电力生产问题线性优化文档格式.docx
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所有发电机都存在一个启动成本,以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本,并且如果功率高于最小功率,则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本,即边际成本。
这些数据均列于表2中。
表2:
发电机情况
可用数量
最小输出功率(MW)
最大输出功率(MW)
固定成本(元/小时)
每兆瓦边际成本(元/小时)
启动成本
型号1
10
750
1750
2250
2.7
5000
型号2
4
1000
1500
1800
2.2
1600
型号3
8
1200
2000
3750
1.8
2400
型号4
3
3500
4800
3.8
只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。
与启动发电机不同,关闭发电机不需要付出任何代价。
问题
(1)在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小,最小总成本为多少?
问题
(2)如果在任何时刻,正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量,以防用电量突然上升。
那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小,此时最小总成本又为多少?
2.问题分析
本问题是一个电力生产的线性优化问题,要求在满足电力需求的前提下,对发电机的开停以及出输出功率进行调控,从而使每日的电力运营成本降到最低。
对于问题1:
(1)对已知条件分析:
题目中将每日用电需求以7个时间段进行划分,并给出4中不同型号发电机。
每种发电机从可用数量、最小输出功率、最大输出功率、固定成本、每兆瓦边际成本、启动成本进行约束。
题目要求目标函数总成本最小,即通过对各时段各机型的使用数量及其实际输出功率的选择,使各时段各机型的总固定成本、总边际成本、总启动成本之和最小。
(2)对目标函数分析:
目标函数共包括3个指标:
总固定成本、总边际成本、总启动成本。
总固定成本为j机型在第i个时间段的使用数量、第i个时间段的时间、j机型每小时的固定成本这三者之积的累积和;
总边际成本为j机型在第i个时间段的使用数量、第i个时间段的时间、j机型在第i个时间段超出其最小功率的功率、j机型每兆瓦的边际成本这四者之积的累积和;
总启动成本为j机型在第i个时间段比第(i-1)个时间段多出的使用数量、j机型的启动成本之积的累积和。
为方便计算,我们引入参数A,在j机型在第i个时间段的使用数量大于第(i-1)个时间段的使用数量时,将A置1;
否则,将A置0。
(3)对约束条件分析:
本函数共有三个约束:
一,四种型号的发电机在第i个时间段的总实际输出功率需满足大于等于第i个时间段的用电量需求;
二,每种型号的发电机在使用时,其实际输出功率需大于等于其最小功率、小于等于其最大功率,不使用时,其实际输出功率为0;
三,每种型号发电机在各个时间段的使用数量需满足其不大于其实际拥有数量。
对于问题2:
要求在任何时刻,正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量,以防用电量突然上升,而其他条件均未改变,因而只需加一个约束条件,使第i个时间段内所有发电机所能发出的最大总功率之和乘以80%后大于用电需求。
3.模型的假设
1.题目所给数据都是合理、正确的。
2.所有发电机均可随时正常工作,不出现损坏现象。
3.启动发电机以及调整发电机输出功率的时间可以被忽略。
4.发电机输出功率稳定。
5.在电量输送过程中损耗的功率已经包含在用电需求中。
6.因调整发电机功率带来的人力成本、维修成本等不计入其内。
4.符号说明
j机型每小时的固定成本;
j机型的启动成本;
j机型每兆瓦的边际成本;
j机型的最大输出功率;
j机型的最小输出功率;
j机型在第i个时间段的实际输出功率;
第i个时间段的时间;
第i个时间段用电需求量;
j机型在第i个时间段的使用数量;
j机型在第(i-1)个时间段的使用数量;
A
使
时,A=0;
时,A=1;
5.问题一的解答
5.1确立目标函数
本模型是一个电力生产的线性优化问题,要求在满足电力需求的前提下,对不同型号发电机在各个时间段的使用数量以及输出功率进行调控,从而使每日的电力运营总成本降到最低。
总成本由以下三项指标组成:
指标一:
总固定成本,即第i个时间段的时间、j机型在第i个时间段的使用数量、j机型每小时的固定成本这三者之积的累积和。
指标二:
总边际成本,即第i个时间段的时间、j机型在第i个时间段的使用数量、j机型在第i个时间段超出其最小功率的功率、j机型每兆瓦的边际成本这四者之积的累积和。
指标三:
总启动成本,即j机型在第i个时间段比第(i-1)个时间段多出的使用数量、j机型的启动成本之积的累积和。
所以目标函数总成本如下:
5.2确立约束条件
(1)四种型号的发电机在第i个时间段的总实际输出功率满足大于等于第i个时间段的用电量需求,即:
其中
=1,2,3…,7;
=1,2,3,4;
(2)每种型号的发电机在使用时,其实际输出功率需大于等于其最小功率、小于等于其最大功率;
不使用时,其实际输出功率为0:
或者
,其中
(3)每种型号发电机在各个时间段的使用数量不能大于其数量且取整计算:
,
,且
5.3模型的建立
综上所述,我们建立问题一的最优化模型:
5.4模型的求解
求解本模型时,我们首先使用Lingo软件求解各个时间段各种机型的实际输出功率及其对应总成本。
对于约束条件
软件不能直接处理,所以我们运用分支定界法将约束条件改为
,然后求解,分析计算结果发现有的时段某些型号的发电机实际输出功率小于其最小功率,故运用枚举法调整,得出十六组优化方案。
通过比较,总成本为1464009元的方案为最优方案,即可得对应各个时段各种机型的实际输出功率。
各优化方案总成本如表一所示:
表一
方案
1
2
总成本(元)
1464009
1465921
1467330
1467342
5
6
7
1467438
1467552
1468753
1469918
9
11
12
1470528
1471596
1473952
1475055
13
14
15
16
1475097
1477314
1481497
1467178
(通过比较,方案一总成本值1464009(元)最小)
然后我们运用Matlab软件求得各个时段各种机型的使用数量,结合上述所得各个时段各种机型的实际输出功率,得表二如下:
表二
输出功率
数量
6000
2845.797
16000
7154.203
3000
10500
8000
5999.998
6.问题二的解答
6.1模型的建立
对于问题二,要求在任何时刻,正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量,以防用电量突然上升,而其他条件均未改变,因而只需使发电机所能发出的最大总功率乘以80%后大于用电需求即可。
根据问题一的模型,我们增加了一个约束条件:
在第i个时间段所有正在使用的发电机最大总功率之和的80%大于等于第i个时间段的用电量需求。
故列出目标函数和约束条件如下:
6.2模型的求解
求解本模型时,我们运用Matlab软件,将目标函数和约束条件用矩阵的形式表示出来,然后求解,求解结果中有的不为整数,故用分支定界法进行调整,调整后得到满足约束条件的最小总成本为每天1507135元。
各个时段各种型号的发电机实际输出功率和对应的使用数量如表三所示:
表三
号
型
1816.950
8183.050
3047.908
15952.09
3500.002
857.1687
7142.831
5285.470
12714.83
7.模型的评价
模型的优点:
(1)我们将总成本以三个指标(总固定成本、总边际成本、总启动成本)之和进行表示,并进行合理假设,建立了正确的线性优化模型。
(2)我们综合考虑了各种情况,使约束条件达到了具体化全面化。
(3)我们采用枚举法,将16种优化方案逐一比较,从而得出最优方案,结果较为精确。
缺点:
(1)我们设立了56个未知数,并逐一比较16种优化方案,增加了建模和计算的复杂程度。
8.模型的改进与推广
8.1模型的改进
(1)所建立模型中假设所有发电机均可随时正常工作,不出现损坏现象,并且不考虑因调整发电机功率带来的人力成本、维修成本等。
因而,我们可以根据实际生活加入这些约束条件,使模型更加精确、实际。
(2)模型中未知数过多,优化方案繁多,可以设计新的运算程序,减少模型中的中间变量,提高运算效率以及结果准确性。
8.2模型的推广
(1)这是一个线性规划的优化模型,不仅适用于电力生产,也同样适用于其它属于线性规划优化方面的问题,如产销平衡问题、选址问题、值班问题等等。
9.参考文献
[1]陈志杰高等代数与解析几何高等教育出版社,2006。
[2]唐文换数学模型,高等教育出版社,2008。
[3]韩中庚数学建模方法及其应用高等教育出版社2006。
[4]赵静,但琦,数学建模与数学实验,高等教育出版社,2008
10.附录
附录一:
问题一中各时段各型号发电机的实际输出功率及使用数量
附录二:
问题二中各时段各型号发电机的实际输出功率及使用数量
附录三:
模型一优化前的程序代码及运算结果
sets:
!
电力生产问题;
shiduan/1..7/:
s,x;
xinghao/1..4/:
n,p,q,g,b,v;
link(shiduan,xinghao):
c;
endsets
data:
各个时段的小时数;
s=6,3,3,2,4,4,2;
各个时段的用电需求;
x=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;
可用数量;
n=10,4,8,3;
最小输出功率;
p=750,1000,1200,1800;
最大输出功率;
q=1750,1500,2000,3500;
固定成本;
g=2500,1800,3750,4800;
边际成本;
b=2.7,2.2,1.8,3.8;
启动成本;
v=5000,1600,2400,1200;
enddata
目标函数
@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)为第i时段型号为j的发电机的数量
@if函数用来判断:
当i=1时,i-1=7;
min=@sum(link(i,j):
s(i)*(@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)*g(j)+(c(i,j)-(@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999))*p(j))*b(j))
+(@sign((@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999))-(@floor((@if(i#ge#2,c(i-1,j),0))/q(j)+0.999999))+1))/2*
(@if(i#ge#2,@floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)-(@floor(c(i-1,j)/q(j)+0.999999)),@floor(c(1,j)/q(j)+0.999999)))*v(j));
第i时段的总发电量大于该时段的用电需求;
@for(shiduan(i):
@sum(xinghao(j):
c(i,j))>
=x(i));
型号为j的发电机发出的总功率小于或等于该型号几个发电机所能发出的最大功率;
@for(link(i,j):
c(i,j)<
=n(j)*q(j));
型号为j的发电机发出的总功率大于或等于0;
c(i,j)>
=0);
End
!
运算结果:
Feasiblesolutionfound.
Objectivevalue:
1461464.
Infeasibilities:
0.5186949E-12
Totalsolveriterations:
163
VariableValueReducedCost
C(1,1)0.0000000.000000
C(1,2)6000.0000.000000
C(1,3)6000.0000.000000
C(1,4)0.0000000.000000
C(2,1)1750.002-1.937143
C(2,2)6000.0000.000000
C(2,3)16000.000.000000
C(2,4)8249.9980.000000
C(3,1)1885.9201.720000
C(3,2)6000.0000.000000
C(3,3)16000.000.000000
C(3,4)1114.0800.000000
C(4,1)3500.0000.000000
C(4,2)6000.0000.000000
C(4,3)16000.000.000000
C(4,4)10500.000.000000
C(5,1)1617.017-2.811429
C(5,2)6000.0000.000000
C(5,3)16000.000.000000
C(5,4)1382.9830.000000
C(6,1)439.80080.6742857
C(6,2)6000.0000.000000
C(6,3)16000.000.000000
C(6,4)7560.1990.000000
C(7,1)0.0000000.000000
C(7,2)5997.4430.000000
C(7,3)12002.550.1900000
C(7,4)0.2999142E-021.348571
附录四:
模型一优化后最优解的程序代码及运算结果
c(3,4)=0;
c(3,4)=1800;
c(5,4)=0;
c(5,4)=1800;
c(6,1)=0;
c(6,1)=750;
c(7,4)=0;
c(7,4)=1800;
1464009.
0.000000
203
C(2,1)2845.7970.7485714
C(2,4)7154.2030.000000
C(3,1)3000.0000.000000
C(3,4)0.0000000.000000
C(5,1)1200.0000.000000
C
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