求二次函数的解析式及二次函数的应用Word文件下载.docx
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0,k<
0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
0,k>
0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
0,k<
0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
3、交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0].
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤:
二次函数
∵x1+x2=
,x1*x2=
(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+
x+
)
=a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]
=a(x-x1)(x-x2).
重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。
a>
0时,开口方向向上;
a<
0时,开口方向向下。
a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
四、二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a,b,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a,b,c的方程,联立求解,再把求出的a,b,c的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法:
知识归纳:
二次函数交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
典型例题一:
告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
点拨:
设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),
已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,∴y=a(x+2)(x-1),
∵过点(2,8),
∴8=a(2+2)(2-1)。
解得a=2,
∴抛物线的解析式为:
y=2(x+2)(x-1),
即y=2x2+2x-4。
典型例题二:
告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。
此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。
2.巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。
当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。
在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。
在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
解∵顶点坐标为(-1,-2),
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2(a≠0)。
把点(1,10)代入上式,得10=a·
(1+1)2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
如果a>
0,那么当
时,y有最小值且y最小=
;
如果a<
0,那么,当
时,y有最大值,且y最大=
。
已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。
故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3,解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
典型例题三:
告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
例如:
已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.
典型例题四:
利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为_______。
先将y=x2-3x+5化为y=(x-
)2+5-
即y=(x-
)2+
∵它是由抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的,
∴原抛物线的解析式是y=(x-
+3)2+
+2=(x+
=x2+3x+7。
作业典型题2014.6.8
1、如图,在一块三角形区域ABC中,∠C=90°
,边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG,如图的设计方案是使DE在AB上.
(1)求△ABC中AB边上的高h;
(2)设DG=x,当x取何值时,水池DEFG的面积最大?
(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:
这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?
如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树.
分析:
(1)由三角形ABC的面积可求出AB边上的高;
(2)由相似三角形对应高的比等于相似比,可用含x的代数式表示GF,得到水池的面积y关于x的二次函数,由二次函数的性质,可求面积最大时x的值;
(3)根据相似形可算出BE小于1.85,大树在最大水池的边上,为了避开,以C为点在三边上各去一点.矩形二边与三角形二直角边重合.
答:
如图,
(1)过点C作CI⊥AB,交GF于H,在△ABC中用勾股定理得:
AB=10,
∵S△ABC=
AC•BC=
AB•CI,
∴
×
6×
8=
10×
CI,
∴CI=4.8;
∴△ABC中AB边上的高h=4.8.
(2)∵水池是矩形,
∴GF∥AB,
∴△CGF∽△CAB,
∵CH,CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高,
∴CH/CI=GF/AB,
=
,
∴GF=10-
∵10-
>0,
∴0<x<
,
设水池的面积为y,则
y=x(10-
)=-
x2+10x,
当x=-
=2.4时,水池的面积最大;
(3)∵FE⊥AB,CI⊥AB,
∴FE∥CI,
∴△BFE∽△BCI,
∴FE:
CI=BE:
BI,
又∵FE=2.4,CI=4.8,
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6,
∴BE=
=
=1.8,
∵BE=1.8<1.85,
∴这棵大树在最大水池的边上.
为了保护这棵大树,设计方案如图:
2、
如图,二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B.C在x轴上,A、D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;
(3)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9?
试证明你的结论.
(4)求出当x为何值时P有最大值?
(1)由顶点坐标(0,2)可直接代入y=-mx2+4m,
求得m=1/2,即可求得抛物线的解析式;
(2)由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴,长为2x的据对值,AB的长为A点的总坐标,由x与y的关系,可求得p关于自变量x的解析式,因为矩形ABCD在抛物线里面,所以x小于0,大于抛物线与x负半轴的交点;
(3)由
(2)得到的p关于x的解析式,可令p=9,求x的方程,看x是否有解,有解则存在,无解则不存在,显然不存在这样的p.
(4)此题就是将p关于x的解析式看成抛物线的解析式,求其顶点即可.
解答:
(1)∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),
∴4m=2,
即m=1/2,
y=-
x2+2;
(2)∵A点在x轴的负方向上坐标为(x,y),四边形ABCD为矩形,BC在x轴上,
∴AD∥x轴,
又由抛物线关于y轴对称,
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称.
∵A在x轴的负半轴上,
∴x<0,
所以AD的长为-2x,AB长为y,
所以周长p=2y+(-4x)=2(-
x2+2)-4x=-(x+2)2+8.
∵四边形ABCD为矩形,
∴y>0,
即x>-2.
所以p=-(x+2)2+8,其中-2<x<0.
(3)不存在,
证明:
假设存在这样的p,即:
9=-(x+2)2+8,
解此方程得:
x无解,所以不存在这样的p.
(4)
由p=-(x+2)2+8,且-2<x<0.
故p没有最大值.
3、如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=
x2+bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B。
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N,问在x轴上是否存在点P,使得△PMN是等腰直角三角形?
如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;
如果不存在,请说明理由。
(1)对于一次函数y=-4x-4,
令x=0,得y=-4,
故点C的坐标为(0,-4),
令y=0,得x=-1,
故点A的坐标为(-1,0),
把A、C两点坐标代入y=
x2+bx+c得
解得
∴y=
x2-
-4;
(2)∵
∴顶点为D(1,-
),
∵A、B两点关于对称轴x=1对称,
∴点B的坐标为(3,0),
设直线DC交x轴于点E,如图1,
由D(1,-
)C(0,-4),图1
易求直线CD的解析式为y=-
x-4易求E(-3,0),
S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12;
(3)存在,
∵MN∥x轴,
∴△CMN∽△CAB,
(a)当MP=MN或NP=MN时,
设MN=a,
如图2
即
∴a=2,
①当∠PMN=90°
时,
∵MP∥OC,
∴△AMP∽△ACO
∴OP=0.5,
∴P1的坐标为(-0.5,0),
②当∠PNM=90°
∵NP∥OC,
∴△BNP∽△BCO,
∴OP=1.5,
∴P2的坐标为(1.5,0)
(b)当∠MPN=90°
,PM=PN时,
如图3,
过点P作PQ⊥MN,垂足为Q,
则PQ=QM=QN,
设PQ=d,则QM=QN=d,MN=2d
则=
(已证)即
d=
过点N作NG⊥x轴,垂足为G,
则PQ=GN=QN=PG=
∴NG∥OC,
∴△BNG∽△BCO
∴BG=1,
∴OP=OB-BG-PG=3-1-
∴P3的坐标为(
,0),
综上(a)、(b),存在满足条件的点P有3个,坐标分别是P1(-0.5,0)、P2(1.5,0)、P3(
,0)。
4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
设每个房间每天的定价增加x元.求:
(1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式;
当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?
最大值是多少?
(1)由题意得:
y=60-
(2)z=(200+x)(60-
x2+40x+12000(3分)
(3)w=(200+x)(60-
)-20×
(60-
)(2分)
=-
x2+42x+10800
(x-210)2+15210
当x=210时,w有最大值.
此时,x+200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,w有最大值,且最大值是15210元.
5、枇杷是莆田名果之一,某果园有100棵枇杷树.每棵平均产量为40千克,现准备多种一些枇杷树以提高产量,但是如果多种树,那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少,根据实践经验,每多种一棵树,投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克,问:
增种多少棵枇杷树,投产后可以使果园枇杷的总产量最多?
最多总产量是多少千克?
注:
抛物线
的顶点坐标是
设增种x棵树,果园的总产量为y千克,
依题意得:
y=(100+x)(40-0.25x)
=4000-25x+40x-0.25x2
=-0.25x2+15x+4000
因为a=-0.25<
0,
所以当
,y有最大值
答:
最多总产量是4225千克
5、经调查研究,某工厂生产的一种产品的总利润y(元)与销售价格x(元/件)的关系式为y=-4x2+1360x-93200,其中100≤x<245
(1)销售价格x是为多少元时,可以使总利润达到22400元?
(2)总利润可不可能达到22500元?
(1)由题意,
把y=22400代入y=-4x2+1360x-93200,
方程为写成:
x2-340x+28900=0,
解得x1=x2=170;
(2)把y=22500代入y=-4x2+1360x-93200得,
x2-340x+28925=0,
∵a=1,b=-340,c=28925,
∴b2-4ac=(-340)2-4×
1×
28925=-100<0,
∴方程没有实数根
故总利润可不可能达到22500元.
6、某电器商场将进价为2000元的彩电以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种彩电的售价每降低50元,平均每天可多售出4台
(1)假设每台彩电降价x元,商场每天销售这种彩电的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;
(不要求写自变量的取值范围)
(2)每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高?
最高利润是多少?
(1)根据题意,得y=(2400-2000-x)(8+4×
),即y=-
x2+24x+3200;
(2)对于y=-
x2+24x+3200,
当x=-=15
y最大值=(2400-2000-150)(8+4×
)=250×
20=5000;
所以,每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元.
7、某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y甲=0.3x;
乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系:
y乙=-0.1x2+bx(其中b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y乙为1.4万元
(1)若求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式.并计算说明:
乙种水果进货多少的时候销售利润y乙(万元)才能最大?
最大利润是多少?
(2)甲种水果的销售利润y甲(万元)要达到乙种水果最大的销售利润y乙(万元),需要进货多少吨?
(3)如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨,请你通过计算说明如何进货(这两种水果各进多少吨)才能获得销售利润之和最大,最大利润是多少?
进货量x为1吨时,销售利润y乙为1.4万元,
-1+b=1.4,
解得:
b=2.4,
∴y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1(x2-24x)=-0.1(x-12)2+14.4;
(2)当甲种水果的销售利润y甲(万元)要达到乙种水果最大的销售利润y乙(万元),
则0.3x=14.4,
x=28,
需要进货28吨;
(3)W=y甲+y乙=0.3(10-x)+(-0.1x2+2.4x),
∴W=-0.1x2+2.1x+3,
W=-0.1(t-10.5)2+6.6.
∴t=6时,W有最大值为:
6.6.
∴10-6=4(吨).
甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是6.6万元.
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