截断切割大学生数学建模论文Word格式文档下载.docx
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dk:
第k次决策;
J:
总收益,即总加工费用;
P:
垂直切割单位面积费用;
r:
水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比;
e:
调整刀具所需额外费用;
δ(k):
第k次切割时垂直待切割平面在水平面上的投影值;
:
第k+1次切割后长方体的重心座标;
tk:
第k次决策时的状态;
a2,b2,c2:
成品长方体的长、宽、高;
a1,a3:
成品长方体距待加工长方体左侧面和右侧面的距离;
b1,b3:
成品长方体距待加工长方体正前面和正后面的距离;
c1,c3:
成品长方体距待加工长方体底面和顶面的距离;
待加工长方体的长、宽、高;
n:
刀具被调整的次数;
定义了一种运算法则,即x、y同奇同偶时表达式取值为0,x、y奇偶相异时表达式取值为1。
三、模型的建立
(一)确定切割方式的总数
待加工长方体共需截断切割6次,在横垂直方向、竖垂直方向、水平方向上各两次,其总的不同切割方式的总数为
=720种。
下面证明一个定理。
定理在同一方向上(横垂直方向、竖垂直方向或水平方向),在总收益最小的条件下,先切割下来的应该是切块厚度较大的那块长方体。
证明如右图所示,长方体高为h,不妨设在竖垂直方向
先后切割两次,在横垂直方向上切割一次,切块T1,T2
的厚度分别为a1和a3,中间那块包着成品长方体,厚度为a2,
先切T1时,待切割面积S1=(a2+a3)h,
先切T2时,待切割面积S2=(a1+a2)h>
S1.
在同种情况下,S2>
S1,则切T2比切T1花的费用高,不符合总收益最小的原则。
所以,在同等情况下应切割T1,即先切割厚度较大的那块长方体。
证毕。
实际上,切割六次以后,所有切块的总体积是一定的,先把体积大的切块切割下来,后面浪费的面积就少一些,费用也就小一点,这一点与实际情况是相符的。
因此,在这个原则下,不同切割方式的总数为
这比原来缩减了87。
5%,大大减少了计算机的工作量。
这条原则我们称之为f—原则。
使总收益达到最小时的决策方案总是90种的一种或几种。
(二)模型一
首先,建立一个三维直角坐标系,以待加工长方体的正前左下顶点为原点,长方体长、宽、高方向为x、y、z轴。
上述问题如果用非线性规划解,则其模型为:
可以看出,它有三个约束条件,现转化为动态规划问题,则它是三维的。
用(1,0,0)表示刀具沿垂直于x轴方向(即竖垂直方向)切割;
(0,1,0)表示刀具沿垂直于y轴方向(即横垂直方向)切割;
(0,0,1)表示刀具沿垂直于z轴方向(即水平方向)切割;
第k次切割时刀具方向在水平上的投影值函数定义为:
根据第k次切割及第k+1次切割之间的重心偏移关系,我们得出动态规划的数学模型:
tk+1的状态传递函数为
总收益函数
;
;
k分别取值0,1,2,3,4,5。
因此,目标函数则为
它必须符合f—原则。
由于没有现成的软件包可以使用,我们自己在LINGO2软件环境下编写了一种实现此动态规划的算法。
在程序中,我们把动态规划转化成了一个0—1规划,以判断控制和循环控制为主,采用多层循环,每进入新一层循环,需把总收益与上一层总收益进行比较,如较大则结束循环。
最后经过层层比较之后,得到一个最小总收益,并同时得到所有最优决策方案。
(三)模型二
某些部门用以下准则进行工作:
这条准则看起来好象是最优的,每次选一个加工费用最少的待切割面进行切割,最后的总费用还是最少的。
实际上并非如此,它只是在其变量参数满足一定条件时才是成立的,其中r在1的范围附近变动,而且e的取值不能很大,这在以后的实例中可以得到。
因此说,这条准则只是一个局部最优准则,而并不是一个整体的最优准则,在此我们称之为准则1。
(四)模型三
当e=0时,垂直方向刀具先后不平行时调整刀具不需要额外费用,这就大大简化了问题的优化模型。
待加工长方体按三个方向切割,每个方向切下两块,我们分别令a1,a3,b1,b3,c1,c3为竖垂直方向、横垂直方向和水平方向的六块切块的厚度。
当水平切割单位面积的费用为垂直单位面积的r倍时,除包含底面和顶面的两块切块外,我们分别给其它的四块切块的厚度乘以系数r,则它们的厚度分别由a1,a3,b1,b3变成了泛厚度ra1,ra3,rb1,rb3。
由f—原则得到启示,先切下泛厚度越厚的切块,则后面切割时浪费的面积越少,因此浪费的费用也越少。
即
为泛厚度最厚的切块,
为除第一个最厚切块外最厚切块的厚度,
为泛厚度集合中除了元素
外最大者。
因此,e=0时的简化优化准则为每次都切泛厚度最厚的切块。
即依次切割厚度为
的切块。
这在以后的实例中可以得到验证。
在此我们称这条优化准则为准则2,它与准则1是不相同的。
四、模型的求解与检验
现有一个待加工长方体和成品长方体,它们的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4,二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9(单位均为厘米),p=1元/厘米2。
(a)r=1,e=0;
利用上述模型求解,可得
原则的最小总收益J=374元,满足最小总收益的共有两种不同的切割方式,在满足f—原则的前提下,六次切割状态向量分别为:
其中决策方案(*)只符合准则2,而决策方案(**)不仅符合准则1,而且符合准则2。
(b)r=1.5,e=0;
求得最小总收益J=437.5元,满足最小总收益的共有两种不同的切割方式,在满足f—原则的前提下,六次切割状态向量分别为:
(c)r=8,e=0;
求得最小总收益J=540.5元,满足最小总收益的只有一种切割方式,在满足f—原则的前提下,其切割状态向量为:
这种决策方案只符合准则2,但不符合准则1。
(d)
这种情况比较复杂,需分类讨论。
(ⅰ)当n=1时,这时利用上述模型求解得到最小总收益J=442.5+e,满足最小总收益的只有一种切割方式,在满足f—原则的前提下,其切割状态向量为:
这种决策方案即不符合准则1,也不符合准则2。
(ⅱ)当n=2时,求得最小总收益J=456.5+2e,满足最小总收益的只有一种切割方式,在满足f—原则的前提下,其切割状态向量为:
(ⅲ)当n=3时,求得最小总收益J=437.5+3e,它就是状况(b),共有两种不同的切割方式,在满足f—原则的前提下,其状态向量分别为:
其中决策方案(*)只符合准则2,而决策方案(**)符合准则1和准则2。
现
,它在一定范围内取值,
令
,
则
因此,综合知:
有
(A)当
共有两种不同的最佳切割方式,在满足f—原则的前提下,其切割状态向量分别为:
此结果与(ⅲ)相同。
(B)当
这时只有一种最佳切割方式,在满足f—原则的前提下,其切割状态向量为:
此结果与(ⅰ)相同。
(C)
。
这时有三种最佳切割方式,在满足f—原则的前提下,其切割状态向量分别为:
和
此结果就是(ⅰ)和(ⅲ)的叠加。
以上结果分别是模型对(a)、(b)、(c)、(d)四种情况的所有的最优解。
从以上结果分析可以得到:
准则1的成立是必须满足一定的条件,状态参数变量r在1附近范围内变动,且
而当e=0时的简明优化准则2是正确的;
同时,上述结果和准则2也可以验证模型的可靠程度是比较高的,且稳定性好。
五、模型的误差分析
模型中的计算误差仅来自算法中的严密性与精确性,由于题目涉及的变量较多,所要求的精度也较高,形式也较繁杂,故可产生一些误差,且能产生一定的局部影响。
但本文的基本假设合理,理论可靠,模型结构简单,具有较好的稳定性。
六、模型的评价及改进方向
(一)模型优缺点
模型一是我们得到了主要结果,它对问题的描述准确、合理,推导理论可靠、严密,模型结构简单,可靠程度高,实用性强,且稳定性好;
建模过程中动态规划具有一般性,适用范围广,易于推广。
该模型没有与社会经济联系起来,没有考虑大量加工成品长方体的情形,而这些情况在实际上是出现的。
(二)模型的改进方向
该模型可推广到其它范围内,如平板车的装货问题、轮船与货车的最大运输量问题、
资源分配问题等。
成品长方体也可改成球体、正四面体等其它形体,同样可采用动态规划方法,有时可化为非线性规划问题,变动参数变量使其方案达到最优。
参考文献
[1]姜衍智,动态规划原理及应用,西安交通大学出版社,1988年。
[2][英]H。
P。
Williams著,孟国璧等译,数学规划模型建立与计算机应用,国防工业出版社,1978年。
[3]李火林等编,数学模型与方法,江西高校出版社,1997年。
[4][日]中山一雄著,李云芳译,金属切削加工理论,机械工业出版社,1995年。
[5]丁振明等编,金属切削原理及刀具,国防工业出版社,1985年。
论文点评:
(待写)
本篇论文获得1997年数学建模的全国一等奖。
毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明
原创性声明
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对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
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所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
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本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
日期:
年月日
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日期:
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日期:
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一、撰写(设计)过程
1、学生在论文(设计)过程中的治学态度、工作精神
□优□良□中□及格□不及格
2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度
3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力
4、研究方法的科学性;
技术线路的可行性;
设计方案的合理性
5、完成毕业论文(设计)期间的出勤情况
二、论文(设计)质量
1、论文(设计)的整体结构是否符合撰写规范?
2、是否完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)?
三、论文(设计)水平
1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义
2、论文的观念是否有新意?
设计是否有创意?
3、论文(设计说明书)所体现的整体水平
建议成绩:
(在所选等级前的□内画“√”)
指导教师:
(签名)单位:
(盖章)
年月日
评阅教师评阅书
评阅教师评价:
一、论文(设计)质量
二、论文(设计)水平
评阅教师:
教研室(或答辩小组)及教学系意见
教研室(或答辩小组)评价:
一、答辩过程
1、毕业论文(设计)的基本要点和见解的叙述情况
2、对答辩问题的反应、理解、表达情况
3、学生答辩过程中的精神状态
评定成绩:
教研室主任(或答辩小组组长):
(签名)
教学系意见:
系主任:
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学位论文作者(本人签名):
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论文密级:
□公开□保密(___年__月至__年__月)(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)
_______导师签名:
_______
_______年_____月_____日_______年_____月_____日
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(保密论文在解密后遵守此规定)
致谢
时间飞逝,大学的学习生活很快就要过去,在这四年的学习生活中,收获了很多,而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。
首先非常感谢学校开设这个课题,为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验,奠定了基础。
本次毕业设计大概持续了半年,现在终于到结尾了。
本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。
经过这次毕业设计,我的能力有了很大的提高,比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。
这期间凝聚了很多人的心血,在此我表示由衷的感谢。
没有他们的帮助,我将无法顺利完成这次设计。
首先,我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导,在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导,为我理清了设计思路和操作方法,并对我所做的课题提出了有效的改进方案。
郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。
从他身上,我学到了许多能受益终生的东西。
再次对周巍老师表示衷心的感谢。
其次,我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求,感谢他们对我学习上和生活上的帮助,使我了解了许多专业知识和为人的道理,能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。
另外,我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持,与他们一起学习、生活,让我在大学期间生活的很充实,给我留下了很多难忘的回忆。
最后,我要感谢我的父母对我的关系和理解,如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持,我将无法顺利完成今天的学业。
四年的大学生活就快走入尾声,我们的校园生活就要划上句号,心中是无尽的难舍与眷恋。
从这里走出,对我的人生来说,将是踏上一个新的征程,要把所学的知识应用到实际工作中去。
回首四年,取得了些许成绩,生活中有快乐也有艰辛。
感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲,对我成长的关心和爱护。
学友情深,情同兄妹。
四年的风风雨雨,我们一同走过,充满着关爱,给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。
在我的十几年求学历程里,离不开父母的鼓励和支持,是他们辛勤的劳作,无私的付出,为我创造良好的学习条件,我才能顺利完成完成学业,感激他们一直以来对我的抚养与培育。
最后,我要特别感谢我的导师***老师、和研究生助教***老师。
是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励,给了我很多解决问题的思路,在此表示衷心的感激。
老师们认真负责的工作态度,严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。
他无论在理论上还是在实践中,都给与我很大的帮助,使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助,感谢他耐心的辅导。
在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助,帮助解决了不少的难点,使得论文能够及时完成,这里一并表示真诚的感谢。
这次论文的完成,不止是我自己的努力,同时也有老师的指导,同学的帮助,以及那些无私奉献的前辈,正所谓你知道的越多的时候你才发现你知道的越少,通过这次论文,我想我成长了很多,不只是磨练了我的知识厚度,也使我更加确定了我今后的目标:
为今后的计算机事业奋斗。
在此我要感谢我的指导老师——***老师,感谢您的指导,才让我有了今天这篇论文,您不仅是我的论文导师,也是我人生的导师,谢谢您!
我还要感谢我的同学,四年的相处,虽然我未必记得住每分每秒,但是我记得每一个有你们的精彩瞬间,我相信通过大学的历练,我们都已经长大,变成一个有担当,有能力的新时代青年,感谢你们的陪伴,感谢有你们,这篇论文也有你们的功劳,我想毕业不是我们的相处的结束,它是我们更好相处的开头,祝福你们!
我也要感谢父母,这是他们给我的,所有的一切;
感谢母校,尽管您不以我为荣,但我一直会以我是一名农大人为荣。
通过这次毕业设计,我学习了很多新知识,也对很多以前的东西有了更深的记忆与理解。
漫漫求学路,过程很快乐。
我要感谢信息与管理科学学院的老师,我从他们那里学到了许多珍贵的知识和做人处事的道理,以及科学严谨的学术态度,令我受益良多。
同时还要感谢学院给了我一个可以认真学习,天天向上的学习环境和机会。
即将结束*大学习生活,我感谢****大学提供了一次在农大接受教育的机会,感谢院校老师的无私教
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