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△ADE一个。
所以图中共有三角形3+2+1=6个。
我们还发现,要数出图中三角形的个数,只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了,即3+2+1=6条。
所以图中共有6个三角形。
例题4数出下图中有多少个长方形。
数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样,长方形是由长宽两对线段围成,线段CD上有3+2+1=6条线段,其中每一条与AC中一条线段对应,分别作为长方形的长和宽,这里共有6×
1=6个长方形;
而AC上共2+1=3条线段也就有6×
3=18个长方形。
它的计算公式为:
长方形的总数=长边线段的总数×
宽边线段的总数
例题5有10个小朋友,每2个人照一张合影,一共要照多少张照片?
这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意,画出线段图,每一个点代表一个小朋友:
从图上可以看出,第1个小朋友要与其余9个小朋友合影,要照9张照片;
第2个小朋友还要与其余8个小朋友合影,再照8张照片……以此类推,第9个小朋友只要再与1个小朋友合影,再照1张照片。
所以,一共要照9+8+7+6+5+4+3+2+1=45张照片。
数数图形B
在解决数图形问题时,首先要认真分析图形的组成规律,根据图形特点选择适当的方法,既可以逐个计数,也可以把图形分成若干个部分,先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数,再把他们的个数合起来。
例1:
数一数下图中有多少个长方形?
分析与解答:
图中的AB边上有线段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×
数长方形可以用下面的公式:
长边上的线段×
短边上的线段=长方形的个数
例2:
数一数,下图中有多少个正方形?
(每个小方格是边长为1的正方形)
图中边长为1个长度单位的正方形有3×
3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×
2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×
1=1个。
所以图中的正方形总数为:
1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现,由相同的n×
n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为:
1×
1+2×
2+…+n×
n。
例3:
数一数下图中有多少个正方形?
(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)
边长是1个长度单位的正方形有3×
2=6个,边长是2个长度单位的正方形有2×
1=2个。
所以,图中正方形的总数为:
6+2=8个。
经进一步分析可以发现,一般情况下,如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份(长和宽的每一份都是相等的)那么正方形的总数为:
mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+…+(m-n+1)n
例4:
从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?
这些车票中有多少种不同的票价?
这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备45种不同的车票。
由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。
例5:
求下列图中线段长度的总和。
(单位:
厘米)
要求图中的线段长度总和,可以这样计算:
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米
从上面的计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为基本线段)出现了4次,长4厘米的线段出现了(3×
2)次,长2厘米的线段出现了(2×
3)次,长3厘米的线段出现了(1×
4)次,所以,各线段长度的总和还可以这样算:
4+4×
(3×
2)+2×
(2×
3)+3×
(1×
4)
=1×
(5-1)+4×
(5-2)×
2+2×
(5-3)×
3+3×
(5-4)×
4=52厘米
上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1、a2、…a(n-1)。
以上各线段长度的总和为L,那么L=a1×
(n-1)×
1+a2×
(n-2)×
2+a3×
(n-3)×
3+…+a(n-1)×
(n-1)。
分类数图形
我们在数数的时候,遵循不重复、不遗漏的原则,不能使数出的结果准确。
但是在数图形的个数的时候,往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律,从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1下面图形中有多少个正方形?
分析:
图中的正方形的个数可以分类数,如由一个小正方形组成的有6×
3=18个,2×
2的正方形有5×
2=10个,3×
3的正方形有4×
1=4个。
因此图中共有18+10+4=32个正方形。
例题2下图中共有多少个三角形?
分析为了保证不漏数又不重复,我们可以分类来数三角形,然后再把数出的各类三角形的个数相加。
(1)图中共有6个小三角形;
(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;
(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;
(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+1=14个三角形。
例题3数出下图中所有三角形的个数。
分析和三角形AFG一样形状的三角形有5个;
和三角形ABF一样形状的三角形有10个;
和三角形ABG一样形状的三角形有5个;
和三角形ABE一样形的三角形有5个;
和三角形AMD一样形状的三角形有5个,共35个三角形。
例题4如下图,平面上有12个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样的正方形有多少个?
分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形,从图中可以看出:
(1)最小的正方形有6个;
(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;
(3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6+2+2=10个。
例题5数一数,下图中共有多少个三角形?
分析我们可以分类来数:
1,单一的小三角形有16个;
2,两个小三角形组合的有10个;
3,四个小三角形组合的有8个;
4,八个小三角形组合的有2个。
所以,图中一共有16+10+8+2=36个三角形。
错中求解A
在进行加、减、乘、除运算时,要认真审题,不能抄错题目,不能漏掉数字。
计算时要仔细小心,不能丝毫马虎,否则就会造成错误。
解答这类题,往往要采用倒推的方法,从错误的结果入手分析错误的原因,最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数,利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。
例题1小马虎在做一道加法题时,把一个加数十位的5错看成2,另一个加数个位上的4错看成1,结果计算的和为241。
正确的和是多少?
把一个加数十位上的5看成2,少了3个10,这样和就减少了30;
把另一个加数个位上的4看作1,少了3个1,这样和就少了3。
小马虎算出的和比原来的和少了30+3=33,所以正确的和是241+33=274。
例题2小马虎在做一道减法时,把减数十位上的2看作了5,结果得到的差是342,正确的差是多少?
十位上的2表示2个十,十位上的5表示5个十,把十位上的2看作5,就是把20看作50,减数从20变为50,增加了30,所得的差减少了30,应在342中增加30,才是正确的差。
340+30=372
例题3小马虎在计算一道题目时,把某数乘3加20,误看成某数除以3减20,得数是72。
某数是多少?
正确的得数是多少?
小马虎计算得到72,是先除再减得到的,我们可以根据逆运算的顺序把72先加后乘,求出某数为(72+20)×
3=276,然后再按题目要求,按运算顺序求出正确的数276×
3+20=848。
例题4小马虎在做两位数乘两位数的题时,把乘数的个位上的5看作2,乘得的结果是550,实际应为625。
这两个两位数各是多少?
我们可以用竖式来帮助分析:
乘数个位上的5看作2,结果比原来少了5-2=3个被乘数,实际的结果与错误的结果相差625-550=75;
75正好是被乘数的3倍,被乘数是75÷
3=25,乘数是625÷
25=25。
例题5小林在计算有余数除法时,把被除数137当作173,结果商比正确结果大了4,但余数恰好相同。
正确的除法算式应是什么?
把被除数137当作173,被除数就多了173-137=36,因此商比正确结果大4,但余数相同,说明除数的4倍就是36。
所以除数为36÷
4=9,正确的除法算式为137÷
9=15……2。
错中求解B
在加、减、乘、除式的计算中,如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错,就会导致计算结果发生错误。
这一周,我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
小玲在计算除法时,把除数65写成56,结果得到的商是13,还余52。
正确的商是多少?
要求出正确的商,必须先求出被除数是多少。
我们可以先抓住错误的得数,求出被除数:
13×
56+52=780。
所以,正确的商是:
780÷
65=12。
小芳在计算除法时,把除数32错写成320,结果得到商是48。
正确的商应该是多少?
根据题意,把除数32改成320扩大到原来的10倍,又因为被除数不变,根据商的变化规律,正确的商应该是错误商的10倍。
所以正确的商应该是48×
10=480。
例3:
小冬在计算有余数的除法时,把被除数137错写成173,这样商比原来多了3,而余数正好相同。
正确的商和余数是多少?
因为被除数137被错写成了173,被除数比原来多了173-137=36,又因为商比原来多了3,而且余数相同,所以除数是36÷
3=12。
又由137÷
12=11……5,所以余数是5。
小龙在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字4错当作1,乘得的结果是525,实际应为600。
一个因数的个位4错当作1,所得的结果比原来少了(4-1)个另一个因数;
实际的结果与错误的结果相差600-525=75,75÷
3=25,600÷
25=24。
所以一个因数是24,另一个因数是25。
方方和圆圆做一道乘法式题,方方误将一个因数增加14,计算的积增加了84,圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168。
那么,正确的积应是多少?
由“方方将一个因数增加14,计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷
14=6;
又由“圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168”可知,这个因数是168÷
14=12。
所以正确的积应是12×
6=72。
长方体和正方体A
专题简析
在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况:
把一个物体变形为另一种形状的物体;
把两个物体熔化后铸成一个物体;
把一个物体浸入水中,物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题,必须掌握这样几点:
1,将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;
2,两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和;
3,物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。
例题1有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。
从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;
乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?
分析由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:
把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×
水面的高度。
这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:
40×
32×
20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:
32+30×
24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。
例2将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。
分析因为正方体的六个面都相等,而54=6×
9=6×
3),所以这个正方体的棱是3厘米。
用同样的方法求出另两个正方体的棱长:
96=6×
(4×
4),棱长是4厘米;
150=6×
(5×
5),棱长是5厘米。
知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
例题3有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中,水面上升多少分米?
分析铁块的体积是2×
2×
2=8(立方分米),把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空间,因此,水上升的体积也就是8立方分米,用这个体积除以底面积(5×
4)就能得到水上升的高度了。
例题4有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?
分析首先求出水的体积:
30×
20×
6=3600(立方厘米)。
当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是20×
10=200平方厘米的长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
例题5长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米?
分析长方体不同的三个面的面积分别是长×
宽、长×
高、宽×
高得来的。
因此,15×
10×
6=(长×
宽×
高)×
(长×
高),而15×
6=900=30×
30。
所以,这个长方体的体积是30立方厘米。
长方体和正方体B
在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:
1,必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2,依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3,求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。
例题1一个零件形状大小如下图:
算一算,它的体积是多少立方厘米?
表面积是多少平方厘米?
分析
(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×
4×
2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×
(6-2)×
2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×
2=160(立方厘米);
(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;
朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此,此零件的表面积就是(10×
6+10×
4+2×
2)×
2=232(平方厘米)。
想一想:
你还能用别的方法来计算它的体积吗?
例题2有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?
分析
(1)先求出长方体的体积,8×
5×
6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了2×
2=8(立方厘米),这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整的表面积是(8×
5+8×
6+6×
5)×
2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(2×
2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(2×
2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236+2×
4=252(平方厘米)。
例题3一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米?
分析一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是50÷
4=12.5(平方厘米)。
正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.5×
6=75(平方厘米)。
例题4把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
分析要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知,a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×
2=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。
例题5一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少?
分析长方体的前面和上面的面积是长×
宽+长×
高=长×
(宽+高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=11×
19=11×
(17+2),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。
知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
长方体和正方体C
解答有关长方体和正方体的拼、切问题,除了要切实掌握长方体、正方体的特征,熟悉计算方法,仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外,还必须知道:
把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。
例题1一个棱长为6厘米的正方体木块,如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块,表面积增加多少厘米?
分析把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体,可以按下图中的线共锯6次,每锯一次就增加两个6×
6=36平方厘米的面,锯6次共增加36×
6=432平方厘米的面积。
因此,锯好后表面积增加432平方厘米。
例题2有一个正方体木块,把它分成两个长方体后,表面积增加了24平方厘米,这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米?
分析把正方体分成两个长方体后,增加了两个面,每个面的面积是24÷
2=12平方厘米,而正方体有6个这样的面。
所以原正方体的表面积是12×
6=72平方厘米。
例题3有一个正方体,棱长是3分米。
如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体,这些小正方体的表面积的和是多少?
在切的过程中,每切一切,就会增加两个3×
3平方分米的面,你能用这种思路来计算所求问题吗?
例题4一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中:
(1)三个面涂有红色的有几个?
(2)二个面涂有红色的有几个?
(3)一个面涂有红色的有几个?
(4)六个面都没有涂色的有几个?
分析按题中的要求切,切成的小正方体一共有3×
3×
3=27个。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,共有8个;
(2)二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上,共有1×
12=12个;
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上,共有1×
6=6个;
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间,有27-(8+12+6)=1个。
例题5一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米,若把它切割成三个体积相等的小长方体,这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米?
分析这个长方体原来的表面积是(6×
5+6×
4+5×
4)×
2=148平方厘米,每切割一刀,增加2个面。
切成三个体积相等的小长方体要切2刀,一共增加2×
2=4个面。
要求表面积和最大,应该增加4个6×
5=30平方厘米的面。
所以,三个小长方体表面积和最大是148+6×
4=268平方厘米。
图形问题A
解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点:
1,细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决;
2,从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。
人民路小学操场长90米,宽45米。
改造后,长增加10米,宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米?
用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积。
操场现在的面积是(90+10)×
(45+5)=5000平方米,操场原来的面积是90×
45=4050平方米。
所以,现在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。
一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米;
如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米?
由“宽不变,长增加6米,面积增加54平方米”可知,它的宽为54÷
6=9米;
由“长不变,宽减少3米,面积减少36平方米”可知,它的长为36÷
3=12米。
所以,这个长方形原来的面积是12×
9=108平方米。
下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占地面积。
根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加一条宽等于16米。
而宽是4米,那么长是(16-4)÷
2=6米,占地面积是6×
4=24平方米。
街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米?
把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。
因此,一个长方形的面积是12÷
4=3平方米。
因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是3÷
1=3米。
从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是3-1=2米。
中间花坛的面积是2×
2=4平方米。
一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图),面积比原来的正方形减少181平方分米。
原正方形的边长是多少?
把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+8×
5=221平方分米,长是原来正方形的边长,宽是8+5=13分米。
所以,原来正方形的边长是221÷
13=17分米。
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