圆锥曲线基础知识专项练习Word格式文档下载.docx
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2+
2=1表示椭圆
”
的(
“ab
by
A.充要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件
7.
A.
=1B.
+=1C.
=10
+=1D.+=1
8.
设椭圆
B.
C.D.
的左焦点为
F,P为椭圆上一点,其横坐标为
,则|PF|=(
9.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线
x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是(
2=-16
x
y
2=-32
C.
2=16
D.
2=32
10.
抛物线
=
2(
<0)的准线方程是(
a
A.y=-
B.y=-
C.y=
D.y=
11.
2
的距离为
5,则点P到该抛物线焦点的距离是
设抛物线y=4x上一点P到直线x=-3
(
A.3
B.4
C.6
D.8
12.
已知点
P是抛物线x=
y2上的一个动点,则点
P到点A(0,2)的距离与点P到y
轴的距离之和的最小值为()
A.2
C.-1
+1
13.若直线
kx
-2与抛物线
=8
交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为
2,
则k=(
B.-1
C.2或-1
D.1±
二、填空题(本大题共2小题,共10.0分)
14.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆
上,则=______.
15.已知椭圆,焦点在y轴上,若焦距等于4,则实数
k=____________.
三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)
16.已知三点P(,-)、A(-2,0)、B(2,0).求以A、B为焦点且过点P的椭圆
的标准方程.
17.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4.椭圆与直线y=x+2
相交于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求弦长|AB|
高中数学试卷第2页,共10页
18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±
x,且焦距为4,已知点A(1,)
(1)求双曲线的标准方程;
(2)已知点A(1,),过点A的直线L交双曲线于M,N两点,点A为线段MN的中点,求直线L方程.
19.已知抛物线的标准方程是y=6x,
(1)求它的焦点坐标和准线方程,
(2)直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°
,且与抛物线的交点为A、B,求AB的
长度.
20.已知椭圆的离心率,直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切.
(2)已知定点E(1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C,D两点,试判断是
否存在实数k,使得以CD为直径的圆过定点E?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理由.
21.已知椭圆C:
4x2+y2=1及直线L:
y=x+m.
(1)当直线L和椭圆C有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)当直线L被椭圆C截得的弦最长时,求直线L所在的直线方程.
答案和解析
【答案】
1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A
14.
15.816.解:
(1)2a=PA+PB=2,
所以a=,又c=2,所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为:
+=1.
17.解:
(1)∵椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,
∴,
解得a=4,b=2,
∴椭圆方程为=1.
(2)联立
,得5
2+16=0,
解得,,
∴A(0,2),B(-,-),
∴|AB|==.
18.解:
(1)设双曲线的标准方程为(a>0,b>0),则
∵双曲线渐近线方程为y=±
x,且焦距为4,
∴,c=2∵c2=a2+b2
∴a=1,b=
∴双曲线的标准方程为;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),代入双曲线方程可得,
两式相减,结合点A(1,)为线段MN的中点,可得
∴=
∴直线L方程为,即4x-6y-1=0.
高中数学试卷第4页,共10页
19.解:
(1)抛物线的标准方程是
2p=6,∴=
y=6x,焦点在x轴上,开口向右,
∴焦点为F(,0),准线方程:
x=-,
(2)∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为
45°
,
∴直线L的方程为y=x-,
代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+
=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=9,
所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12.
故所求的弦长为12.
20.解:
(1)因为直线l:
y=bx+2与圆x2+y2=2相切,
∴b=1,
∵椭圆的离心率,
∴a2=3,
∴所求椭圆的方程是.
(2)直线y=kx+2代入椭圆方程,消去y可得:
(1+3k2)x2+12kx+9=0∴△=36k2-36>0,
∴k>1或k<-1,
设C(
1,1),D(
2,2),则有
若以CD为直径的圆过点
E,则EC⊥ED,
∵
∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=0∴(1+k2)x1x2+(2k-1)(x1+x2)
+5=0∴
解得
所以存在实数
使得以CD为直径的圆过定点E.
21.解:
(1)由方程组
,消去y,
整理得
.(2分)
5x
+2mx+m-1=0
分)
∴△=4m-20
(m
=20-16
m(
4
-1
因为直线和椭圆有公共点的条件是
0,即20-16
△≥
m≥0,
解之得-
.(5分)
(2)设直线L和椭圆C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),
由韦达定理得
,(8分)
∴弦长|AB|=
==,-,
∴当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线L方程为y=x.(10分)
【解析】
1.解:
∵曲线表示椭圆,∴,解得-1<k<1,且k≠0.
故选:
D.
曲线表示椭圆,可得,解出即可得出.
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.解:
方程表示椭圆的充要分条件是,即m∈
(-4,-1)∪(-1,2).
由题意可得,所求的m的范围包含集合(-4,-1)∪(-1,2),
B.
由条件根据椭圆的标准方程,求得方程表示椭圆的充要条件所对应
的m的范围,则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围,结合所给的选项,得出结论.
本题主要考查椭圆的标准方程,充分条件、必要条件,要条件的定义,属于基础题.
3.解:
①椭圆+=1,中a2=2,b2=k,
则c=,
∴2c=2=2,
解得k=1.
高中数学试卷第6页,共10页
椭圆
,中
2=
=2,
②
k
b
+=1
则c=
∴2c=2
解得k=3.
综上所述,k的值是1或3.
A.
利用椭圆的简单性质直接求解.
本题考查椭圆的简单性质,考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义,属于简单题.
4.解:
设椭圆方程为
=1(a>b>0),
由题意可得c=1,a=2,b=,
即有椭圆方程为+=1.
设椭圆方程为=1(a>b>0),由题意可得c=1,a=2,再由a,b,c的关系,可
得b,进而得到椭圆方程.
本题考查椭圆的方程的求法,注意运用待定系数法,考查椭圆的焦点的运用,属于基础题.
5.解:
命题甲是:
“|PA|+|PB|是定值”,
命题乙是:
“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时,
再加上这个和大于两个定点之间的距离,
可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,
而点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值,
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选B.
6.解:
a>0,b>0,方程ax2+by2=1不一定表示椭圆,如
a=b=1;
a>0,b>0.
反之,若方程ax+by=1表示椭圆,则
∴“a>0,b>0”是“方程ax
2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件.
C.
直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案.本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查了椭圆的标准方程,是基础题.
7.解:
由+=10,可得点(x,y)到M(0,-3)、N(0,3)
的距离之和正好等于10,
再结合椭圆的定义可得点(x,y)的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,且2a=10、c=3,∴a=5,
b=4,
故要求的椭圆的方程为+=1,
有条件利用椭圆的定义、标准方程,以及简单性质,求得椭圆的标准方程.
本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.
8.解:
椭圆的左焦点为F(-,0),右焦点为(,0),
∵P为椭圆上一点,其横坐标为,
∴P到右焦点的距离为
∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=
故选D.
确定椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,即可求得P到左焦点的距离.
本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查椭圆的定义,属于中档题.
9.解:
∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少
1,
∴将直线x+5=0右移1个单位,得直线x+4=0,即x=-4,
可得点P到直线x=-4
的距离等于它到点(
4,0)的距离.
根据抛物线的定义,可得点
P的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线
x=-4为准线的抛
物线.
设抛物线方程为
y2=2px,可得
=4,得2p=16,
∴抛物线的标准方程为
2=16x,即为P点的轨迹方程.
C
根据题意,点P到直线x=-4的距离等于它到点(
4,0)的距离.由抛物线的定义与标
准方程,不难得到
P点的轨迹方程.
本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大
1,求点P的轨迹方程,着重考查了
抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识,属于基础题.
10.解:
<0)可化为
,准线方程为
.
yax
抛物线y=ax2(a<0)化为标准方程,即可求出抛物线的准线方程.
本题考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,抛物线方程化为标准方程是关键.
∵点P到直线x=-3
5,
∴点p到准线x=-1
的距离是
5-2=3,
根据抛物线的定义可知,点
P到该抛物线焦点的距离是
3,
故选A.
先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程,根据点
P到直线x=-3的距离求得点到准
线的距离,进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等,
从而求
得答案.
本题主要考查了抛物线的定义.充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距
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离相等这一特性.
12.解:
抛物线x=y2,可得:
y2=4x,抛物线的焦点坐标(1,0).
依题点P到点A(0,2)的距离与点与P到该抛物线准线的距离的和减去由抛物线的定义,可得则点P到点
P到y轴的距离之和的最小值,就是P到(0,2)
1.
A(0,2)的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之
和减1,
可得:
-1=
先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义转化求解即可.
本小题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.
13.解:
联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x,
消去y,可得k2x2-(4k+8)x+4=0,(k≠0),
22
判别式(4k+8)-16k>0,解得k>-1.
则x1+x2=,
由AB中点的横坐标为2,
即有=4,
解得k=2或-1(舍去),
联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x,消去y,可得x的方程,由判别式大于0,运用韦达
定理和中点坐标公式,计算即可求得k=2.
本题考查抛物线的方程的运用,联立直线和抛物线方程,消去未知数,运用韦达定理和
中点坐标公式,注意判别式大于0,属于中档题.
解:
利用椭圆定义得
a+c=2×
5=10b=2×
4=8由正弦定理得
故答案为
先利用椭圆的定义求得a+c,进而由正弦定理把原式转换成边的问题,进而求得答案.
本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用.考查了学生对椭圆的定义的灵活运用.
15.
将椭圆的方程转化为标准形式为
显然
k-2>10-k,即
k>6,
,解得
k=8故答案为:
8.
16.
利用椭圆定义,求出2a,得出a,可求得椭圆的标准方程.
本题考查了椭圆方程的求法,是基础题,解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用.
17.
(1)由椭圆的离心率为,短轴长为4,列出方程组,能求出椭圆方程.
(2)联立,得5x2+16x=0,由此能求出弦长|AB|.
本题考查椭圆方程的求法,考查弦长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.
18.
(1)设出双曲线的标准方程,利用双曲线渐近线方程为y=±
x,且焦距为4,求出
几何量,即可求双曲线的标准方程;
(2)利用点差法,求出直线的斜率,即可求直线L方程.
本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
19.
(1)抛物线的标准方程是y2=6x,焦点在x轴上,开口向右,2p=6,即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程,
(2)先根据题意给出直线l的方程,代入抛物线,求出两交点的横坐标的和,然后利用焦半径公式求解即可.
本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题,
因为是过焦点的弦长问题,
所以利
用了焦半径公式.属于基础题.
20.
(1)利用直线l:
y=bx+2与圆x2+y2=2相切,求出b,利用椭圆的离心率求出
a,得到
椭圆方程.
(2)直线y=kx+2代入椭圆方程,消去
y可得:
(1+3k2)x2+12kx+9=0,设C(x1,y1),
D(x,y
),则利用韦达定理结合
EC⊥ED,求解k,说明存在实数
使得以CD为
直径的圆过定点
E.
本题考查椭圆的简单性质的应用,
直线与椭圆的位置关系的应用,
考查存在性问题的处
理方法,设而不求的应用,考查计算能力.
21.
(1)由方程组
,由此利用根的判别式能求出实数
m
,得5x
的取值范围.
(2)设直线L和椭圆C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出弦长
|AB|=
,由此能求出当
=0时,|AB|取得最大值,此时直线
L方程为
=.
yx
本题考查实数的取值范围的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用.
高中数学试卷第10页,共10页
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