4113四种命题间的相互关系Word文档格式.docx
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(3)一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
假
(4)当判断一个命题的真假比较困难时,可以利用它与逆否命题真假的等价性来证明.
类型一 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)若x∈A,则x∈A∪B;
(2)若a,b都是偶数,则a+b是偶数;
(3)在△ABC中,若a>
b,则A>
B.
解
(1)逆命题:
若x∈A∪B,则x∈A.
否命题:
若x∉A,则x∉A∪B.
逆否命题:
若x∉A∪B,则x∉A.
(2)逆命题:
若a+b是偶数,则a,b都是偶数.
a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.
(3)逆命题:
在△ABC中,若A>
B,则a>
b.
在△ABC中,若a≤b,则A≤B.
在△ABC中,若A≤B,则a≤b.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练1 命题“若函数f(x)=logax(a>
0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<
0”的逆否命题是( )
A.若loga2<
0,则函数f(x)=logax(a>
0,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>
C.若loga2<
0,a≠1)在其定义域内是减函数
D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 直接根据逆否命题的定义,将其条件与结论进行否定,再互换,值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”,而应写成不是减函数.
命题角度2 四种命题的相互关系
例2 若命题p:
“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r与p的逆命题的关系是( )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.同一命题
解析 已知命题p:
若x+y=0,则x,y互为相反数.
命题p的否命题q为:
若x+y≠0,则x,y不互为相反数,
命题q的逆命题r为:
若x,y不互为相反数,则x+y≠0,
∴r是p的逆否命题,
∴r是p的逆命题的否命题,故选B.
反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断;
(2)巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字,是互否关系;
而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a,b满足a=1且b=2,则a+b<
4”,则命题p的否命题是__________________________________.
答案 若实数a,b满足a+b≥4,则a≠1或b≠2
解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.
类型二 四种命题的真假判断
例3 有以下命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题,其中真命题为( )
A.①②B.②③
C.④D.①②③
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 D
解析 ①②③显然正确;
对于④,若A∩B=B,则B⊆A,
所以原命题为假,故它的逆否命题也为假.
反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,与逆命题或否命题的真假性没有关系.逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.
跟踪训练3 命题“若a>
b,则ac2>
bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.2C.3D.4
解析 命题“若a>
bc2(a,b,c∈R)”是假命题,
则其逆否命题是假命题.
该命题的逆命题为“若ac2>
bc2,则a>
b(a,b,c∈R)”是真命题,则其否命题是真命题.故选B.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
解 方法一 原命题的逆否命题:
已知a,x为实数,若a<
1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅,判断如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
令x2+(2a+1)x+a2+2=0,
则Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<
1,所以4a-7<
0,
即关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.
因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
所以(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,解得a≥
≥1,
所以原命题为真,故其逆否命题为真.
引申探究
判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>
0的解集为R,则a<
”的逆否命题的真假.
解 先判断原命题的真假如下:
因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>
0的解集为R,且抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<
所以a<
.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假,
所以原命题的逆否命题为真命题.
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的两个命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
跟踪训练4 证明:
若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
证明 “若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
∵a=2b+1,
∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1
=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1
=0.
∴命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
1.命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析 原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.
∴所求命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
2.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是( )
A.真命题
B.假命题
C.不一定是真命题
D.不一定是假命题
答案 A
解析 由否命题与逆命题互为逆否命题,可知这个命题的逆命题是真命题.
3.下列命题:
①“全等三角形的面积相等”的逆命题;
②“正三角形的三个内角均为60°
”的否命题;
③“若k<
0,则方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题;
②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°
”为真命题;
③当k<
0时,Δ=(2k+1)2-4k=4k2+1>
0,方程有两相异实根,原命题与其逆否命题均为真命题.
4.已知命题“若m-1<
x<
m+1,则1<
2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.
题点 由四种命题的真假求参数的范围
答案 [1,2]
解析 命题:
“若m-1<
2”的逆命题为“若1<
2,则m-1<
m+1”,该逆命题为真命题,
∴由
得1≤m≤2.
5.写出命题“已知a,b∈R,若a2>
b2,则a>
b”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
解 逆命题:
已知a,b∈R,若a>
b,则a2>
b2;
已知a,b∈R,若a2≤b2,则a≤b.
已知a,b∈R,若a≤b,则a2≤b2.
因为原命题是假命题,所以逆否命题也是假命题;
因为逆命题是假命题,所以否命题也是假命题.
1.写四种命题可以按以下步骤进行:
(1)找出命题的条件p和结论q.
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.
(3)按照四种命题的结构写出所有命题.
2.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.
40分钟课时作业
一、选择题
1.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥
”的否命题是( )
A.若a2+b2<
,则a+b≠1
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a+b≠1,则a2+b2<
D.若a2+b2≥
,则a+b=1
解析 “a+b=1”,“a2+b2≥
”的否定分别是“a+b≠1”,“a2+b2<
”,故否命题为“若a+b≠1,则a2+b2<
”.
2.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )
A.互逆命题B.互否命题
C.互为逆否命题D.以上都不正确
解析 设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题.
3.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>
2016,则x>
0”的逆命题
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题
C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”
D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题
解析 A选项,“若x>
0”的逆命题为“若x>
0,则x>
2016”是假命题;
B选项,“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0,则xy≠0”是真命题;
C选项,由x2+x-2=0,得x=1或x=-2,故C是假命题;
D选项,“若x2≥1,则x≥1”是假命题,故其逆否命题是假命题.
4.已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
解析 命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”是真命题,故其逆否命题是真命题.
该命题的逆命题为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,故其否命题也是假命题,故选B.
5.命题p:
若A∩B=B,则A⊆B;
命题q:
若A⃘B,则A∩B≠B,那么命题p与命题q的关系是( )
C.互为逆否命题D.不能确定
解析 由逆否命题的定义可得.
6.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,则s是t的( )
A.逆否命题B.逆命题
C.否命题D.原命题
解析 特例:
p:
若∠A=∠B,则a=b;
r:
若∠A≠∠B,则a≠b;
s:
若a≠b,则∠A≠∠B;
t:
若a=b,则∠A=∠B.
7.下列命题:
(1)若“a2<
b2,则a<
b”的逆命题;
(2)“全等三角形面积相等”的否命题;
(3)“若a≥0,则ax2-2ax+a+3>
0的解集为R”的逆否命题;
(4)“若
x(x≠0)为有理数,则x为无理数”.其中正确的命题是( )
A.(3)(4)B.
(1)(3)
C.
(1)
(2)D.
(2)(4)
解析 对于
(1),逆命题是“若a<
b,则a2<
b2”,易知是假命题;
对于
(2),否命题是“若两个三角形不全等,则这两个三角形的面积不相等”,易知是假命题;
对于(3),结论成立的条件是
a=0或
故a≥0,原命题与其逆否命题真假性相同,
所以(3)正确;
对于(4),若x为有理数,则
x必为无理数,因为
x为有理数,
故x为无理数,则(4)正确,故选A.
二、填空题
8.命题“若x=3,y=5,则x+y=8”的逆命题是____________________;
否命题是____________________,逆否命题是____________________.
答案 若x+y=8,则x=3,y=5
若x≠3或y≠5,则x+y≠8
若x+y≠8,则x≠3或y≠5
9.下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有________;
互为否命题的有______;
互为逆否命题的有________.
答案 ②和④,③和⑥ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;
命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;
命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
10.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<
0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________.
答案 1
解析 原命题是真命题,则其逆否命题是真命题,该命题的逆命题是假命题,则其否命题也是假命题,故答案为1.
11.给定下列命题:
①“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”的逆否命题;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-
是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>
1且b>
1,则a+b>
2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
答案 ①
解析 显然①为真;
②为假;
对于③中,原命题“若x-
是有理数,则x是无理数”为假命题,所以其逆否命题为假命题;
对于④中,“若a>
2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”为假命题.
三、解答题
12.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
(1)当m>
时,mx2-x+1=0无实根;
(2)当abc=0时,a=0或b=0或c=0.
当mx2-x+1=0无实根时,m>
,真命题;
当m≤
时,mx2-x+1=0有实根,真命题;
当mx2-x+1=0有实根时,m≤
,真命题.
当a=0或b=0或c=0时,abc=0,真命题;
当abc≠0时,a≠0且b≠0且c≠0,真命题;
当a≠0且b≠0且c≠0时,abc≠0,真命题.
13.判断命题:
“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假.
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题的真假即可.
方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,
因为b≤-1,所以Δ≥4>
故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>
-1”.
因为方程无实根,所以Δ<
0,即-4b<
0,所以b>
-1成立,即原命题的逆否命题为真.
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