.证已知角的另一边对应相等,再用SAS证全等.
例1已知:
如图1,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.
求证:
AF=DE.
证明∵BE=CF(已知),∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴AF=DE(全等三角形对应边相等).
2.证已知边的另一邻角对应相等,再用ASA证全等.
例2已知:
如图2,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.
求证:
AE=CE.
证明∵FC∥AB(已知),
∴∠ADE=∠CFE(两直线平行,内错角相等).
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(ASA).
∴AE=CE(全等三角形对应边相等)
3.证已知边的对角对应相等,再用AAS证全等.
例3(同例2).
证明∵FC∥AB(已知),
∴∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等).
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AE=CE(全等三角形对应边相等).
二、已知两边对应相等
1.证两已知边的夹角对应相等,再用SAS证等.
例4已知:
如图3,AD=AE,点D、E在BC上,BD=CE,∠1=∠2.求证:
△ABD≌△ACE
证明∵∠1=∠2(已知),
∠ADB=180°-∠1,
∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),
∴∠ADB=∠AEC,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
2.证第三边对应相等,再用SSS证全等.
例5已知:
如图4,点A、C、B、D在同一直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN.求证:
AM∥CN,BM∥DN.
证明∵AC=BD(已知)
∴AC+BC=BD+BC,即AB=CD.
在△ABM和△CDN中,
∴△ABM≌△CDN(SSS)
∴∠A=∠NCD,∠ABM=∠D(全等三角应角相等),
∴AM∥CN,BM∥DN(同位角相等,两直线平行).
三、已知两角对应相等
1.证两已知角的夹边对应相等,再用ASA证全等.
例6已知:
如图5,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.
求证:
AB=DE,AC=DF.
证明∵FB=CE(已知)
∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴AB=DE,AC=DF(全等三角形对应边相等)
2.证一已知角的对边对应相等,再用AAS证全等.
例7已知:
如图6,AB、CD交于点O,
E、F为AB上两点,OA=OB,OE=OF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.求证:
△ACE≌△BDF.
证明∵OA=OB,OE=OF已知),
∴OA-OE=OB-OF,即AE=BF,
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
四、已知一边与其对角对应相等,则可证另一角对应相等,再利用AAS证全等
例8已知:
如图7,在△ABC中,B、D、E、C在一条直线上,AD=AE,∠B=∠C.求证:
△ABD≌△ACE.
证明∵AD=AE(已知)
∴∠1=∠2(等边对等角),
∵∠ADB=∠180°-∠1,
∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),
∴∠ADB=∠AEC,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(AAS).
全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
△ABC中,AD是BC边中线
方式1:
直接倍长
(图1):
延长AD到E,使DE=AD,连接BE
方式2:
间接倍长
1)(图2)作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE
2)(图3)延长MD到N,使DN=MD,连接CD
【经典例题】
1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,
则中线AD的取值范围是_________.
(提示:
画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边)
例2:
已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,
E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF.
求证:
BD=CE
(提示:
方法1:
过D作DG∥AE交BC于G,证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2:
过E作EG∥AB交BC的延长线于G,证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3:
过D作DG⊥BC于G,过E作EH⊥BC的延长线于H,证明ΔBDG≌ΔECH)
例3、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
变式:
如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F.求证:
(提示:
方法1:
在DA上截取DG=BD,连结EG、FG,证明ΔBDE≌ΔGDE
ΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边
方法2:
倍长ED至H,连结CH、FH,证明FH=EF、CH=BE,利用三角形两边之和大于第三边)
例4:
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
(提示:
方法1:
倍长AD至G,连接BG,证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。
方法2:
倍长ED.试一试,怎么证明?
)
例5、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,
求证:
AD平分∠BAE.
(提示:
倍长AE至M,连接DM)
变式一:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,
求证:
∠C=∠BAE
提示:
倍长AE至F,连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE(SAS),进而证明ΔADF≌ΔADC(SAS)
变式二:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,
求证:
2AE=AC。
(提示:
借鉴变式一的方法)
例6:
已知:
如图,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分
提示:
方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H,连结CH
练习
1、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF
之间的数量关系,并证明你的结论
提示:
延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF,所以AB=AF+FC
2、已知:
如图,ABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证:
CT=BE.
提示:
过T作TN⊥AB于N,证明ΔBTN≌ΔECD
3、在△ABC中,AD平分∠BAC,CM⊥AD于M,
若AB=AD,求证:
2AM=AC+AB。
4、△ABC中,AD是边BC上的中线,DA⊥AC于点A,∠BAC=120°,
求证:
AB=2BC.
5、如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,
点M为BC的中点,求证:
DE=2AM
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法
例1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,
求证:
CD⊥AC
例2、如图,AD∥BC,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA,
CD过点E,求证;AB=AD+BC
例3、如图,已知在内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
例4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,
BD平分,求证:
例5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,
P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
例6、已知中,,、分别平分和,、交于点,试判断、、的数量关系,
并加以证明.
例7、如图,点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外),作,射线与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系?
变式练习:
如图,点为正方形的边上任意一点,且与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系?
例8、如图所示.已知正方形ABCD中,
M为CD的中点,E为MC上一点,
且∠BAE=2∠DAM.求证:
AE=BC+CE.
例9、已知:
如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.
求证:
BE+DF=AE.
例10、如图所示,是边长为2的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长.
变式练习
如图所示,是边长为4的正三角形,是顶角
为的等腰三角形,以为顶点作一个的,
点、分别在、上,求的周长.
例11、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,
∠ABC+∠AED=180°,求证:
DA平分∠CDE
例12、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是AB上一个动点,若∠B=600,AB=BC,且∠DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。
三角形综合练习题
一、选择题
1.下列条件中,不能判定△ABC≌△DEF的是()
A.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF
B.∠A=∠D,AB=DE,BC=EF
C.AB=DE,∠A=∠D=80°,∠B=60°,∠F=40°
D.∠C=∠F=90°,AB=DE,BC=EF
2.AD是△ABC的角平分线,从D向AB、AC两边作垂线,垂足分别为E、F,那么下列结论中错误的是()
A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF
3.如图2,AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,AB=BC,E为BC的中点,且AE⊥BD于F,若CD=4cm,则AB的长度为()
A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm
4..如图3,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 年级 数学 第一 单元 全等 三角形 证明 基本思路