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三元素子集{,{},{a}},{,{},{,a}},{,{a},{,a}},{{},{a},{,a}}},
四元素子集{,{},{a},{,a}}。
1.2.6证:
设a=c且b=d,∴{a}={c}且{a,b}={b,d}∴{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}。
设{{a},{a,b}}={{c},{c,d}},∴{a}在{{c},{c,d}}中,∴{a}={c}或{a}={c,d}
∵{a}是单元素集,而{c,d}是双元素集,∴只能{a}={c},∴a=c
同理{a,b}={c,d},又∵a=c,∴b=d※
P11习题1.3
1.3.1解⑴{0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,150,…};
⑵;
⑶{3,4,5,6};
⑷{0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}。
1.3.2解:
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},B={1,2,3,4,5,6,7,8}
C={2,4,6,8,…},D={3,6,9,12,…},E={1,3,5,7,…}
⑴B∩C;
⑵A∩D;
⑶(A∩C)B;
⑷CB;
⑸(A∩C)∪(EB)。
1.3.3⑴证:
例A={1,2},B={1},C={2}。
A∪B=A∪C=A,但B≠C。
⑵答:
能。
证1:
∵A∪B=A∪C,∴(A∪B)∩B=(A∪C)∩B,∴B=(A∪C)∩B,
∴B=(A∩B)∪(B∩C)=(A∩C)∪(B∩C)=(A∪B)∩C=(A∪C)∩C=C。
证2:
xB
①若xA,则xA∩B,∵A∩B=A∩C,∴xA∩C,∴xC;
②若xA,而xA∪B,又∵A∪B=A∪C,∴xA∪C,又∵xA,∴xC
∴BC,同理可证得CB,∴B=C。
※
1.3.4证:
例U={1,2},A={1},B={2},AB={1},而BA={2},∴AB≠BA,
∴差运算不满足交换律。
1.3.5证:
用互为子集法证明。
仅证明⑴。
x
,∴x
,∴SC,∴xS,即SC,x
,
∴x
,∴
;
,∴SC,x
,∴SC,∴xS,∴x
∴
=
1.3.6证:
xB∩(
),∴xB且x
,∴xB且SC,xS,∴xB∩S,
,∴B∩(
)
;
,∴SC,xB∩S,∴xB且xS,∴xB且x
∴xB∩(
),∴
B∩(
);
∴B∩(
)=
1.3.7解⑴(a)(A∩B)∪(
);
(b)A∩B∩C;
(c)(A∩C)B。
⑵①②③
P13习题1.4
1.4.1解⑴{(a,0,c),(a,1,c),(b,0,c),(b,1,c)}
⑵{((c,c),a),((c,c),b)}
⑶{((a,c),(a,c)),((a,c),(b,c)),((b,c),(a,c)),((b,c),(b,c))}
1.4.2证:
用互为子集法证明。
(x,y)(A∩B)×
(C∩D)∴xA∩B且yC∩D
∴xA且xB且yC且yD
∴(x,y)A×
C且(x,y)B×
D
∴(x,y)(A×
C)∩(B×
D)
∴(A∩B)×
(C∩D)(A×
同样方法可证得:
(A×
D)(A∩B)×
(C∩D)
(C∩D)=(A×
D)※
1.4.3证:
反证法:
设AΦ且BΦ且AB
∴xA且xB或者yB且yA
若xA且xB,则对bB,有(x,b)A×
B,但(x,b)B×
A,∴A×
BB×
A。
若yB且yA,则对aA,有(a,y)A×
B,但(a,y)B×
若A=Φ,A×
B=B×
A=Φ
若B=Φ,A×
A=Φ∴A×
A
若A=B,A×
A※
1.4.4答:
6小题全为假。
证:
⑴例A={a},B={b},x=aA但y=cB,也有(x,y)=(a,c)A×
B。
⑵∵B2B但BB,∴对x2A,(x,B)2A×
2B,但(x,B)2A×
B
∴2A×
B2A×
2B。
⑶例A={1},B={2},C=Φ,则AC=B×
C=Φ,但AB。
⑷例A={1},B=C=Φ,D={3}
(A∪B)×
(C∪D)={1}{3}={(1,3)}(A×
C)∪(B×
D)=Φ∪Φ
⑸例A=B={1},C={2},D={3}
(A-B)×
(C-D)=Φ×
(C-D)=Φ(A×
C)-(B×
D)={(1,2)}-{(1,3)}={(1,2)}
⑹例A=B={1},C={2},D={3}
(AB)×
(CD)=Φ×
(CD)=Φ
(A×
C)(B×
D)={(1,2)}{(1,3)}={(1,2),(1,3)}
1.4.5证:
(x,y)A×
(B-C),∴xA且yB-C,∴yB且yC
∴xA且yB且xA且yC,∴(x,y)A×
B且(x,y)A×
C
B)-(A×
C),∴A×
(B-C)(A×
C);
(x,y)(A×
C),∴(x,y)A×
C,
∴xA且yB且xA且yC,∴xA且yB-C,
(B-C),∴(A×
C)A×
(B-C);
∴A×
(B-C)=(A×
C)※
P14习题1.5
1.5.1解:
设A为学英语的学生集合,B为学日语的学生集合。
∴|A|=45,|B|=30,45≤|A∪B|≤60
∵|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,∴15≤|A∩B|≤30。
1.5.2解设能被2,3,5,7整除的整数集合分别为:
A2,A3,A5,A7。
∴|A2|=125,|A3|=83,|A5|=50,|A7|=35,|A2∩A3|=|A6|=41,|A2∩A5|=|A10|=25
|A2∩A7|=|A14|=17,|A3∩A5|=|A15|=16,|A3∩A7|=|A21|=11,|A5∩A7|=|A35|=7
|A2∩A3∩A5|=|A30|=8,|A2∩A3∩A7|=|A42|=5
|A2∩A5∩A7|=|A70|=3,|A3∩A5∩A7|=|A105|=2
|A2∩A3∩A5∩A7|=125+83+50+35-41-25-17-16-11-7+8+5+3+2-1=193
1.5.3解:
已知|数|=67,|物|=47,|生|=95
|数∩物|=28,|数∩生|=26,|物∩生|=27
|数∪物∪生|=200-50=150
|数∪物∪生|=|数|+|物|+|生|―|数∩物―|数∩生|
―|物∩生|+|数∩物∩生|
∴150=67+47+95-26-27-28+|数∩物∩生|
∴|数∩物∩生|=22。
各小区的内容详见右图。
P19习题1.6
1.6.1解:
⑴设D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},所要定义的集合为A;
①xD,xA
②x,yA,xyA
③只有有限次地运用①②步所生成的元素属于A,否则不属于A。
⑵设D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},所要定义的集合为A;
①xD,x.A
②xD,yA,xyA且yxA
⑶设所要定义的集合为A
①0A
②xA,x+2(10)2A
⑷设所要定义的集合为A
①[]A
②x,yA,xyA且[x]A
1.6.2解:
可以,但从1开头,即从{a}开头,|a|=1。
1.6.3解:
⑴去掉第一条,所得模型为空集Φ。
⑵去掉第二条,所得模型为无穷有根多元树,即表示一个元素可有多个后继。
⑶去掉第三条,所得模型为{0},且0=0。
⑷去掉第三条,所得模型为{0,1,2},0=1,1=2,2=1。
⑸去掉第三条,所得模型为{0,x1,x2,…,y1,y2,…},0=x1,iI+,xi=xi+1,yi=yi+1。
1.6.4证:
⑴基础:
8=5+3。
⑵归纳:
kN且8<
k,假设n=k时,可表示为:
k=5p+3q
当n=k+1时,
若在k分邮资的组合中,至少有一枚5分的邮票,则把该5分的邮票换成两张3
分的邮票,就实现了k+1分邮资的组合。
若在k分邮资的组合中,没有5分的邮票,则因k>
8,所以至少有3张3分的邮
票。
把这三张三分的邮票换成两张5分的邮票,就实现了k+1分邮资的组合。
1.6.5证:
当n=2时,本身为质数,自然成立。
kN且2<
k,假设当n<
k时,n可写为若干质数之积
当n=k时,若k为质数,自然成立。
若k为和数,则k可写为p与q的积,此时因p,q均小于k,根据归纳假设,p和q
均可写为若干质数之积,故n=k=pq也可写为若干质数之积。
1.6.6⑴证:
a,bN,对c施以归纳证明
当c=0时,a+(b+0)=a+b=(a+b)+0
假设当c=n时,a+(b+n)=(a+b)+n
当c=n时,a+(b+n)=a+(b+n)=(a+(b+n)),(a+b)+n=((a+b)+n)
根据归纳假设,a+(b+n)=(a+b)+n,∴a+(b+n)=(a+b)+n
∴a,b,cN,a+(b+c)=(a+b)+c。
⑵①mNm×
0=0;
②m,nNm×
n=(m×
n)+m
⑶①m,nN,m≠0,n≠0,m0=1,0n=0;
②m,nN,m≠0,
=mn×
m
⑷①mNm<
m;
②m,nN若m<
n,则m<
n。
P23习题1.7
1.7.1解:
⑴A2={,a,aa};
⑵C3={ababab};
⑶CAB={aba,abb,abaa,abab}
⑷A+={,a,a2,a3,…}={an|nN};
⑸C*={,ab,(ab)2,(ab)3,…}={(ab)n|nN}。
1.7.2证:
⑵xA{},必aA,使x=a=a,∴xA,∴A{}A;
xA∵x=x∴xA{}∴AA{};
∴A=A{}。
⑶x(AB)C,必aA,bB且cC,使x=(ab)c
∵串的连接运算满足结合律,∴x=a(bc)A(BC),∴(AB)CA(BC);
同理可证得A(BC)(AB)C,∴A(BC)=(AB)C。
1.7.3证:
⑴xA(B∩C),必aA,且bB∩C,使x=ab,∴bB且bC
∵aA且bB,∴x=abAB;
又∵aA且bC,∴x=abAC;
∴xAB∩AC,∴A(B∩C)AB∩AC。
⑵例A={,a},B={},C={a};
∴A(B∩C)=AΦ=Φ
AB∩AC={,a}∩{a,aa}={a},A(B∩C)AB∩AC。
1.7.4证:
⑶证A*A*=A*
xA*A*,必m,nN使x=AmAn=Am+n
又∵Am+nA*∴xA*∴A*A*A*
xA*∵A*∴xA*A*∴xA*A*∴A*A*A*
∴A*A*=A*
证(A*)*=A*
x(A*)*,必nN使x(A*)n
又∵…x(A*)n∴xA*∴(A*)*A*
又∵A*(A*)*∴(A*)*=A*※
⑷证:
证(A*)+=A*
∵A*,根据⑵,∴(A*)+=(A*)*,又根据⑶,∴(A*)+=A*
证(A+)*=A*
∵A+A*根据定理1.14⑷,∴(A+)*(A*)*,又根据⑶,∴(A+)*A*
又∵AA+根据定理1.14⑷A*(A+)*,∴(A+)*=A*。
⑸证A*A+=A+A*
根据⑴,A+(A*)*=(A+)*A+,根据⑷,A+A*=A*A+。
证A*A+=A+
xA*A+,必aA*,bA+,使x=abA*A+
又∵A*={}∪A+
若a{},即a=,∴x=ab=b=bA+
若aA+,∵bA+,∴必m,nN,使aAm,bAn
∴x=abAmAn=Am+nA+,∴A*A+A+
又根据定理1.14⑶,A+A*A+,∴A*A+=A+※
1.7.5证:
⑴根据定理1.15⑹,(A*B*)*=(A∪B)*,(B*A*)*=(B∪A)*
∵A∪B=B∪A,∴(A*B*)*=(B*A*)
⑵AA*,根据定理1.14⑴,A*A*B*A*B*C*,∴AA*B*C*
同理B,CA*B*C*∴A∪B∪CA*B*C*
⑶根据定理1.15⑴,A+(A+)*=(A+)+,
根据定理1.15⑷,(A+)*=A*,∴A+(A+)*=A+A*=(A+)+
根据定理1.15⑸,A+A*=A+,∴A+)+=A+。
注:
本教材中定理1.15⑸的结尾“=A*”是错误的,应为“=A+”。
⑷x(AB)*A,必a(AB)*,bA,使x=ab
∴必nN,使a(AB)n,∴x(AB)nA。
又∵连接积运算满足结合律,
∴(AB)nA=(AB)(AB)…(AB)A=A(BA)(BA)…(BA)=A(BA)n
∴x=abA(BA)n,∴aA,b(BA)n
又∵(BA)n(BA)*,∴b(BA)*,∴xA(BA)*,∴(AB)*AA(BA)*
同理可证得A(BA)*(AB)*A,∴(AB)*A=A(BA)*。
⑸∵AA∪B∪C∪D,根据定理1.14⑷,∴A*(A∪B∪C∪D)*
同理B*,C*,D*(A∪B∪C∪D)*
根据定理1.10⑷,∴A*B*C*D*[(A∪B∪C∪D)*]4
根据定理1.13⑵,∴[(A∪B∪C∪D)*]4[(A∪B∪C∪D)*]*
根据定理1.15⑶,[(A∪B∪C∪D)*]*=(A∪B∪C∪D)*
∴A*B*C*D*(A∪B∪C∪D)*
又根据定理1.14⑷,(A*B*C*D*)*[(A∪B∪C∪D)*]*
根据定理1.15⑶,∴(A*B*C*D*)*(A∪B∪C∪D)*
又∵AA*,根据定理1.14⑴,∴AA*A*B*A*B*C*A*B*C*D*
同理B,C,DA*B*C*D*,∴A∪B∪C∪DA*B*C*D*
根据定理1.14⑷,∴(A∪B∪C∪D)*(A*B*C*D*)*
∴A*B*C*D*=(A∪B∪C∪D)*※
1.7.6解:
⑴∑={a},n=2,A={a},∴(A*)n={a,a2,a3,…}=A*
而(A*)*={,a2,a4,a6,…}A*,∴二者不相等。
⑵∑={a,b},A={a},B={b},∴(AB)*={,ab,(ab)2,…}
而(BA)*={,ba,(ba)2,…},∴二者不相等。
⑶A={,a},B={,b},C={,a,b},∴(A-B)C={a}C={a,aa,ab}
而AC-BC={,a,b,aa,bb}-{,a,b,ba,bb}={aa,bb},∴二者不相等。
⑷A={,a},B={a},A*={,aa2,a3,…}=B*,但A不是B的子集。
⑸∑={a},A={a},
=∑*-A={,a2,a3,…},(
)*={,a2,a3,…}=
但A*=∑*,
=∑*-A*=Φ,∴(
)*
⑹A={a},B={b},根据定理1.15⑹,(A*∪B*)*=(A∪B)*
bab(A∪B)*,但bab(A*B*)A*,∴二者不相等。
⑺A={a},aA+,但A+A+={a2,a3,a4,…},∴aA+A+,∴二者不相等。
1.7.7解:
⑴∑*-{aa,ab,ba,bb}*⑵{b}*{a}{b}*⑶{ab}∑*∪∑*{abb}∪{a,bb}
⑷∑*{aaa}∑*或{b,a3,a4,a5}*-(b)*⑸∑*{bbab}∑*
1.7.8证:
⑴先证A。
反证:
假设A,∵AΦ,不妨设A={a},那么A2={aa}
显然A2A,与前提条件A2=A矛盾!
⑵归纳证明An=A。
当n=1时,A=A成立。
假设当n=k时,Ak=A成立;
当n=k+1时,∵Ak+1=AkA,根据归纳假设,Ak=A
∴Ak+1=AA=A2=A
⑶xA*,若x=,则∵A(⑴已证),∴xA
若x,则必nN,使xAn。
又∵An=A,∴xA∴A*A。
又∵AA*,∴A*=A※
P26习题2.1
2.1.1解:
⑴R={(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)};
⑵R={(1,1),(4,2)}
2.1.2解:
⑴R={(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2)}
⑵R={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
⑶R={(0,0,0),(0,1,1),(0,2,2),(0,3,3),(0,4,4),(1,0,1),(1,1,2),(1,2,3),(1,3,4),(2,0,4)}
⑷R={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)}
⑴⑵⑷
2.1.3解:
2.1.4⑴定义:
①(0,0)R且(1,0)R
②若(a,b)R,则(a+1,b)R且(a+1,b+1)R
③极小性
(0,0)R(基础),∴(2,0)R,∴(3,1)R(归纳)。
⑵定义:
①(0,0)R
②若(a,b)R,则(a+2,b+1)R
(0,0)R(基础),∴(2,1)R,∴(4,2)R,∴(6,3)R(归纳)。
⑶定义:
①(0,0,0)R
②若(a,b,c)R,则(a+1,b,c+1)R且(a,b+1,c+1)R
(0,0,0)R(基础),∴(1,0,1)R,∴(1,1,2)R(归纳)
2.1.5解:
⑴R∪S={(1,2),(1,3),(2,4),(3,3),(4,2)},R∩S={(2,4)},R-S={(1,2),(3,3)}
={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
⑵D(R)={1,2,3},R(R)={2,3,4},D(R∪S)=A,R(R∪S)={2,3,4}
2.1.6证:
⑴xD(R∪S),则根据定义域的定义,必yA,使(x,y)R∪S
∴(x,y)R或(x,y)S,∴xD(R)或xD(S)
∴xD(R)∪D(S),∴D(R∪S)D(R)∪D(S)
xD(R)∪D(S),∴xD(R)或xD(S)
若xD(R),则必yA,使(x,y)R,当然(x,y)R∪S,∴xD(R∪S)
若xD(S),则必yA,使(x,y)S,当然(x,y)R∪S,∴xD(R∪S)
∴xD(R∪S),∴D(R)∪D(S)D(R∪S)
∴D(R∪S)=D(R)∪D(S)
⑵yR(R∩S),则必xA,使(x,y)R∩S
∴(x,y)R且(x,y)S,∴xD(R)且xD(S)
∴xD(R)∩D(S),∴D(R∩S)D(R)∩D(S)※
2.1.7证明:
∵|A×
A|=n2,又∵A×
A的任一子集为一个二元关系,
而A×
A有
个不同的子集,∴就有
个不同的二元关系。
P29习题2.2
自反的
反自反的
对称的
反对称的
传递的
=
○
≤
<
×
I×
I
2.2.1解:
2.2.2解:
自反、对称、反对称、传递反对称、传递传递
2.2.3解:
⑴反对称、传递;
⑵反自反、对称;
⑶自反、对称、传递
⑷反自反、反对称、传递;
⑸反对称;
⑹反自反、
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