1993考研数二真题及解析Word格式.docx
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0(B)f(x)<
0,厂(x)>
0
(C)r(x)>
o,rw<
o
(D)广(x)>
0JU)>
3.(此题共5小题,每题5分,总分值25分•)
(1)设y=sin[/(x2)],其中/具有二阶导数,求
(2)求limx(y]x2+100+x).
.TT-OC
(3)求I*4dx.
J。
1+cos2x
⑷求f琵严.
⑸求微分方程X-1)心+(2^-cosx)dx=0满足初始条件>'
|t=0=1的特解.
四、(此题总分值9分)
设二阶常系数线性微分方程y"
+ay+Py=7ex的一个特解为
严戶+(1+那么几试确定常数a、队丫,并求该方程的通解.
五、(此题总分值9分)
设平面图形A由x2+y2<
2x与y"
所确定,求图形A绕直线a=2旋转一周所得旋转体的体积.
六、〔此题总分值9分〕
作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高力为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.
七、〔此题总分值6分〕
设尤>
0,常数d>
«
证明〔°
+劝,严二
八、〔此题总分值6分〕
设广〔%〕在[0皿]上连续,且/〔0〕=0,证明:
牛,其中
M=maxIf\x〕I.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题〔此题共5小题,每题3分,总分值15分.〕
〔1〕【答案】0
【解析】这是个0・s型未定式,可将其等价变换成工型,从而利用洛必达法
O0
那么进行求解.
£
]nx
limxlnx=lim——洛lim\=一limx=0・
XT(rXT(尸1=XT(尸1
X
⑵【答案】]八2山丁丁)
2ycos(牙-_2xy
【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程
sin(x2+y2)+ex-xy2=0两边对x求导,得
cos(牙丄+y2)•(2x+2yyz)+ex-y2-2xyy'
=0,
化简得心;
爲匸:
丫;
;
丁.
【相关知识点】复合函数求导法那么:
如果“=g(x)在点x可导而y=fM在点u=g(x)可导,那么复合函数y=f[g(Q]在点x可导且其导数为
芝八叽3或卜罕芈
dxaxdudx
⑶【答案】0<
l
4
【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.
将函数F(x)=p2-
两边对x求导,得F'
(x)=2--j=.
假设函数F(x)严格单调减少,那么F&
)=2-点<
0,即JTvg.
所以函数心单调减少区间为。
g?
【相关知识点】函数的单调性:
设函数y=fM在上连续,在内可导
(1)如果在⑺上)内广«
0,那么函数y=f(x)在[a上]上单调增加;
⑵如果在(小内广(x)v0,那么函数y=f(x)在[a.b]上单调减少.
(4)
【答案】
2cos"
i/2x+C
【解析】
\^dx=fsJ心fsinxcos-lv^v
Jy/COSXJCOSXy/COSXJ
二-丄
=cos2az/cosx=2cos2X+C・
(5)
这是微分方程的简单应用.
由题知
—=xln(l+.r),别离变量得dy=x\n(\+x2)dxy两边对x积分有dx
y=Jxln(l+x2)dx=—jln(l+x2)d(x2+1).
由分部积分法得
[1[c
-[\n(\+x2)d(x2+1)=—(l+x2)ln(l+x2)——[(1+十)^dx
2J22J1+对
=l(l+X2)ln(l+X2)-jAZ/A-
=l(l+x2)ln(l+x2)--!
-x2+C.
22
因为曲线y=/Cv)S点(0,-[),故c=-[,所以所求曲线为y=-(l+x2)ln(l+x2)--x2一丄.
222
2.选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分•)
(1)
假设取
因为当xtO时,sin丄是振荡函数,所以可用反证法.X
=—,贝lj—sin—=伙sink7T=0,k兀兀九
〞汀冷'
那么氏
因此,当kTS时,有xXkTO及池TO,但变量-4sin-或等于0或趋于砂,x~X
这说明当XTO时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确.
(2)
(A)
【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在心处连续,那么有
lim/(x)=lim/(x)=/(x0).
X->
.to+X->
.to-
由题可知
Iv2-1Ir2-1
lim/(x)=lim=lim-——=lim(x+l)=2,
XT广X-lXT广X-lYT广
Ir2-1|1-v2
limf(x)=lim=lim一—=一lim(x+1)=—2.
x—>
1x—>
)X—1x—>
1X—1a—>
1
因/(X)在X=1处左右极限不相等,故在X=1处不连续,因此选(A).
(3)
【解析】这是分段函数求定积分.
当0Sxvl时,OSxS/Sl,故/(f)=f2,所以
ix「[T1
F(x)=J:
f⑴山=『汽〃=-r3=-U3-O-
■」1
当1K2时,1GSS2,故/⑴=1,所以
F(x)=J;
『\dt=[/])=x-\.
应选(D).
(B)
【解析】判定函数/⑴零点的个数等价于判定函数y=fM与久的交点个数
X11
对函数/(%)=11"
-一+£
两边对X求导得ff(x)=・
exe
令fM=o,解得唯一驻点x=—
RnfM>
o,0v兀v0;
/(x)严格单调增加I
rIJ
[fW<
0^<
+co;
/(x)严格单调减少
所以兀=«
是极大值点,也是最大值点,最大值为f(e)=\ne--+k=k>
0.e
又因为
lim/(x)=lim(lnx__+£
)=-oox->
(r.yt(t©
x
lim/(x)=lim(Inx-—+k)=—co
Xf+xXT+8e
由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,P)各有且仅有一个零点(不相同)•
故函数f(x)=\nx--+k在(0,*o)内零点个数为2,选项(B)正确.
⑸【答案】
(C)
【解析】方法一:
由几何图形判断.
由fM=-/(-切,知/(x)为奇函数,图形关于原点对称;
在(0,乜)内f(x)>
0,/(x)图形单调增加且向上凹,
根据图可以看出fix)在(-oo,0)内增加而凸,f(x)>
0,/ff(x)<
0,选(C).方法二:
用代数法证明.
对恒等式/«
=-/(-%)两边求导得
/xx)=r(-Ar(x)=-/7-x).
当"
(y\0)时,有-xe(0,+oo),所以
广(X)=广(一对>
oJU)=—厂(―x)<
0,
故应选(C)・
【解析】/={sin[/(x2)]}=cos[f(x2)]f,(x2)-2xt
),〞={cos[/X)]•广(疋)・2斗
={cos[/(x2)]}'
•f\x2)•2x+cos[/(x2)]{r(x2)J.2x
+cos[/(x2)]./V2)-(2A-y
=-sin[/(x2)].[/\x2)]2.(2x)2+cos[/U2)]-/7x2)-(2.v)2
+cos[/(x2)]-/V2)-2.
【相关知识点】复合函数求导法那么:
如果"
=g(x)在点X可导而y=/(a)在点u=g(x)可导,那么复合函数
y=/[g(Q]在点x可导且其导数为
牛=g3或ax
dydydu—:
—=—:
dxdudx
【解析】应先化简再求函数的极限,
1Z(E而+x)=limx(W+100+?
(W+1007
&
+100-X
100%
100
=lim•二=lim
一厶2+100“^1.^/77100-1
因为x<
0,所以
竺=-50.
=lim
l.^/77ioo-l一-Ji+ioo宀1jj
【解析】先进行恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.
lim
l—
1+cos2x
dx=
2(龙
xsecxf1fvr
dx=—4xatanx
22」。
=|[xtanx
7t
I
1£
-[ln(cosx)]4
=£
+l[ln(CosJ)-ln(cosO)]=^+lln^=
【解析】用极限法求广义积分.
2x+1
2(7+17
=_(1+兀尸+牙(1+Q-2
通解为
【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是
sinx+Cx2-l
sinO+C
代入初始条件yj"
得竽宁"
所以C=-1・所求特解为o—1
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y'
+P(x)y=朮)的通解公式为:
y=e-jp(x)dx(Jq(x)efplx)dxdx+C),其中c为常数.
四、(此题总分值9分)
【解析】要确定常数7、仆只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.对于特解y=e"
+(l+f,有
yf=2e2x+ex+(l+x)ex=2e2x+(2+x)ex,
=4e2x+K+(2+x)ex=4e2x+(3+x)er,
代入方程y〞+ay+Py=yex,得恒等式
4e2x+(3+x)ex]+a2e2x+(2+x)ex]+0[戶+(1+x)ex]=yex,
化简得
(4+2a+J3)e2x+(3+2a+J3)ex+(1+a+J3)xex三yexy
比较同类项系数,得
4+2a+0=O
<
3+2a+0=y,
l+a+0=0
解之得a=_3,0=2』=_l.
于是原方程为y〞-3F+2y=F,所对应的齐次微分方程/-3y+2y=0的
特征方
程为r~—3>
r+2=0,解N得斤=1,2=2.
所以微分方程y〞-3y'
+2y=F的通解为
y=c0+c2e2x+/=c}ex+c2e2x+e2x+(1+x)ex=cxex+c2elx+xex.
【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法.
x2+y2<
2x等价于(x-1尸+y2<
l.
解法一:
考虑对y的积分,那么边界线为西=1-丁1-尸与吃=y(os1),如右图所示•当y^y+dy时,
dV=兀(2—片)2心一;
r(2—七)'
dy
=兀(2_1+Jl_y2)2_(2_y)2]dy
=2兀Jl_y2_(]_),)2]如
所以v=2町:
-(1-y)2*
对于[jljs,令〕,=sint,那么dy=costdt,所以
r+-sin2t=—2Jo4对于「(i-yF心(i_)yd(i_y)=—"
3〉)
-」(J
所以V=2兀J;
J1-),-(1-刃*=2兀;
兀一!
•
J;
Jl-y'
dy=cos2tdt=£
j*;
(]+cos2t)dt=g
解法二:
取X为积分变量,那么边界线为
y\=>
J2x-x2与y2=x(0<
1),如右图所示.
当XTX+心时,
clV=2龙(2-兀)(〞一y2)dx
所以V=2^£
(2-x)(yj2x-x2-x)dx.令x-\=ty那么x=\+tydx=dt,所以
f(2一x)(yjlx-x2-x)dx
=J:
(1-0[j2(l+f)_(l+/)2-(1+tAlt
=J°
(^a/1-/2-1\)i-r+r.
再令t=sin0,那么dt=cosOdd,
所以J:
[Jl-尸-1Jl-尸+r-\\lt
=J*cos~OdO—
9
=J;
(cos0-sin0cos0+sin'
&
-1)cos3d0"
J*sin&
cos,&
/&
+Jnsin,8cos&
d&
-j*/TcosOdO
=—J*(l+cos2%+J*"
Cos'
Odcos0+
2r
/Tsin2Odsin&
—J兀cosOdO
■]■
cos30
sinT
+—sin20
+
3
rr
龙11(龙1
■・I1I■■—]■,—•
所以
V=2;
rJ(:
(2一x)(\j2x-x2-v)tZv=2^■(—
六.〔此题总分值9分〕
【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题.
设圆锥底半径为心如图,BC=R,AC=KOD=r.
.BCOD/nr
曲=,AD=JOA~—OD~、有ACAD
Rrnhr
—=,nR=-
hJ〔力一门2一,・2拆-2hr
于是圆锥体积
V=l^=l^r2Ji—
33h—2r
(2r<
h<
+oo)・
对上式两端对h求导,并令W=0,得
.172/?
(/?
-2r)-/7212/?
-4r)
Vt=_龙厂;
一=一兀广—=0
h3(/?
-2r)23(A-2r)2
得唯一驻点/?
=4r,且
2r<
h<
4ryf<
4r<
A<
+oo,VF>
0,
Q
所以/?
=4r为极小值点也是最小值点,最小体积V(4r)=-^-r3.
七.(此题总分值9分)
【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.
当x>
0,常数5时,原不等式两边取自然对数可化为
z、/十\n(a+x)Ina
dln(a+x)<
{a+x)\na或<
・
a+xa证法一:
令f(x)=(a+x)Ina-aln(tz+x),jjljff(x)=\na-aa+x
由“>
>
0,知Ina>
1<
<
L故f'
W>
0(x>
0)・
/0"
・;
;
:
•松用'
金用缝些试代科&
亍试瑟
从而/(X)为严格单调递増函数,且
f(x)=(a+x)Ina一a\n(a+x)>
/(0)=aIna-aIna=0,(x>
0)
即
(a+x)Ina一aln(«
+x)>
S+hv严.
证法二:
令f(x)=—,那么f(x)=上竺.
当X〉d>
时,有广(兀)=匕匸<
0,
JT
所以函数在x>
a>
e为严格单调递减函数,即f(x+a)<
f(a),
所以有
\n(a+x)Inav,a+xa
(u+x)a<
crx.
八、(此题总分值9分)
【解析】证法一:
用微分中值定理.
对任意给定的xe[O,«
],由拉格朗曰中值定理,得
/(x)=/(o)+r(^)x,(o<
^<
A)
由/(0)=0,知/(x)=f\^)x•因为M=maxIf\x)I,所以
将两边从0Td做X的定积分,有
|:
If(x)\dx<
M]*:
xdx=-.
由定积分的根本性质可知IJ:
fMdx1<
£
|/(X)\dx<
^.
用牛顿-莱布尼茨公式.
对任意给定的X€[0卫],以及./(0)=0,可知
jy⑴力=/〔x〕—/〔o〕=/〔x〕,
从而l/〔x〕lsj〔;
lf\t〕\dt<
MX>
以下同证法一・证法三:
分部积分法.
^f(x)dx=^f(x)d(x-a)=[f(x)(x-+£
(a-x)f'
(x)dx
=[/(a)(d-a)-/(0)(0-"
)]+J:
("
-X)f\x)dx=J(:
(a一x)ff(x)dx.
『:
f(x)rfr|=|£
(a-x)f'
(x)dx<
J:
(a-x)\f(x)\dx<
MJ(:
(a-x)dx
=M\ax--x2
a1
=-Ma2.
o2
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