数学建模B题优秀论文Word格式.docx
- 文档编号:22434728
- 上传时间:2023-02-04
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:439.68KB
数学建模B题优秀论文Word格式.docx
《数学建模B题优秀论文Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学建模B题优秀论文Word格式.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
在此基础上我们优化分配方案:
在增加4个巡警服务台的情况下,使平台的工作量的不均衡度降为3.0742。
增加的4个巡警服务台的路口标号见表8。
问题二:
(1)题目要求针对全市六个城区的具体情况,分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案(参见附件)的合理性。
如果有明显不合理,请给出解决方案。
这里本文设定了两条原则,原则一:
警力必须在案发3分钟之内到达案发地点;
原则二:
交巡警服务台的工作量尽量均衡,出警速度尽量快。
根据以上两个原则对该市现有交巡警服务台的设置方案的合理性进行评价,评价结果显示:
①全市有138个路口,在案发时交巡警不能在3min之内到达;
②此时的不均衡度已达40.3。
基于上述两点,现有的交巡警服务台设置不合理。
由于我们认为现有的交巡警服务平台的设置略有不合理,所以我们你拟定以下两个调整部署的优化方案。
方案一:
保持现有巡警服务台的个数和位置,再在其他路口增设巡警服务台;
方案二:
保持现有巡警服务台的个数,但对其位置进行调整。
(2)题目假设市地点P(第32个节点)处发生了重大刑事案件,在案发3分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
设计总体调度全市交巡警平台的最佳围堵方案,使其能够尽快地抓捕嫌疑人。
本问题实质是单目标规划问题,我们建立0-1规划模型,以交巡警围堵时间最短为目标,以成功围堵条件。
对于巡警的成功围堵,可以转化为二部图的完全匹配,求得最佳围堵方案完全匹配,原始方案和两种优化的求解结果见表15、表16和表17。
关键字:
最大集合覆盖0-1规划模型FLOYD算法MATLAB软件LINGO软件
二.问题重述
“有困难找警察”,是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能,需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的,如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况,建立数学模型分析研究下面的问题:
(1)附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图,相关的数据信息见附件2。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内有交巡警(警车的时速为60km/h)到达事发地。
对于重大突发事件,需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口,请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况,拟在该区内再增加2至5个平台,请确定需要增加平台的具体个数和位置。
(2)针对全市(主城六区A,B,C,D,E,F)的具体情况,按照设置交巡警服务平台的原则和任务,分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案(参见附件)的合理性。
如果该市地点P(第32个节点)处发生了重大刑事案件,在案发3分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯,请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
三.问题分析与建模思路
(1)题目要求为A区各交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内有交巡警到达事发地。
本文引入经典离散定位理论中的最大集合覆盖模型进行求解。
记I={1,2,3,…,92}为城区A的所有路口节点集合,J={1,2,…,20}为城区A巡警服务台的节点集合,cij为i交巡警服务台到达j路口的最短距离。
引入0-1变量i∈∈I,j∈∈J,当路口i分配给巡警服务台j管辖是为1,当路口i不分配给巡警服务台j管辖是为0。
即:
由题目的要求可知,当cij<3min时,路口i可能分配给巡警服务台j,也可能分配给其他可在3min到达i路口的其他巡警服务台,而不分配给平台j,故此时sij=0。
根据上述的分配原则及每个路口只由一个巡警服务台进行管辖、每个巡警服
务台至少要管辖一个路口,可建立最大集合覆盖模型,并借助数学软件MATLAB
进行求解。
(2)该问题要求当发生突发事件时,要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出A区的13条交通要道进行快速全封锁,且每个平台的警力最多封锁一个路口。
本文将问题转化为:
从20个服务平台中选出13个对13条交通要道进行封锁,且这13个平台所用的时间要最小的规划问题。
本文引入0-1变量表示一个巡警服务台是否封锁一条交通要道,从而建立这个问题的0-1规划模型,并借助数学软件LINGO进行求解。
(3)根据问题一
(1)的分配方案可知:
当标号为39、61、28、29、38、92的路口有案件发生时,标号为2、7、15、
16、20的巡警服务台的出警时间将超过3min,即出警时间过长。
此时每个巡警服务台的工作量分别为:
表120个巡警服务台的工作量
平台标号
1
2
4
5
6
7
8
9
10
工作量
10.3
8.3
5.6
6.6
9.7
2.5
8.2
1.6
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4.6
8.5
2.1
3.8
5.3
6.1
3.4
10.7
此时巡警服务台的工作量不均衡度为8.4314。
由
(1),
(2)可知现有巡警服务台的工作量极其不均衡且有些地方出警时间过长。
针上述问题,题目要求再增加2—5个巡警服务台来解决上述问题。
本文首先按照
(1)、
(2)中的方法建立集合覆盖的0-1规划模型,然后利用MATLAB对模型进行求解,可得到初步的分配方案,最后再引入工作量不均衡度,通过计算求解可确定增加巡警服务台的数目与位置。
(1)本文定义了两个评价原则:
原则一:
巡警能在3min之内到达案发路口
巡警服务台的工作量均衡度尽量小。
根据以上两个原则对该城区现有巡警服务台的设置方案的合理性进行评价。
若现有巡警服务台的设置不合理,本文则提出三种方案对全城的巡警服务台
设置进行优化:
保持现有巡警服务台的个数,但对其位置进行调整;
方案三:
不考虑现有巡警服务台的设置情况,重新确定全城的最佳巡警服务
台数目与位置。
2)当该市某路口发生重大刑事案件时,犯罪嫌疑人已逃跑,由于在案发
3min后巡警才能接到报警,为了快速搜捕嫌疑犯,将调度全市交巡警服务平台警力围堵嫌疑犯。
因为警车相对于嫌疑犯车延迟三分钟行驶,而且巡警不知道嫌疑犯逃跑方向,所以此问题可转化为以下模型:
对于任意时间t,嫌疑犯驾车跑的最大范围为:
在t+3时间内嫌疑犯所有可能行驶路线所包含路口节点的并集,记为Q将Q的边界点集记为
。
所谓最快围堵方案,即寻找一个最短时间t,适当的调配巡警警力,使其在时间t内能够到达边界点
,这样嫌疑犯就被控制在区域Q中了,此时嫌疑犯将无法逃脱。
四.基本假设
1.假设每个巡警服务台的职能和警力配备基本相同;
2.假设每个路口只由一个巡警服务台进行管辖;
3.假设每个巡警服务台至少管辖一个路口;
4.假设巡警都按最短路径到达各案发路口;
5.假设犯罪案件都在路口上发生;
6.假设在重大案件发生时,每个平台都有能够封锁一个路口的能力;
7.工作量:
每个巡警服务台所管辖范围内的所有路口案发率之和;
8.出警时间:
巡警到达案发路口所需时间;
9.假设逃犯的逃跑速度等于警车的行驶速度;
10.假设巡警在接到报案后并不知道逃犯的逃跑方向;
五.符号说明
1.Cij:
为交巡警服务平台j到达路口i的最短距离,其中:
i=1,2…92,j=1,2…20;
2.uij:
为路口i与路口j之间的最短距离,其中:
i=1,2…92,j=1,2…92;
3.,其中:
4.,其中:
i=1,2…20,j=1,2…92;
5.,其中:
6.Cj:
j交巡警服务平台的工作量,其中:
i=1,2…92;
7.:
平均工作量;
8.Ini:
i路口的发案次数,其中:
9.p:
工作量不均衡度;
10.
11.Iisolated:
C类路口的集合;
12.Qi+3:
嫌疑犯在(t+3)min内行驶的最大区域;
13.:
嫌疑犯在(t+3)min内行驶的最大区域边界点集;
六.模型的建立与求解
6.1问题一
(1):
管辖区域的确定---最大集合覆盖模型
6.1.1模型建立:
最大覆盖函数:
根据问题一
(1)的分析确定最大覆盖函数为:
满足条件:
1)因为每个路口只由一个巡警服务台管辖,所以:
2)根据实际情况每个巡警服务台管辖的路口数至少等于1,所以
综上所述,得到最大集合覆盖模型为:
满足:
(1)
6.1.2模型求解:
1.最短路径矩阵U92×
92的建立
本文选用floyd算法确定城区A任意两个路口之间的最短路径矩阵U92×
92。
floyd算法为:
任意两点(i,j)之间的最短路径(记为Dij)等于从i出发到达j点的以任一点为中转点所有可能方案中,距离最短的一个。
Dij=min(Dij,Dik+Dkj,…),1≦k≦n,n为节点总数。
算法为:
U
(1)ii=0,
U
(1)ij=wiji≠j,
U(k+1)ij=min{u(k)ij,u(k)ik+u(k)kj},i,j,k=1,...,n
在上式中,临时标号u(k)ij是不通过k,k1,,n节点(i,j除外)时从节点i到节点j的最短路径。
通过上述算法,利用数学软件MATLAB计算出各节点的最短路径,组成一个最短路径矩阵U92×
矩阵中,元素ui1j为从路口i1到路口j的最短距离,其中i1=1…92,j=1…92。
2.集合覆盖矩阵的建立K92×
92
以巡警服务台能否在3min内到达案发路口为分配标准,将上述最短路矩阵转化为集合覆盖问题,即0-1覆盖问题。
转化方法为:
(2)
此时将得到集合覆盖矩阵K92×
此时从矩阵中可以得到巡警服务台在只考
虑能在规定时间内到达的初始分配情况。
3.最终分配方案的确定
由集合覆盖矩阵K92×
92将92个路口分为A、B、C三类:
A类:
已只由一个巡警服务台进行管辖;
(直接分配)
B类:
可被多个巡警服务台进行管辖;
(按就近原则分配)
C类;
还不能被任何巡警服务台进行管辖;
处理的时候按照A、B、C的顺序依次进行;
可以看出在处理完B类之后仍有标号为28、29、38、39、61、92的6个任何巡警服务台都不能在规定时间内到达规定路口。
最终分配方案如下表所示:
表2最终分配方案
服务台
管辖路口
1676869717374757678
112627
2404344707239
1225
545536566
1321222324
45760626364
49535505152565859
152829
16363738
30732474861
411742
83346
1880818283
931343545
197779
86208485878889909192
6.2问题一
(2):
警力合理调度方案—0-1整数规划模型
6.2.1模型建立:
记20个巡警服务台分别为i=1...20,记13条交通要道分别为j=1…13。
记巡警服务台i与要道j间的距离为cij。
决策变量:
引入0-1变量xij,若选择巡警服务台i对要道j进行封锁,记xij=1,否则记xij=0,即:
(3)
此为问题的决策变量,共260个。
目标函数:
本题要求对13条要道进行快速封锁,即要求巡警服务台对13条交通要道进行全部封锁所需时间最短的调度方案。
在假设警车行驶速度相同的条件下,可转化为求巡警服务台与要道最大距离最短的调度方案。
则本题目标函数为f2=max(cijxij),其中i=1…20,j=1…13。
约束条件:
根据问题的要求,每个交通要道必须有一个巡警服务台对其进行封锁,即对于j=1…13,应有:
,对于i=1…20,应有:
。
综上所述,此问题的优化模型为
6.2.2模型的求解:
本文利用MATLAB和Lingo进行编程求解,程序见附录,具体步骤如下:
1.求解cij。
整理附件2中的数据,根据Floyd算法,利用MATLAB编程,得到20个巡警服务台距离13条交通要道的最短距离cij。
2.按照附件2中20个巡警服务台和13条交通要道的顺序进行编号,引入决策变量xij,根据已经建立的模型中的约束条件和目标函数,利用Lingo9.0求得全局最优解。
3.求解结果显示,目标函数的最小值为8.0155,即封锁13条交通要道的最少时间为8.0155分钟。
下表列出了A区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
表3A区交巡警服务平台警力合理的调度方案
A区路口
21
22
23
24
28
29
30
38
48
62
平台位置
到路口时间
7.5688
6.7417
6.259
5.0723
6.8825
6.4733
2.3854
4.7518
8.0155
3.0608
7.6393
7.3959
6.4489
6.3问题一(3)确定增加平台的个数与位置——集合覆盖模型
6.3.1模型建立与问题求解:
1.初步分配方案的确定
同样运用问题一
(1)中的方法可得到:
距离C类各个路口小于3km的路口集合,如下表:
表4距离C类各个路口小于3km的路口集合
C类路口标号
39
92
集合
{28,29}
{38,39,40}
{48,61}
{87,88,89,90,91,92}
对上表中的6个集合求并,得到需要增加巡警服务台的路口的候选集Q={28,29,38,39,61,92}。
本文将在候选集Q中选择2~5个路口设置服务台,使需求集Iisolated=[28,29,38,39,61,92]中所有路口在案发时均有巡警在3min之内赶到。
集合覆盖模型的建立
首先,建立覆盖矩阵T6×
13,其元素:
(5)
i=1,2…6,j=1,2…13。
其次,建立集合覆盖模型:
满足:
其中,
最后,利用MATLAB运用搜索法得到:
至少从候选集Q中选出4个路口来设置巡警服务台,才能解决出警时间过长的问题。
此时共有48种可能的分配方案。
分别如下表所示:
表572种分配方案
87
61
88
40
89
90
91
2.最终分配方案的确定
1)为每种方案中的24个巡警服务台分配管辖范围。
步骤一:
同样按照问题一
(1)中的求解过程1和2可得到有24个巡警服务台的集合覆盖矩阵K92×
24。
步骤二:
此时由上述集合覆盖矩阵可将城区A的92个路口分为A、B两类:
A类:
B类:
将A类中的路口直接分配给对其进行管辖的唯一的巡警服务台。
对于B类的路口,在综合距离最近与工作量平均的情况下来进行分配。
首先选择距离路口i最近的巡警服务台j(j=1,2…24),然后利用公式,计算巡警服务台j的工作量cj,若cj≦
则将路口i分配给巡警服务台j管,否则选择次短距离的服务台进行同样考虑。
最后得到每种分配方案中24服务平台的管辖范围。
步骤三:
根据平局工作量公式与工作量不均衡度公式利用MATLAB分别对48种分配方案中服务台的工作量不均衡度计算得:
表672种分配方案的工作量不均衡度
3.488967391
3.338967391
4.411721014
4.255634058
3.074184783
3.076793478
3.996938406
3.999547101
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 建模 优秀论文
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)