学年吉林省五地六校合作体高二上学期期末考试数学试题理.docx
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学年吉林省五地六校合作体高二上学期期末考试数学试题理
吉林省“五地六校”合作体2018-2019学年
高二上学期期末考试(理)
本试卷分选择题、填空题和解答题共22题,共150分,共2页,考试时间120分钟,考试结束后,只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题,满分60分)
1、选择题:
本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1、已知命题:
,则是()
A.,B.,
C., D.,
2、若直线过点,,则此直线的倾斜角是()
A.B.C.D.
3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
4、已知命题:
,使得,命题:
,使得,
则下列命题是真命题的是()
A.B.C.D.
5、“”是“方程表示椭圆”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6、方程所表示的曲线是()
A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆
7、以为圆心,为半径的圆的标准方程为()
A.B.
C.D.
8、已知是空间中三条不同的直线,是平面,给出下列命题:
①若,,则;
②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中真命题的序号是()
A.①②B.②③C.①④D.②④
9、已知在三棱锥中,,,,,,且平面平面,那么三棱锥外接球的体积为
()
A.B.
C.D.
10、在平面内两个定点的距离为,点到这两个定点的距离的平方和为,
则点的轨迹是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.线段
11、已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与的左右两支分别交于两点,且,则()
A.B.C.D.
12、如图,是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且点为线段的中点,则椭圆的离心率为()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13、一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆,则该圆锥的体积为__________.
14、抛物线的焦点到准线的距离是__________.
15、如图,在长方形中,,,是的中点,沿将向上折起,使为,且平面平面.
则直线与平面所成角的正弦值为__________.
16、椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上任一点,且
的最大值的取值范围是,其中,则椭圆的离心率
的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题10分)
已知的顶点,边上的中线所在直线的方程为,边上的高所在直线的方程为,求顶点的坐标.
18、(本小题12分)
如图,在长方体中,,,点是线段的中点
(1)求证:
;
(2)求点到平面的距离.
19、(本小题12分)
已知圆过点,,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆交于两点,是否存在实数,使得过点的
直线垂直平分弦?
若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
20、(本小题12分)
如图,四棱锥的底面四边形为菱形,平面,,,为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
21、(本小题12分)
已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为.
(1)求的值;
(2)设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点,求.
22、(本小题12分)
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆的左顶点,经过左焦点的直线与椭圆交于两点,求
与(为坐标原点)的面积之差绝对值的最大值.
(3)已知椭圆上点处的切线方程为,为切点.若是直线上任意一点,从向椭圆作切线,切点分别为,求证:
直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
A
C
C
D
D
A
C
A
2、填空题
13.14.15.16.
3、解答题
17、【解】
由及边上的高所在直线的方程为得:
边所在直线的方程为.……………………………………………
又边上的中线所在直线的方程为.
由,得.……………………………………………………
18、【解】
(1)证明:
因为平面,平面,所以.……
中,,,,
同理.有,,,………
,所以平面.
又平面,所以.…………………………………
(2)因为,,,
所以.…………………………………………………………
又因为,,,
所以,…………………………………………………
设点到平面的距离为,
则,…………………………………
解得,………………………………………………………………………
即点到平面的距离为.……………………………………………
19、【解】
(1)设圆的方程为,……………………………………
依题意得,解得.………………………………
所以圆的方程为.…………………………………
(2)假设符合条件的实数存在.
因为垂直平分弦,故圆心必在上,
所以的斜率,,所以.………………………
由圆的半径,
圆心到直线的距离,………
所以不存在这样的实数,使得过点的直线垂直平分弦.………
20、【解】
(1)连结,由已知得与都是正三角形.
又因为点为边的中点,所以.……………………………………
又因为,所以.
又平面,平面,所以.………………
又因为,平面,所以平面.……
(2)方法一:
以点为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空
间直角坐标系.
由
(1)知平面的一个法向量为.……………………………
,,.所以,.
设平面一个法向量为,
由,得,.
取,则,故.
设与的夹角为,则.………………
所以平面与平面所成角的二面角的平面角的余弦值为.……
方法二:
取中点,连.是正三角形,所以.
连,则平面,从而.………………………………
为二面角的平面角.…………………………………………
在中,.已知,所以.……………………
在中,.……………………………………
21、【解】
(1)设交点为.易知,.
代入得,.…………………………………………………
(2)由
(1)知,抛物线.
,设.………………………………………
联立得.所以,.……………
所以.……………………
22、【解】
(1)由题意得.又,,所以,.
所以椭圆的方程为.………………………………………………
(2)设的面积为,的面积为.
当直线斜率不存在时,直线方程为.
据椭圆对称性,得面积相等,所以.………………
当直线斜率存在时,设直线方程为,设,.
得,则.
所以
.……………………
又因为,当且仅当或时取“”.
所以的最大值为.……………………………………………………
(3)证明:
设,,.
由已知得切线.①切线.②…
把代入①②得,.
从而直线方程为,即.…………………
对,当,时恒成立,恒过定点.……………………
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