动力学第12章Word格式文档下载.docx
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刚体作平面运动时,任一瞬时的速度分布可看成绕其速度瞬心作瞬时转动,因此,该瞬时的动能可按式(12-4)进行计算。
取刚体质心C所在的平面图形如图12-1所示,设图形中的点P是某瞬时的瞬心,ω是平面图形转动的角速度,于是,平面运动刚体的动能为
(12-5)
式中,JP是刚体对速度瞬心的转动惯量。
由于速度瞬心P的位置随时间而改变,应用上式进行计算有时不方便,故常采用另一种形式。
图12-1
根据转动惯量的平行轴定理有
式中,m是刚体的质量,d=CP,JC是刚体对于质心的转动惯量。
代入式(12-5),可得
因为vc=dω,故
(12-6)
平面运动刚体动能等于刚体随质心平动动能与绕质心转动动能之和。
第二节
功的概念和计算
力对物体的作用效果可以有各种度量。
力的冲量是力在一段时间内对物体作用效果的度量。
力的功则是力在其作用点所经过的一段路程中对物体的用效果的度量。
一、常力的功
设有一质点M在常力F的作用下沿直线运动,如图12-3所示。
若质点由M1处移至M2的路程为s,则力在路程s中所作的功定义为
(12-7)
图12-3
由上式可知,功是标量,可为正、负或零。
功的量纲为
dimW=[M][L][T]-2·
[L]=[M][L]2[T]-2
在国际单位制中,功的单位为J(焦耳)。
二、变力的功
设有质点M在变力F的作用下沿曲线运动,如图12-4所示。
将曲线M1M2分成无限多个微段ds,在这一段弧长内,力F可视为不变,于是由式(12-7)得到在ds路程中力所作的微小功或称元功为
因为力F的元功不一定能表示为某一函数W的全微分,故采用符号d'
。
变力在曲线M1M2上所作的功等于在此段路程中所有元功的总和,即
图12-4
(12-8)
式中s1和s2分别表示质点在起止位置时的弧坐标。
上式为沿曲线M1M2的线积分,其值一般与路径有关,并可化为坐标积分。
将
代入元功的表达式,得
于是力F在M1M2路程上的功为
(12-9)
上式称为功的解析表达式。
三、合力的功
设质点M受力系
的作用,它的合力为
则质点的合力FR的作用下沿有限曲线M1M2所作的功为
即
(12-10)
作用于质点的合力在任一路程中所作的功,等于各分力在同一路程中所作的功的代数和。
四、常见力的功
1.重力的功
设质量为m的质点M,由M1沿曲线M1M2运动到M2,如图12-5所示。
重力mg在直角坐标轴上的投影为
Fx=0Fy=0Fz=-mg
代入式(12-9),可得重力在曲线M1M2上的功为
(12-11)
式中h=z1-z2--质点起止位置的高度差。
重力的功等于质点的重量与起止位置间的高度差的乘积,而与质点的运动路径无关。
若质点M下降,h为正值,重力作功为正;
若质点M上升,h为负值,重力作功亦为负。
图12-5
对于质点系,重力作功为
(12-12)
式中m--质点系质量;
h=zC1-zC2--质点系质心起止位置间的高度差。
2.弹性力的功
设质点M与弹簧联结,如图12-6所示,弹簧的自然长度为l0,在弹簧的弹性极限内,弹簧作用于质点的弹性力F的大小与弹簧的变形δ(伸长或压缩)成正比,即
图12-6
式中比例系数k称为弹簧刚度系数。
在国际单位制中,k的单位为N/m,因此,当质点M由弹簧变形为δ1处沿直线运动至变形为δ2处时,弹性力的功
(12-13)
可以证明,当质点的运动轨迹不是直线时,弹性力的功的表达式(12-13)仍然是正确的。
弹性力的功等于弹簧的起始变形与终止变形的平方差和刚度系数的乘积的一半,而与质点运动的路径无关。
3.平动刚体上力的功
当刚体作平动时,刚体内各点的位移都相同,若以质心C的位移drc代表刚体的位移,则刚体从M1点运动到M2点时作用于刚体上力系的功为
(12-14)
式中
为作用于刚体的力系上的主矢。
4.定轴转动刚体上力的功力偶的功
设刚体绕定轴z转动,一力F作用在刚体上M点,如图12-7所示。
将力F分解成三个分力;
平行于z轴的力Fz,沿M点运动轨迹的切向力Fτ和沿径向方向的力Fr。
若刚体转动一微小转角dφ,则M点有一微小位移ds=rdφ,其中r是M点的转动半径。
由于Fz和Fr都不作功。
则力F所作的功等于切向力Fτ所作的功。
故力F在位移ds中的元功为
图12-7
(F)是力F对于转动轴z之矩,即
(12-15)
作用于定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转动轴之矩与刚体微小转角的乘积。
当刚体转过一角度(即有角位移)φ2-φ1时,由式(12-15)可得力F所作的功
(12-16)
若
为常量,则
(12-17)
如果在转动刚体上作用一个力偶,其力偶矩为M,该力偶作用面与转动轴垂直,则力偶对转动轴z的矩为M。
因此,力偶的功可表示为
(12-18)
若力偶矩为常量,则
(12-19)
5.平面运动刚体上力系的功
设平面运动刚体上有一组力系作用,取刚体的质心C为基点,当刚体有无限小位移时,任一力Fi作用点Mi的位移为
其中drC为质心的无限小位移,driC为质点Mi绕质心C的微小转动位移,如图12-8所示。
图12-8
力Fi在点Mi位移上所作的元功为
设刚体无限小转角为dφ,则转动位移drC抬起垂直于直线MiC,大小为MiCdφ,因此,上式后一项
式中θ--力Fi与转动位移
间的夹角;
MC(Fi)--力Fi对质心C的矩。
则力系全部力所作的元功之和为
式中FR--力系主矢;
MC--力系对质心C的主矩。
刚体质心C由C1移到C2,同时,刚体又由φ1转φ2到时,力系作功为
(12-20)
第三节
动能定理
一、质点的动能定理
设有质量为m的质点M在合力F的作用下沿曲线运动,如图12-10所示。
根据动力学第二基本定律有ma=F,将该式投影在切线方向,得
图12-10
即
由于ds=vdt,将上式右端乘以ds,左端乘以vdt后,可得
(12-21)
质点动能的微分,等于作用在质点上的力的元功,这就是微分形式的质点动能定理。
将式(12-21)沿路径M1M2进行积分
得
(12-22)
上式表明,在任一路程中质点动能的变化,等于作用于质点上的力在同一路程中所作的功,这就是积分(有限)形式的质点动能定理。
它说明了机械运动中功和动能相互转化的关系。
从式(12-22)看出,若力作正功则质点的动能增加,即接收能量;
若力作负功,则质点的动能减少,即输出能量,故可用动能
来度量质点因运动而具有的作功能力。
若作用于质点的力为常力或是质点位置坐标的已知函数,而质点的运动路程已知或相反为需求,解这类问题宜用有限形式的质点的动能定理。
二、质点系的动能定理
取质点系内任一质点,质量为mi,速度为vi,作用在该质点上的力为Fi。
根据质点的动能定理的微分形式有
表示作用于这个质点的力所作的元功。
设质点系有n个质点,对于每个质点都可列出一个如上的方程,将n个方程相加,得
或
为质点系的动能,以Ek表示。
于是上式可写成
(12-23)
质点系动能的微分,等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
这就是质点系动能定理的微分形式,对式(12-23)积分,得
(12-24)
式中EK1和EK2分别为质点系在某一段运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能。
质点系在某一段运动过程中,动能的改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
这就是质点系动能定理的积分形式。
三、理想约束
约束反力作功等于零的约束称为理想约束。
如光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索等约束都是理想约束。
光滑铰链、二力杆以及不可伸长的细绳等作为系统内的约束时,也都是理想约束。
如图12-12a所示的铰链,铰链处相互作用的约束力F和F'
是等值反向的,它们在铰链中心的任何位移dr上作功之和都等于零。
又如图12-12b中,跨过光滑定滑轮的细绳对系统中两个质点的拉力F1=F2,如绳索不可伸长,则两端的位移dr1和dr2沿绳索的投影必相等,因而F1和F2二约束力作功之和等于零。
至于图12-12c所示的二力杆对A、B两端的约束力,有F1=F2,两端位移沿AB连线的投影又是相等的,显然约束反力F1、F2作功之和也等于零。
图12-12
一般情况下,滑动摩擦力与物体的相对位移反向,摩擦力作负功,不是理想约束,应用动能定理时要计入摩擦力所作的功。
但当轮子在固定面上只滚不滑时,接触点为瞬心,滑动摩擦力作用点位移为零,此时的滑动摩擦力不作功。
因此,不计滚动摩阻时,纯滚动的接触点是理想约束。
在理想约束条件下,质点系动能的改变只与主动力作功有关,式(12-23)和(12-24)中只需计算主动力所作的功,这对动能定理的应用是非常方便的。
必须注意,作用于质点系的力既有外力,也有内力,在某些情形下,内力虽然等值反向,但所作功的和并不等于零。
以图12-13所示系统中相互吸引的两质点A与B为例,说明如下:
由任意点O作连结A、B两点的矢径rA和rB,则作用于此两点上大小相等方向相反的两力FA和FB的元功各为FA·
drA和FB·
drB,因此元功之和为
由图12-13得知
,考虑到FA和BA的符号,则有
图12-13
可见,当质点系内质点间的距离发生变化时,内力功的总和一般不等于零。
因此当机械系统内部包含发动机或变形元件(如弹簧等)时,内力的功应当考虑。
对于刚体来说,由于任何两点间的距离保持不变,因此,刚体内力的功之和恒等于零。
不可伸长的柔绳、钢索等所有内力作功的和也等于零。
在应用质点系的动能定理时,要根据具体情况仔细分析所有的作用力,以确定它是否作功;
应注意:
理想约束的约束力不作功,而质点系的内力作功之和并不一定等于零。
第四节
功率功率方程机械效率
一、功率
单位时间内力所作的功,称为功率,以P表示。
功率是力作功快慢程度的度量,它是衡量机械性能的一项重要指标。
功率的数学表达式为
因为
,因此功率可写成
(12-25)
式中v--力F作用点的速度。
功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
例如,用机床加工零件时,切削力越大,切削速度越高,则要求机床的功率越大。
每台机床、每部机器能够输出的最大功率是一定的,因此用机床加工时,如果切削力较大,必须选择较小的切削速度,使二者的乘积不超过机床能够输出的最大功率。
又如汽车上坡时,由于需要较大的驱动力,这时驾驶员一般选用低速档,以求在发动机功率一定的条件下,产生最大的驱动力。
作用在转动刚体上的力的功率为
(12-26)
式中Mz--力对转轴z的矩;
ω--角速度。
作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。
功率的量纲为
dimP=[M][L][T]-2·
[L][T]-1=[M][L]2[T]-3
在国际单位制中,功率的单位为W(瓦特),1W=1J/s,1000W=1kW(千瓦)。
二、功率方程
取质点系动能定理的微分形式
,两端除以dt,得
(12-27)
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力的功率的代数和,式(12-27)称为功率方程。
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题。
电场对电机转子作用的力作正功,使转子转动,电场力的功率称为输入功率。
由于皮带传动、齿轮传动和轴承与轴之间都有摩擦,摩擦力作负功,使一部分机械能转化为热能;
传动系统中的零件也会相互碰撞,也要损失一部分功率。
这些功率都取负值,称为无用功率或损耗功率。
车床切削工件时,切削阻力对夹持在车床主轴上的工件作负功,这是车床加工零件必须付出的功率,称为有用功率或输出功率。
每部机器的功率都可分为上述三部分。
在一般情形下,式(12-27)可写成
(12-28)
(12-29)
系统的输入功率等于有用功率、无用功率与系统动能的变化率之和。
三、机械效率
任何一部机器在工作时都需要从外界输入功率,同时由于一些机械能转化为热能、声能等,都将消耗一部分功率。
在工程中,把有效功率(包括克服有用阻力的功率和使系统动能改变的功率)与输入功率的比值称为机器的机械效率,用η表示,即
(12-30)
其中,有效功率=
由上式可知,机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度,它是评定机器质量好坏的指标之一,它与传动方式、制造精度与工作条件有关。
一般机械或机械零件传动的效率可在手册或有关说明书中查到。
显然,
第五节
势力场势能机械能守恒定律
一、势力场
如果质点在某空间中的任一位置,都受到一个大小和方向完全决定于质点位置的力的作用,则这部分空间称为力场。
例如,地球表面附近的空间是重力场;
当质点离地面较远时,质点将受到万有引力的作用,引力的大小和方向也完全决定于质点的位置,所以这部分空间称为万有引力场;
系在弹簧上的质点受到弹簧的弹性力的作用,弹性力的大小和方向也只与质点的位置有关,因而在弹性力所及的空间称为弹性力场。
如果质点在某力场中运动时,作用在质点上的力所作的功与质点路径无关,只取决于质点的初始位置和终止位置,则该力场称为势力场,而质点所受的力称为有势力。
例如:
重力,万有引力及弹性力都是有势力,重力场、万有引力场及弹性力场都是势力场。
二、势能
在势力场中,质点从点M运动到任选的点M0,有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。
用Ep表示,即
(12-31)
点M0的势能等于零,我们称它为零势能点。
在势力场中,势能的大小是相对于零势能点而言的。
零势能点M0可以任意选取,对于不同的零势能点,在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。
下面介绍几种常见的势能。
1.重力场中的势能
在重力场中,取如图12-16所示坐标系。
重力mg在各轴上的投影为
取M0为零势能点,则点M的势能为
(12-32)
图12-16
2.弹性力场中的势能
设弹簧的一端固定,另一端与物体连接,如图12-17所示,弹簧的刚度系数为K。
取点M0为零势能点,则质点M的势能
(12-33)
式中,δ和δ0分别为弹簧在M和M0时的变形量。
如果取弹簧的自然位置为零势能点,则有
,于是得
(12-34)
图12-17
3.万有引力场中的势能
设质量为m1的质点受质量为m2物体的万有引力F作用,如图12-18所示。
取点M0为零势能点,则质点在点M的势能
图12-18
式中f为引力常数,r0是质点的矢径方向的单位矢量。
为矢径增量dr在矢径方向的投影,由图12-18可见,它应等于矢径长度的增量dr,即
设r1是零势能点的矢径,于是有
(12-35)
如果选取的零势能点在无穷远处,即
万有引力作功只取决于质点运动的初始位置M和终止位置M0,与点的轨迹形状无关,万有引力场为势力场。
三、机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。
设质点系在运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能分别为Ek1和Ek2,所受力在这过程中所作的功为W,根据动能定理有
若系统运动中,只有有势力作功,而有势力的功可用势能计算,即
则
(12-36)
质点在势力场内运动时机械能保持不变,这就是机械能守恒定律。
四、有势力在直角坐标轴上的投影与势能的关系
在势力场中,不同位置处的势能值不同,因此,势能是位置坐标的函数。
设有势力F的作用点从点M(x,y,z)移到点M'
(x+dx,y+dy,z+dz),M点处的势能为Ep(x,y,z),而M'
点的势能为Ep(x+dx,y+dy,z+dz),则有势力的元功可用势能的差来计算,即
(12-37)
由微积分知,势能的全微分可写成
代入式(12-37),有
而力F的元功的解析表达式为
比较以上两式,得
(12-38)
有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号。
如果系统有多个有势力,总势能为Ep,则对于作用在点Mi(xi,yi,zi)的有势力Fi,其相应的投影为
(12-39)
第六节
动力学普遍定理的综合应用
动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。
它们从不同侧面阐明了物体机械运动的规律,用不同的物理量反映了质点或质点系运动的改变和作用力的关系,在求解动力学两类问题时,各有其特点。
动量定理(或质心运动定理)建立了动量的变化(或质心运动的变化)与外力系主矢的关系。
它涉及到速度、时间和外力三种量。
对于用时间表示的运动过程,通常使用动量定理求解。
特别是已知运动求约束反力的问题,必须用动量定理(或质心运动定理)求解。
动量矩定理建立了质点系动量矩的变化与外力系主矩的关系。
当质点系绕轴运动时,可考虑使用动量矩定理求解。
如果已知运动,则可使用动量矩定理求解作用线不通过转轴的力。
如果已知外力矩,则可使用动量矩定理求解质点系绕轴(或点)的运动。
动能定理建立了质点系动能的变化与力的功的关系。
它涉及到速度、路程和力三种量。
对于用路程表示的运动过程,当已知力求质点系运动的速度(或角速度)、加速度(或角加速度)时,通常使用动能定理求解较为方便。
此外还要注意各定理的守恒条件。
通过守恒定理直接列出运动量之间的关系。
在领会各定理的特征的同时,还要学会针对具体问题进行受力分析和运动分析,弄清楚问题的性质和条件,再结合各定理所反映的规律,来选择适用的定理。
下面通过具体问题来说明普遍定理的综合应用。
第十二章思考题
·
12-1弹簧由其自然位置拉长10mm或压缩10mm,弹簧力作功是否相等?
拉长10mm和再拉长10mm,这两个过程中位移相等,弹簧性力作功是否相等?
12-2均质圆轮无初速地沿斜面纯滚动,轮心降落高度h而到达水平面,如图12-21所示。
忽略滚动摩擦和空气阻力,问到达水平面时,轮心的速度v与圆轮半径大小是否有关?
当轮半径趋于零时,与质点滑下结果是否一致?
轮半径趋于零,还能只滚不滑吗?
图12-21
12-3均质圆盘绕通过圆盘的质心C而垂直于圆盘平面的轴转动,在圆盘平面内作用一力偶矩为M的力偶,如图12-22所示,问圆盘的动量、动量矩、动能是否守恒?
为什么?
图12-22
12-4试举一例,说明质点系的动量和对固定点的动量矩都等于零,但该质点系的动能却不等于零。
12-5动力学普遍定理都适用于什么坐标系?
当应用于刚体时有哪些特点?
第十二章习题
12-1一刚度系数为k的弹簧,放在倾角为θ的斜面上。
弹簧的上端固定,下端与质量为m的物块A相连,图12-23所示为其平衡位置。
如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s,不计摩擦力,试求作用于重物A上所有力的功的总和。
图12-23
12-2如图12-24所示,在半径为r的卷筒上,作用一力偶矩M=aφ+bφ2,其中φ为转角,a和b为常数。
卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。
设重物B的质量为m,它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。
不计绳索质量。
当卷筒转过两圈时,试求作用于系统上所有力的功的总和。
图12-24
12-3均质杆OA长l,质量为m,绕着球形铰链O的铅垂轴以匀角速度ω转动,如图12-25所示。
如杆与铅垂轴的夹角为θ,试求杆的动能。
图12-25
12-4质量为m1的滑块A沿水平面以速度v移动,质量为m2的物块B沿滑块A以相对速度u滑下,如图12-26所示。
试求系统的动能。
图12-26
12-5如图12-27所示,滑块A质量为m1,在滑道内滑动,其上铰接一均质直杆AB,杆AB长为l,质量为m2。
当AB杆与铅垂线的夹角为φ时,滑块A的速度为vA,杆AB的角速度为ω。
试求在该瞬时系统的动能。
图12-27
12-6椭圆规尺在水平面内由曲柄带动,设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆,其质量分别为m1和2m1,且OC=AC=BC=l,如图12-28所示。
滑块A和B的质量都等于m2。
如作用在曲柄上的力偶矩为M,不计摩擦,试求曲柄的角加速度。
图12-28
12-7曲柄导杆机构在水平面内,曲柄OA上作用
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