高考数学冲刺核心考点 专题6 第1讲 函数的图象与性质小题学生试题训练文档格式.docx

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热点二　函数的性质及应用

高考常考函数四个性质的应用：

（1）奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分（一般取一半）区间上，注意偶函数常用结论f（x）＝f（|x|）；

（2）单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；

（3）周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；

（4）对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题.

例2　

（1）设函数f（x）＝

的最大值为M，最小值为N，则（M＋N－1）2019的值为（　　）

A.1B.2C.22019D.32019

（2）已知定义在R上的函数f（x）满足：

函数y＝f（x－1）的图象关于点（1,0）对称，且x≥0时恒有f（x＋2）＝f（x），当x∈[0,1]时，f（x）＝ex－1，则f（2018）＋f（－2019）＝________.

跟踪演练2　

（1）定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝

若对任意的x∈[m，m＋1]，不等式f（1－x）≤f（x＋m）恒成立，则实数m的最大值为（　　）

A.－1B.－

C.－

D.

（2）（2018·

全国Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）等于（　　）

A.－50B.0C.2D.50

热点三　函数的图象及应用

高考常考函数图象问题的注意点：

（1）图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；

（2）函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果.

例3　

（1）（2019·

全国Ⅲ）函数y＝

在[－6,6]的图象大致为（　　）

淄博诊断）已知函数f（x）＝

若存在x0∈R使得f（x0）≤ax0－1，则实数a的取值范围是（　　）

A.（0，＋∞）B.[－3,0]

C.（－∞，－3]∪[3，＋∞）D.（－∞，－3]∪（0，＋∞）

跟踪演练3　

（1）函数f（x）＝sin

的图象大致为（　　）

沧州模拟）已知函数f（x）＝

g（x）＝ax－2（a∈R）满足：

①当x<

0时，方程f（x）＝g（x）无解；

②当x>

0时，至少存在一个整数x0使f（x0）≥g（x0）.则实数a的取值范围为________.

真题体验

1.（2019·

全国Ⅰ，理，5）函数f（x）＝

在[－π，π]上的图象大致为（　　）

2.（2019·

全国Ⅲ，理，11）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则（　　）

A.f 

>

B.f 

C.

f 

D.

3.（2019·

全国Ⅱ，理，14）已知f（x）是奇函数，且当x<

0时，f（x）＝－eax.若f（ln2）＝8，则a＝________.

押题预测

1.已知函数f（x）＝

则f（2019）等于（　　）

A.2B.log26C.log27D.3

2.已知函数f（x）＝

，则y＝f（x）的图象大致为（　　）

3.设函数y＝f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f 

＝f 

，当x∈[2,3]时，f（x）＝x，则当x∈[－2,0]时，f（x）等于（　　）

A.|x＋4|B.|2－x|

C.2＋|x＋1|D.3－|x＋1|

A组　专题通关

1.设函数f（x）＝log2（x－1）＋

，则函数f 

A.（1,2]B.（2,4]C.[1,2）D.[2,4）

汉中联考）下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上递减的函数是（　　）

A.y＝tanxB.y＝x－3

C.y＝cosxD.y＝

|x|

3.如图①，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，若y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝9时，点R应运动到点（　　）

A.N处B.P处C.O处D.M处

4.若函数f（x）＝

在R上是增函数，则a的取值范围为（　　）

A.[2,3]B.[2，＋∞）C.[1,3]D.[1，＋∞）

5.（2019·

内江、眉山等六市联考）若f（x）是R上的奇函数，且x1，x2∈R，则“x1＋x2＝0”是“f（x1）＋f（x2）＝0”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2019·

甘肃、青海、宁夏联考）若函数f（x）＝

有最大值，则a的取值范围为（　　）

A.（－5，＋∞）B.[－5，＋∞）

C.（－∞，－5）D.（－∞，－5]

7.（2019·

济南模拟）已知函数f（x）＝cos

＋

＋1，则f（x）的最大值与最小值的和为（　　）

A.0B.1C.2D.4

8.（2019·

福建适应性练习）下列四个函数：

①y＝xsinx；

②y＝xcosx；

③y＝x|cosx|；

④y＝x·

2x的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（　　）

A.④①②③B.①④②③

C.③④②①D.①④③②

9.已知函数f（x）＝

，实数a，b满足不等式f（2a＋b）＋f（4－3b）>

0，则下列不等式恒成立的是（　　）

A.b－a<

2B.a＋2b>

2

C.b－a>

2D.a＋2b<

10.函数y＝

·

sinx的部分图象大致为（　　）

11.（2019·

广东省六校联考）已知f（x）＝loga（a－x＋1）＋bx（a>

0，a≠1）是偶函数，则一定有（　　）

A.b＝

且f（a）>

B.b＝－

且f（a）<

C.b＝

且f 

D.b＝－

<

12.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），当x∈[0,1]时，f（x）＝－2x＋1，设函数g（x）＝

|x－1|（－1<

x<

3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（　　）

A.2B.4C.6D.8

13.函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是________.

14.（2018·

全国Ⅲ）已知函数f（x）＝ln（

－x）＋1，f（a）＝4，则f（－a）＝________.

15.（2017·

全国Ⅲ）设函数f（x）＝

则满足f（x）＋f 

1的x的取值范围是____.

16.已知函数f（x）是奇函数，当x<

0时，f（x）＝－x2＋x.若不等式f（x）－x≤2logax（a>

0且a≠1）对∀x∈

恒成立，则实数a的取值范围是________.

B组　能力提高

17.（2019·

焦作模拟）已知函数f（x）＝

若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围是（　　）

A.[2,3]∪（－∞，－5]B.（－∞，2）∪（3,5）

C.[2,3]D.[5，＋∞）

18.（2018·

天津）已知a∈R，函数f（x）＝

若对任意x∈[－3，＋∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是________.

数学核心素养练习

一、数学抽象、直观想象

素养1　数学抽象

通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养.

例1　（2019·

全国Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0,1]时，f（x）＝x（x－1）.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－

，则m的取值范围是（　　）

B.

1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.

其中，正确信息的序号是________.

素养2　直观想象

通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养.

例2　（2019·

全国Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）

A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

2.（2018·

北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

二、逻辑推理、数学运算

素养3　逻辑推理

通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养.

例3　（2019·

全国Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：

我的成绩比乙高.

乙：

丙的成绩比我和甲的都高.

丙：

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

3.（2018·

全国Ⅰ）已知双曲线C：

－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于（　　）

B.3C.2

D.4

素养4　数学运算

通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养.

例4　（2019·

全国Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为（　　）

D.

4.（2018·

全国Ⅲ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）

A.a＋b<

ab<

0B.ab<

a＋b<

C.a＋b<

0<

abD.ab<

a＋b

三、数学建模、数据分析

素养5　数学建模

通过实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养.

例5　（2019·

全国Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（　　）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：

一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

（1）当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.

素养6　数据分析

通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养.

例6　（2019·

全国Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：

“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

6.某市一水电站的年发电量y（单位：

亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：

毫米）有如下统计数据：

2013年

2014年

2015年

2016年

2017年

降雨量x（毫米）

1500

1400

1900

1600

2100

发电量y（亿千瓦时）

7.4

7.0

9.2

7.9

10.0

（1）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率；

（2）由表中数据求得线性回归方程为

＝0.004x＋

，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1800毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？