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一.对数函数的概念
1.定义:
函数的反函数叫做对数函数.
由于定义就是从反函数角度给出的,所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?
最初步的认识是什么?
教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识,从而找出对数函数的定义域为,对数函数的值域为,且底数就是指数函数中的,故有着相同的限制条件.
在此基础上,我们将一起来研究对数函数的图像与性质.
二.对数函数的图像与性质(板书)
1.作图方法
提问学生打算用什么方法来画函数图像?
学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系,利用图像变换法画图.同时教师也应指出用列表描点法也是可以的,让学生从中选出一种,最终确定用图像变换法画图.
由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型,故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和,并分别以和为例画图.
具体操作时,要求学生做到:
(1)指数函数和的图像要尽量准确(关键点的位置,图像的变化趋势等).
(2)画出直线.
(3)的图像在翻折时先将特殊点对称点找到,变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴,而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折,在左侧的先翻,然后再翻在右侧的部分.
学生在笔记本完成具体操作,教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍,画出
和的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图:
2.草图.
教师画完图后再利用投影仪将
和的图像画在同一坐标系内,如图:
然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)
3.性质
(1)定义域:
(2)值域:
由以上两条可说明图像位于轴的右侧.
(3)截距:
令得,即在轴上的截距为1,与轴无交点即以轴为渐近线.
(4)奇偶性:
既不是奇函数也不是偶函数,即它不关于原点对称,也不关于轴对称.
(5)单调性:
与有关.当时,在上是增函数.即图像是上升的
当时,在上是减函数,即图像是下降的.
之后可以追问学生有没有最大值和最小值,当得到否定答案时,可以再问能否看待何时函数值为正?
学生看着图可以答出应有两种情况:
当时,有;
当时,有.
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法:
当底数与真数在1的同侧时函数值为正,当底数与真数在1的两侧时,函数值为负,并把它当作第(6)条性质板书记下来.
最后教师在总结时,强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)
对图像和性质有了一定的了解后,一起来看看它们的应用.
三.简单应用
(板书)
1.研究相关函数的性质
例1.
求下列函数的定义域:
(1)
(2)
(3)
先由学生依次列出相应的不等式,其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.
2.利用单调性比较大小(板书)
例2.
比较下列各组数的大小
(1)与;
(2)与;
(3)与;
(4)与.
让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同,故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.
三.巩固练习
练习:
若,求的取值范围.
四.小结
五.作业略
板书设计
2.8对数函数
一.概念
1.
定义
2.认识
二.图像与性质
1.作图方法
2.草图
图1
图2
3.性质
(1)
定义域
(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)单调性
三.应用
1.相关函数的研究
例1
例2
练习
探究活动
(1)已知是函数的反函数,且都有意义.
①求;
②试比较与4的大小,并说明理由.
(2)设常数则当满足什么关系时,的解集为
答案:
(1)①;
②当时,
(2).
4.10正切函数的图象和性质第一课时
(一)教学具准备
直尺、投影仪.
(二)教学目标
1.会用“正切线”和“单移法”作函数的简图.
2.掌握正切函数的性质及其应用.
(三)教学过程
1.设置情境
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好研究其性质,我们首先讨论的作图.
2.探索研究
师:
请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出图像的.
生:
在单位圆上取终边为(弧度)的角,作出其正弦线,设,在直角坐标系下作点,则点即为图像上一点.
这位同学讲得非常好,本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图像.
(1)用正切线作正切函数图像
首先我们分析一下正切函数是否为周期函数?
∵
∴是周期函数,是它的一个周期.
对,我们还可以证明,是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,下面我们利用正切线画出函数,的图像.
作法如下:
①作直角坐标系,并在直角坐标系轴左侧作单位圆.
②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线.
③找横坐标(把轴上到这一段分成8等份).
④找纵坐标,正切线平移.
⑤连线.
图1
根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数,且()的图像,并把它叫做正切曲线(如图1).
图2
(2)正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:
定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.
①定义域:
②值域
由正切曲线可以看出,当小于()且无限亲近于时,无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作(读作趋向于正无穷大);
当大于且无限接近于,无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作(读作趋向于负无穷大).这就是说,可以取任何实数值,但没有最大值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集.
③周期性
正切函数是周期函数,周期是.
④奇偶性
∵,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点对称.
⑤单调性
由正切曲线图像可知:
正切函数在开区间(,),内都是增函数.
(3)例题分析
【例1】求函数的定义域.
解:
令,那么函数的定义域是
由
,可得
所以函数的定义域是
【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:
(2)与.
(1)∵
又
∵,在上是增函数
∴
(2)∵
∵,函数,是增函数,
∴
即.
说明:
比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内,利用的单调递增性来解决.
3.演练反馈(投影)
(1)直线(为常数)与正切曲线(为常数且)相交的相邻两点间的距离是(
)
A. B. C. D.与值有关
(2)是的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角集合
① ②
参考答案:
(1)C.注:
与相邻两点之间距离即为周期长
(2)D.注:
由,但,反之,但
(3)①
②
4.总结提炼
(1)的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
(2)性质.
定义域
值域
周期
奇偶性
单调增区间
对称中心
渐近线方程
奇函数
,
(四)板书设计
课题……
1.用正切线作正切函数图像
2.正切函数的性质
例1
演练反馈
总结提炼
1.理解引入大于角和负角的意义.
2.理解并掌握正、负、零角的定义.
3.掌握终边相同角的表示法.
4.理解象限角的概念、意义及其表示方法.
重点难点
1.理解并掌握正、负、零角的定义.
2.掌握终边相同角的表示法.
直尺、投影仪
教学过程
设置实例
(1)用扳手拧螺母(课件);
(2)跳水运动员身体旋转(视频).说明旋转第二周、第三周……,则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握~角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法.
(1)正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置,绕着它的端点,按逆时针方向旋转转到形成的角规定为正角,如图中角;
把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角,如图中的;
射线没作任何旋转时,我们认为它这时也形成了一个角,并把这个角规定为零角,与初中所学角概念一样,、,点分别叫该角的始边、终边、角顶点.
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合,角的始边在轴的正半轴上,这时,角的终边落在第几象限,就称这个角是第几象限角,特别地,如果角的终边落在坐标轴上,就说该角不属于任何象限,习惯上称其为轴上角.
③我们作出,及三个角,易知,它们的终边相同。
还可以看出,,的终边也是与角终边重合的,而且可以理解,与角终边相同的角,连同在内,可以构成一个集合,记作.一般地,我们把所有与角终边相同的角,连同角在内的一切角,记成,或写成集合形式.
(2)例题分析
【例1】在~间,找出与列列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角
(1);
(2);
(3).
解:
∴与角终边相同的角是角,它是第三象限的角;
∴与终边相同的角是,它是第四象限的角;
(3)
所以与角终边相同的角是,它是第二象限角.
总结:
草式写在草稿纸上,正的角度除以,按通常除去进行;
负的角度除以,商是负数,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值.
(学生板演,可用投影给题)
(1)一角为,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.
(2)集合中,各角的终边都在(
A.轴正半轴上,
B.轴正半轴上,
C.轴或轴上,
D.轴正半轴或轴正半轴上
解答:
(1)
(2)C
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来:
(1);
(1)
中适合的元素是
(2)
满足条件的元素是
中适合元素是
与角终边相同的角,连同在内可记为,这里
(2)是任意角;
(3)与之间是“+”连接,如应看做;
(4)终边相同角不一定相等,但相等的角终边必相同,终边相同的角有无数个,它们彼此相差的整数倍;
(5)检查两角,终边是否相同,只要看是否为整数.
(学生口答:
用投影给出题)
(1)请用集合表示下列各角.
①~间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于角.
(2)分别写出:
①终边落在轴负半轴上的角的集合;
②终边落在轴上的角的集合;
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;
④终边落在四象限角平分线上的角的集合.
解答
(1)①;
②;
③;
④
(2)①;
④.
第一象限角未必是锐角,小于的角不一定是锐角,~间的角,根据课本约定它包括,但不包含.
【例3】用集合表示:
(1)第三象限角的集合.
(2)终边落在轴右侧的角的集合.
(1)在~中,第三象限角范围为,而与每个角终边相同的角可记为,,故该范围中每个角适合,,故第三象限角集合为.
(2)在~中,轴右侧的角可记为,同样把该范围“旋转”后,得,,故轴右侧角的集合为.
一个角按顺、逆时针旋转()后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转()角后,所得“区间”仍与原区间重叠.
3.练习反馈
(1)与的终边相同且绝对值最小的角是______________.
(2)若角与角的终边重合,则与的关系是___________,若角与角的终边在一条直线上,则与的关系是____________.
(3)若是第四象限角,则是(
).
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角
D.第四象限角
(1);
(2),,;
(3)C
4.总结提炼
判断一个角是第几象限角,只要把改写成,,那么在第几象限,就是第几象限角,若角与角适合关系:
,,则、终边相同;
若角与适合关系:
,,则、终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系,可首先把它们化为:
,这种模式(),然后只要考查的相关问题即可.另外,数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
课时作业
1.在到范围内,找出与下列各角终边相同角,并指出它们是哪个象限角
(1)
(2) (3) (4)
2.写出终边在轴上的角的集合(用~的角表示)
3.写出与终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式的元素写出来.
4.时针走过3小时20分,则分钟所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.
5.写出终边在直线上的角的集合,并给出集合中介于和之间的角.
6.角是~中的一个角,若角与角有相同始边,且又有相同终边,则角.
1.
(1)
(2)
(3)
(4)
2.
3.,或
4.,
5.,或
6.
函数初步应用
1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题.
2.通过对实际问题的研究,培养学生分析问题,解决问题的能力
3.通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的意识,及学习数学的兴趣.
重点是应用问题的阅读分析和解决.
难点是根据实际问题建立相应的数学模型
师生互动式
一.
提出问题
数学来自生活,又应用于生活和生产实践.而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识,数学思想与方法.如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用.今天我们就一起来探讨几个应用问题.
问题一:
如图,△是边长为2的正三角形,这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为,求函数的解析式及定义域.(板书)
(作为应用问题由于学生是初次研究,所以可先选择以数学知识为背景的应用题,让学生研究)
首先由学生自己阅读题目,教师可利用计算机让直线运动起来,观察三角形的变化,由学生提出研究方法.由学生说出由于图形的不同计算方法也不同,应分类讨论.分界点应在,再由另一个学生说出面积的计算方法.
当时,,(采用直接计算的方法)
当时,
.(板书)
(计算第二段时,可以再画一个相应的图形,如图)
综上,有,
此时可以问学生这是什么函数?
定义域应怎样计算?
让学生明确是分段函数的前提条件下,求出定义域为.(板书)
问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤
(1)阅读理解;
(2)建立目标函数;
(3)按要求解决数学问题.
下面我们一起看第二个问题
问题二:
某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划,预计生产总值年平均增长率为,则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比,增长率为多少?
(投影仪打出)
首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题,所以问题转化为已知年增长率为,分别求两个三年计划的总产值.
设1999年总产值为,第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值,它们分别为:
2000年
2003年
2001年
2004年
2002年
2005年
第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值
=++
=.
=.(板书)
第三步计算增长率.
.(板书)
计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题.最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为,其中为基数,为增长率,为时间.所以经常会用到指数函数有关知识加以解决.
总结后再提出最后一个问题
问题三:
一商场批发某种商品的进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促进销售,拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法,试验表明,礼品价格为1元时,销售量可增加10%,且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%.设未赠送礼品时的销售量为件.
(1)写出礼品价值为元时,所获利润(元)关于的函数关系式;
(2)请你设计礼品价值,以使商场获得最大利润.
(为节省时间,应用题都可以用投影仪打出)
题目出来后要求学生认真读题,找出关键量.再引导学生找出与利润相关的量.包括销售量,每件的利润及礼品价值等.让学生思考后,列出销售量的式子.再找学生说出每件商品的利润的表达式,完成第一问的列式计算.
.(板书)
完成第一问后让学生观察解析式的特点,提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的,方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍,教师可适当提示,如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律,若看不出规律,能否把具体计算改进一下,再计算中能体现它是最大?
也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题.最终将问题概括为两个不等式的求解即
(2)若使利润最大应满足
同时成立即解得
当或时,有最大值.
由于这是实际应用问题,在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送,可获的最大利润.
三.小结
通过以上三个应用问题的研究,要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项.
四.作业
略
五.板书设计
2.9函数初步
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- 特殊限制:
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