自主招生专题辅导一.docx
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自主招生专题辅导一.docx
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自主招生专题辅导一
利用几何意义巧解一类简单的多元函数极值
命题平面的法向量为.
推论.平面的法向量,原点在此平面上的射影向量为
例(2011年清华大学)已知求的最小值。
解法一依题知
上式表示两个平面的的交线,在此直线上取点设为该直线上任意一点,
解法二依题知
上式表示两个平面的的交线,在此直线上取点设为该直线上任意一点,
当时
此时
解法三依题知
上式表示两个平面的的交线,在此直线上取点
故坐标原点到直线AB的距离
解法四依题知
坐标原点在平面上的射影向量为
坐标原点在平面上的射影向量为
又
故
解法五知识迁移(由点到直线的距离公式到点到平面的距离公式)
依题知
坐标原点到平面、上的距离
平面、的法向量分别为
故
解法六依题知
当时,
注意多元函数求最值的根本思路是减少变元。
变式(2011年清华大学等七校联考)已知则的最小值为:
A.B.C.D.
2010自主招生清华大学特色测试数学试题(三角)
1.计算.
解法一
则
解法二令
则:
本题目可以进一步推广
特殊值法解自主招生试题
特殊值法指的是在特定的条件下,用对特殊事例的考虑来代替一般性问题的解决的一种方法。
运用特殊值法解选择题时,以简单的具体数值计算代替复杂的字母和一般推理,能较快、较准确地得出正确答案。
一、对全称判断命题,从条件中选取特殊值,然后对选择支逐一计算检验。
1.(复旦2009年选拔)设函数的图像是曲线C,曲线C1和C关于直线x=1对称,曲线C2和C1关于直线对称,则C2是下列哪个函数的图像?
A.B.C.D.
解析利用特殊点验证选择B
2.(复旦2008年选拔)已知的定义域是全体实数,它的图像关于都对称,则是()
A.以为周期的函数B.以为周期的函数C.非周期函数D.以上都不对
解析依题意令,则
故选择B。
3.(复旦2009年选拔)定义全集X的子集的特征函数为,那么对,下列命题中不准确的是()
A.B.C.D.
解析令
A.,则故A正确
B.则故B正确
C.故C正确
故选择D
4.(复旦2009选拔)设则下列各式中一定成立的是()
A.B.C.D.
解析依题意令经验证知选择D.
5.(五校2010选拔样题)设是三次多项式的一个根,且。
若是一个有理系数多项式,满足条件。
则
A.-2B.2C.D.
解析:
猜想求只须令别选择A。
6.(复旦大2008选拔)已知a,b,c是不完全相等的任意实数,若,则x,y,z值()。
A.都大于0B.至少有一大于0C.至少有一小于0D.都小于0
解析一:
(求和配方法)依据题意知:
故选择B。
解析二:
(特殊值法)令a=-1,b=0,c=1.
7.(复旦2000保送)
解令则
8.(交大2001选拔)求
解法一
解法二令
9.(交大2000保送)设则函数的最小值是_______.
解根据对称性原理猜想此函数取最小值时,则
10.(交大2007冬令营)设且函数的最大值为则
解法一根据对称性原理猜想函数取最大值时,则
解法二
11.(交大2004保送)函数的值域是_________.
解法一
解法二由于据具备对称性原则,则令令
故函数取值范围为
解法三椭圆化,利用线性规化思想(六脉神箭)
令,则由图知,
当时,当时,故函数取值范围为
二项式定理及已知条件得
解法四利用导数,
令
则当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;
故
12.(复旦2001保送)则
解法一已知条件和结论是关于非零实数的对称多项式,,则令
故则
故
解法二则令
13.(复旦2008选拔)已知一个三角形的面积,且它的外接圆半径为1,设
分别是该三角形的三边长,令,则与的关系是()
A.B.C.D.无法判断
解析依题意知,是关于的对称多项式,因此取,则,
,故选择A。
14.(复旦2010选拔)设且满足则的取值范围是()
A.B.C.D.
解令则故选择D。
15.(复旦2010选拔)已知定义域则
A.B.
C.D.
解取上的特殊点则点在其反函数上,代入验证知舍B、Ca,再取上的点则点在其反函数上,代入验证知选择A。
16.(五校2010选拔)在三角形ABC中,三边长a,b,c满足则的值为()
A.B.C.D.
解依据题意知a与b对称,则可构造等腰三角形ABC,可令
则
故选择C。
二、选择支表示的是命题题设的充要或充分条件时,从选择支中选取特殊值,然后代回题设进行检验判定。
三、命题涉及字母多于一个时,注意合理利用字母的一些关系,巧妙设取特殊值。
17.(交大2002联读)实数a与b满足则
解析一是关于实数a与b的对称多项式构成的二元方程,则猜想a=b=x,则有
故
解析二令a=0,则b=1,则有
18.(交大2002联读)非零实数满足则的最小值是______
解析已知条件和结论是关于非零实数的对称多项式,则猜想x=y=z=,则有,故
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