高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合学案 文Word格式.docx
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A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}
解析:
由题意B={1,4,7,10},A∩B={1,4},选D.
答案:
D
2.设A={-1,1,5},B={a+2,a2+4},A∩B={5},则实数a的值为( )
A.3B.1
C.±
1D.1或3
因为A∩B={5},所以a+2=5或a2+4=5.当a+2=5时,a=3;
当a2+4=5时,a=±
1,又a=-1时,B={1,5},而此时A∩B={1,5}≠{5},故a=1或3.
知识点二集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素________
A__B且B__A
⇔A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
______或______
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
空集
空集是________的子集,是___________的真子集
∅__A ∅__B
(B≠∅)
都相同 ⊆ ⊆ A⊆B B⊇A AB BA 任何集合 任何非空集合 ⊆
3.(必修①P12习题1.1A组第5
(2)题改编)若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下面结论中正确的是( )
A.{a}⊆A B.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
因为2
不是自然数,所以a∉A.
4.满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为____.
集合A除含元素0,1,2外,还至少含有3,4,5中的一个元素,所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数,即为23-1=7.
7
知识点三集合的基本运算
1.集合的三种基本运算
并集
交集
补集
表示
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形
意义
{x|__________}
2.活用集合的三类运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;
A∪A=A;
A∪B=B∪A;
A∪B=A⇔____.
交集的性质:
A∩∅=∅;
A∩A=A;
A∩B=B∩A;
A∩B=A⇔____.
补集的性质:
A∪(∁UA)=____;
A∩(∁UA)=____;
∁U(∁UA)=A.
1.A∪B A∩B x∈A,或x∈B x∈A,且x∈B x∈U,且x∉A
2.B⊆A A⊆B U ∅
5.(2016·
新课标全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.(-3,-
)B.(-3,
)
C.(1,
)D.(
,3)
由题意得,A={x|1<
x<
3},B={x|x>
},则A∩B=(
,3),选D.
6.(必修①P12习题1.1B组第1题)已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2},则集合B有________个.
因为集合A={1,2}有两个元素,且A∪B={1,2},则B⊆A.故满足条件的集合B有22=4(个).
4
热点一 集合的含义及表示
【例1】 已知集合A={x|y=
,x∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合B中元素的个数为( )
A.1B.3
C.5D.7
(2)已知集合A={x-2,2x2+5x,12},若-3∈A,则x的值为________.
【解析】
(1)易知A={x|y=
,x∈Z}={-1,0,1},B={p-q|p∈A,q∈A}={-2,-1,0,1,2},故集合B中元素的个数为5.
(2)由题意可知x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,则x-2=2x2+5x=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;
当2x2+5x=-3时,x=-
(x=-1舍去),经检验x=-
满足题意.综上可知x=-
.
【答案】
(1)C
(2)-
【总结反思】
(1)研究集合问题时,一定要抓住元素这一要素,看元素应满足的属性.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(2)对于集合相等的问题,首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(1)(2017·
邢台模拟)已知集合A={x∈N|x2+2x-3≤0},B={C|C⊆A},则集合B中元素的个数为( )
A.2B.3
C.4D.5
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
(1)A={x∈N|(x+3)(x-1)≤0}={x∈N|-3≤x≤1}={0,1},共有22=4个子集,因此集合B中元素的个数为4,选C.
(2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-
,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
当m=-
时,m+2=
,而2m2+m=3,故m=-
(1)C
(2)-
热点二集合间的关系
【例2】
(1)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
【解析】
(1)因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>
0},所以∁RP={y|y>
1},所以∁RP⊆Q,选C.
(2)∵B⊆A,∴①若B=∅,则2m-1<
m+1,
此时m<
2.
②若B≠∅,则
解得2≤m≤3.
由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
【答案】
(1)C
(2)(-∞,3]
1.在本例
(2)中,若A⊆B,如何求解?
解:
若A⊆B,则
即
所以m的取值范围为∅.
2.若将本例
(2)中的集合A,B分别更换为A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},如何求解?
①若B=∅,则Δ=m2-4<
0,解得-2<
m<
2;
②若1∈B,则12+m+1=0,
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-
,此时B={2,
},不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
保定模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )
A.{-1}B.{1}
C.{-1,1}D.{-1,0,1}
(2)已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<
m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________.
(1)由题意,得B={-1,1},
因为A⊆B,所以当A=∅时,a=0;
当A={-1}时,a=-1;
当A={1}时,a=1.
又A中至多有一个元素,
所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.
(2)因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<
m+1},A⊆B,所以m+1>
2016,即m>
2015.
(1)D
(2)(2015,+∞)
热点三集合的运算
考向1 集合的基本运算
【例3】
(1)(2016·
山东卷)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<
0},则A∪B=( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,+∞)D.(0,+∞)
(2)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( )
A.M∪NB.M∩N
C.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN)
【解析】
(1)集合A表示函数y=2x的值域,故A=(0,+∞).由x2-1<
0,得-1<
1,故B=(-1,1),
所以A∪B=(-1,+∞).故选C.
(2)由题知M∪N={1,2,3,4},M∩N=∅.
(∁UM)∪(∁UN)={1,2,3,4,5,6},
(∁UM)∩(∁UN)={5,6},故选D.
【答案】
(1)C
(2)D
考向2 含参数的集合运算
【例4】 设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=∅,则m=________.
【解析】 A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A.
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有
-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,
且m=(-2)·
(-2)=4,这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·
(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件,
∴m=1或2.
【答案】 1或2
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)已知集合的运算结果求参数,要注意分类讨论思想的灵活应用.
辽宁沈阳质检)设全集U=R,集合A={x|y=lgx},B={-1,1},则下列结论正确的是( )
A.A∩B={-1}
B.(∁RA)∪B=(-∞,0)
C.A∪B=(0,+∞)
D.(∁RA)∩B={-1}
(2)已知集合A={x|x2-2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0},若A∩B=[2,4],则实数m=____.
(1)集合A={x|x>
0},∁RA={x|x≤0}.则(∁RA)∩B={-1},故选D.
(2)由题知A=[-2,4],B=[m-3,m].
因为A∩B=[2,4],所以
,
∴m=5
(1)D
(2)5
热点四集合中的新定义问题
【例5】 若集合A具有以下性质:
(Ⅰ)0∈A,1∈A;
(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,
∈A.
则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( )
(1)集合B={-1,0,1}是“好集”;
(2)有理数集Q是“好集”;
(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.
A.0B.1
C.2D.3
【解析】
(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.
(2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,
∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
【答案】 C
解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
设集合M=
,N=
,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
由已知,可得
即0≤m≤
;
≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M=
,所以M∩N=
∩
=
,此时集合M∩N的“长度”的最小值为
-
,故选C.
C
1.解决集合问题应注意的问题
(1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解.
2.数形结合思想
数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.
集合背景下的新定义问题
以集合为背景的新定义问题,集合只是一种表述形式,实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力.解决此类问题,要从两点入手:
(1)正确理解创新定义.分析新定义的表述意义,把新定义所表达的数学本质弄清楚,转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础.
(2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.
【例1】 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( )
A.77B.49
C.45D.30
【解析】 A={(0,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-1,0)},B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,1),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,-1),(-1,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,-1),(-2,-2)},则依题意知,A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,1),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,-1),(-1,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,-1),(-2,-2),(0,-3),(1,-3),(2,-3),(-1,-3),(-2,-3),(0,3),(1,3),(2,3),(-1,3),(-2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,-1),(3,-2),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,-1),(-3,-2)},故该集合共有45个元素.
【例2】 已知数集A={a1,a2,…,an},(1≤a1<
a2<
…<
an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( )
A.{1,3,4}为“权集”
B.{1,2,3,6}为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
【解析】 由于3×
4与
均不属于数集{1,3,4},故A不正确,由于1×
2,1×
3,1×
6,2×
3,
都属于数集{1,2,3,6},故B正确,由“权集”的定义可知
需有意义,故不能有0,同时不一定有1,C,D错误,选B.
【答案】 B
解题策略:
(1)新定义问题应认真读题,理解新定义的特点和性质.
(2)按新定义的特点和性质“照章办事”,逐条分析、验证、运算,把新定义中所给式子、结论等转化为已经学过的式子或结论,进行推理验证使得问题得到解决.
(3)在选择题中可以借助排除、对比、特值等方法求解.
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