九年级数学上册第1章《菱形的性质与判定2》优质教案北师大版文档格式.docx
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由判定定理知道,当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是一个菱形,所以两个答案都可以.
点拨:
熟练掌握菱形的判定方法即可解答此题.
2.如图,等边△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的中点,则图中有________个菱形.
3
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∵D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点,
∴DF=
BC,DE=
AC,EF=
AB,
∴DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BD,
∴有3个菱形:
菱形ADEF,菱形BDFE,菱形CFDE.
故答案为3.
根据等边三角形和中位线的性质可得DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BD.再根据菱形的判定定理即可解答此题
3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC=CD,点E为AB上一点,连接CE.请添加一个你认为合适的条件_______________,使四边形AECD为菱形.
AD//CE或AD=AE或∠CEB=∠B等
当AD//CE,
∵AB//CD,∴四边形AECD为平行四边形.又∵AD=CD,∴四边形AECD为菱形.
当AD=AE,
∵AD=CD,∴AE=CD.又∵AB//CD,∴四边形AECD为平行四边形.∴四边形AECD为菱形.
当∠CEB=∠B;
∵等腰梯形中,∠A=∠B,∴∠A=∠CEB.∴AD//CE.又∵AB//CD,∴四边形AECD为平行四边形.∴四边形AECD为菱形.
利用平行四边形和菱形的判定定理,先证平行四边形,再证菱形.
(二)课堂设计
1、知识回顾
内容:
通过练习复习上节课所探究的菱形的性质.
1)菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则菱形的周长是______
2)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°
,AB的垂直平分线交对角线AC与点F,垂足为点E,连接DF,则∠CDF等于________
设计意图:
通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理,从而为本节课的继续探究,尤其是理论证明做铺垫。
注意事项及效果:
鼓励学生主动讲解、相互补充完成本部分内容.
2、情境引入
红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红色丝带别在胸前,你知道红丝带的折叠部分的形成的图形是怎样的吗?
学生交流,发言:
是菱形.
引入除菱形的定义可以判定菱形外,还有其他的条件可以判断一个平行四边形是菱形吗?
结合课前做菱形的经历想一想,与同伴交流彼此的看法.
以问题的形式展开课堂,激发学生对本节知识的学习兴趣和好奇心,同时提出学生的手工操作激发学生的积极性和主动性,学生通过小组交流得到本节课的知识点,也增强了小组交流合作的能力。
给出学生时间思考讨论,不要流于形式.
3、探究发现
1.展示交流
利用实物投影或者课件,请学生说明自己制作的菱形的过程,教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源,引导学生认识到理论证明的必要性,并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。
用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源:
(1)对角线垂直的平行四边形是棱形
(2)四条边相等的四边形是菱形
(3)菱形的尺规作图
(4)利用长方形纸剪折菱形
菱形的性质学生刚刚学完,也经过了严格的证明,学生对问题证明的分析和格式要求有一定的认知,教师引导学生认识判定定理与性质定理是互逆定理后,可以让学生独立思考,逐步锻炼学生的推理论证能力,最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明,培养严谨的作风。
通过小组合作,在合作中让学生相互帮助共同进步。
(1)在学生的展示过程中教师要能及时扑捉学生资源;
(2)展示交流时,应当鼓励学生提出自己的意见,鼓励学生多提“为什么”,鼓励学生质疑,从而使学生认识到证明的必要性。
(3)如果学生资源不足,教师可以运用课件展示教材上的课例。
通过这种师生活动充分调动学生的积极性,通过深入提问开阔学生思维.
2.合作论证
组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明,并进行全班交流。
(一)对角线垂直的平行四边形是菱形
已知:
如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.图1—3
求证:
□ABCD是菱形
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
图1-4
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
(二)四条边相等的四边形是菱形
如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
四边形ABCD是菱形
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识,再对比性质定理的证明进行.同时,通过教师引导和独立思考,培养学生遇到题目时冷静思考,找到解题思路的良好习惯。
在分析思路时,逐步锻炼学生的推理论证能力,最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明,培养严谨的作风。
可以通过分组的形式,让学生选择自己要证明的判定定理,加入那个小组,每个小组去证明一个定理,这样不仅有利于学生的合作交流,同时还能合理安排课堂时间,让学生把精力投入到对思想方法的研究上去;
同时,采取小组合作时,应当鼓励学生提出自己的意见,鼓励发现更多的方法来证明这些定理,在小组讨论形成结果的时候,由代表为其他同学进行讲解,并把自己组所有想到的方法向大家展示。
此时,教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨,对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法,对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。
4、知识运用
小组合作完成教材中的两个习题
1.教材P7随堂练习
画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.
2.教材P7知识技能1
图1-5
如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.
四边形AECF是菱形
运用刚刚证明的两个判定定理解决问题,进一步发展学生的推理能力,同时,通过对教材P7随堂练习的解决,让学生找寻不同的解题方法,培养学生的分析能力,深刻体会数学思想的多样性和灵活性。
在一题多解的过程中,贯彻分层教学的理念,让学生在思维最活跃的时候,最大化地提高学生能力。
注意事项及其效果:
(1)在小组合作过程中教师要能及时发现学生资源,及时点明共性的问题;
(2)鼓励学生提出自己的意见,采用不同的思路解决问题,并能运用本节课的知识解释其中的道理。
(3)强调证明过程书写的规范性;
(4)教材P7知识技能1.此题完成证明过程后,应当点明可以采用类似方法用长方形纸制作菱形,与第一环节呼应起来。
5、随堂检测
一.选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D
对角线互相垂直平分的四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
故选:
D.
根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答.
2.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°
,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是( )
A.4
B.3
C.2
D.
B
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,∠B=∠D=60°
,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴根据等面积有BC×
AE=CD×
AF,∠BAE=∠DAF=30°
∴AE=AF,
∵∠B=60°
∴∠BAD=120°
∴∠EAF=120°
﹣30°
=60°
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF,∠AEF=60°
∵AB=4,
∴BE=2,
∴AE=
=2
∴EF=AE=2
过A作AM⊥EF,
∴∠EAM=30°
,∴EM=
AE=
AM=
∴△AEF的面积是:
EF•AM=
×
2
3=3
.
B.
首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可判断出△AEF是等边三角形,再根据30°
角所对的直角边等于斜边长的一半得出所对直角边BE的值,从而得出AE的值。
再过A作AM⊥EF,再进一步利用30°
角所对的直角边等于斜边长的一半得出EM的长,从而得到AM的长,即可算出三角形的面积.
二、填空题
3.如图,点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足 条件时,四边形EFGH是菱形.
AB=CD
需添加条件AB=CD.
∵E,F是AD,DB中点,
∴EF∥AB,EF=
∵H,G是AC,BC中点,
∴HG∥AB,HG=
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵E,H是AD,AC中点,
∴EH=
CD,
∵AB=CD,
∴EF=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
故答案为:
AB=CD.
首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB,EF=
AB,HG∥AB,HG=
AB,可得四边形EFGH是平行四边形,再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,添加条件AB=CD后,证明EF=EH即可.
6、课堂小结
自由发言谈本节课的困惑、收获和体会。
知识点
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(2)四条边都相等的四边形是菱形.
作业布置
(1)教材P7知识技能2(两种方法证明)
(2)教材P7数学理解3
7、分层作业
基础型
1.四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;
②AB=CD;
③AC⊥BD;
④AD=BC;
⑤AD∥BC,这五个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有( )
A.1种B.2种C.3种D.4种
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形;
∴①②③能使四边形ABCD是菱形;
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形;
∵AD=BC,AD∥BC,
∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形;
∵AB=CD,AD=BC,
∴②③④能使四边形ABCD是菱形;
∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种.
由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种,即可得出结论.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(
,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是( )
A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
B.向左平移
个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移
D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
过B作射线BC∥OA,在BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,
过B作BH⊥x轴于H,
∵B(1,1),
∴OB=
=
∵A(
,0),
∴C(1+
,1)
∴OA=OB,
∴则四边形OACB是菱形,
∴平移点A到点C,向右平移1个单位,再向上平移1个单位而得到,
故选D.
过点B作BH⊥OA,交OA于点H,利用勾股定理可求出OB的长,进而可得点A向左或向右平移的距离,由菱形的性质可知BC∥OA,所以可得向上或向下平移的距离,问题得解.
二.解答题
3.已知:
如图,△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF∥BC交AD于点F,求证:
四边形CDEF是菱形.
答案见解析
证明:
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD,
在△ADE和△ADC中,
∴△ADE≌△ADC(SAS);
∴DE=DC,∠ADE=∠ADC,
同理△AFE≌△AFC,
∴EF=CF,
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC,
∴∠EFD=∠ADE,
∴DE=EF,
∴DE=EF=CF=DC,
∴四边形CDEF是菱形.
直接由SAS得出△ADE≌△ADC,进而得出DE=DC,∠ADE=∠ADC.再由SAS证明△AFE≌△AFC,得出EF=CF.由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC,从而∠EFD=∠ADE,根据等角对等边得出DE=EF,从而DE=EF=CF=DC,由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形.
4.如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别为AC、BC的中点.
(1)求证:
四边形EFCD是菱形;
(2)如果AB=8,求D、F两点间的距离.
(1)证明:
∵△ABC与△CDE都是等边三角形
∴AB=AC=BC,ED=DC=EC
∵点E、F分别为AC、BC的中点
∴EF=
AB,EC=
AC,FC=
BC
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC,
∴四边形EFCD是菱形.
(2)解:
连接DF,与EC相交于点G,
∵四边形EFCD是菱形
∴DF⊥EC,垂足为G
∵EF=
AB=4,EF∥AB
∴∠FEG=∠A=60°
在Rt△EFG中,∠EGF=90°
∴DF=2FG=2×
4sin∠FEC=8sin60°
=4
(1)利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等,即可证得;
(2)连接DF,与EC相交于点G,△EFC是等边三角形,则△EFG是直角三角形,利用三角函数即可求得GF的长,根据DF=2GF即可求得.
能力型
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BA到点E,使AE=AB,连接ED、EC、AC.添加一个条件,能使四边形ACDE成为菱形的是( )
A.AB=ADB.AB=EDC.CD=AED.EC=AD
添加AB=ED能使四边形ACDE成为菱形,
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB
DC,
∵AE=AB,
∴AE
∴四边形DEAC是平行四边形,
∵AB=DE,AE=AB,
∴AE=DE,
∴平行四边形DEAC是菱形.
直接利用平行四边形的判定方法得出四边形DEAC是平行四边形,进而利用菱形的判定方法得出答案.
2.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,DE=DF.在下列条件中,使四边形BECF是菱形的是( )
A.EB⊥ECB.AB⊥ACC.AB=ACD.BF∥CE
C
∵BD=DC,DE=DF,
∴四边形BECF是平行四边形,
要使得四边形BECF是菱形,对角线必须垂直,
只有AB=AC时,∵BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴此时四边形BECF是菱形,
故选C.
首先证明四边形BECF是平行四边形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形,即可判断.
3.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°
,E为AD的中点,连接BE.
四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
见解析
∵AD=2BC,E为AD的中点,
∴DE=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°
,AE=DE,
∴BE=DE,
∴四边形BCDE是菱形.
连接AC.
∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴AB=BC=1,
∵AD=2BC=2AB,
∴△ABD是含30°
角的直角三角形,且∠ADB=30°
∴∠BAD=60°
∠CDB=30°
∴∠DAC=
∠DAB=30°
,∠CDA=60°
.
∴∠ACD=180°
-∠DAC-∠CDA=90°
∴CD=
AD=BC=1,∴AC=
(1)由DE=BC,DE∥BC,推出四边形BCDE是平行四边形,再证明BE=DE即可解决问题;
(2)只要证明△ACD为直角三角形,且∠DAC=30°
,即可求出CD的长,从而解决问题.
探究型
一.填空题
1.如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则EG2+FH2= .
36
如右图,连接EF,FG,GH,EH,
∵E、H分别是AB、DA的中点,
∴EH是△ABD的中位线,
BD=3,
同理可得EF,FG,GH分别是△ABC,△BCD,△ACD的中位线,
∴EF=GH=
AC=3,FG=
∴EH=EF=GH=FG=3,
∴四边形EFGH为菱形,
∴EG⊥HF,且垂足为O,
∴EG=2OE,FH=2OH,
在Rt△OEH中,根据勾股定理得:
OE2+OH2=EH2=9,
等式两边同时乘以4得:
4OE2+4OH2=9×
4=36,
∴(2OE)2+(2OH)2=36,
即EG2+FH2=36.
36.
连接EF,FG,GH,EH,由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,得到EH,EF,FG,GH分别是△ABD,△ABC,△BCD,△ACD的中位线,根据三角形中位线定理得到EH,FG等于BD的一半,EF,GH等于AC的一半,由AC=BD=6,得到EH=EF=GH=FG=3,根据四边都相等的四边形是菱形,得到EFGH为菱形,然后根据菱形的性质得到EG⊥HF,且EG=2OE,FH=2OH,在Rt△OEH中,根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9,再根据等式的性质,在等式的两边同时乘以4,根据4=22,把等式进行变形,并把EG=2OE,FH=2OH代入变形后的等式中,即可求出EG2+FH2的值。
2.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°
,∠BAC=30°
.给出如下结论:
①EF⊥AC;
②四边形ADFE为菱形;
③AD=4AG;
④FH=
BD;
其中正确结论的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAC=60°
,AE=AC,
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°
,AB=2BC,
∵F为AB的中点,
∴AB=2AF,
∴BC=AF,
∴△ABC≌△EFA,
∴FE=AB,
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴EF⊥AC,故①正确,
∵EF⊥AC,∠ACB=90°
∴HF∥BC,
∵F是AB的中点,
∴HF=
BC,
∵BC=
AB,AB=BD,
BD,故④说法正确;
∵AD=BD,BF=AF,
∴∠DFB=90°
,∠BDF=30°
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°
∴∠DFB=∠EAF,
∵EF⊥AC,
∴∠AEF=30°
∴∠BDF=∠AEF,
∴△DBF≌△EFA(AAS),
∴AE=DF,
∵FE=AB,
∴四边形ADFE为平行四边形,
∵AE≠EF,
∴四边形ADFE不是菱形;
故②说法不正确;
∴AG=
AF,
∵AD=AB,
则AD=4AG,故③说法正确,
C.
根据已知先判断△ABC≌△EFA,则∠AEF=∠BAC,得出EF⊥AC,由等边三角形的性质得出∠BDF=30°
,从而证得△DBF≌△EFA,则AE=DF,再由FE=AB,得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形,根据平行四边形的性质得出AD=4AG,从而得到答案.
3.如图,△ABC中,∠BAC=90°
,点D是BC的中点,AE∥DC,EC∥AD,连接DE交AC于点O,
求证:
四边形ADCE是菱形;
∵AE∥DC,EC∥AD,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵∠BAC=90°
,点D是BC的中点,
∴AD=BD=CD,
∴平行四边形ADCE是菱形;
首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形,进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形.
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